Kulička ve vzduchu spojená s kuličkou v oleji

Úloha číslo: 779

Dvě kovové kuličky mají stejný poloměr a stejný náboj 4·10−9 C. Jedna kulička je ponořena do nádoby s olejem o relativní permitivitě 3 a druhá je ve vzduchu.

Jak velké budou náboje na kuličkách, spojíme-li je drátem?

Obrázek k zadání úlohy
  • Nápověda

    Co se může dít poté, co kuličky propojíme drátem?

    Má to nějakou souvislost s potenciálem obou kuliček?

    Jak ovlivňuje elektrické pole olej, do které je druhá kulička pomořena?

  • Rozbor

    Potenciál nabité kuličky závisí přímo úměrně na velikosti náboje a nepřímo úměrně na poloměru kuličky a permitivitě prostředí, ve kterém kulička je. To znamená, že potenciál kuličky ponořené v oleji je menší než kuličky na vzduchu. Po spojení obou kuliček drátem tedy přejde část náboje z kuličky na vzduchu na kuličku v oleji. Celkový náboj na obou kuličkách však musí být stejný jako před spojení vodičem.

    Náboj bude přecházet až do chvíle, kdy se na obou kuličkách vyrovnají potenciály. Poté se soustava ustálí a k dalším přesunům náboje již nebude docházet. V tomto ustáleném stavu tedy bude potenciál obou kuliček stejný.

  • Řešení

    Po spojení obou kuliček drátem může přejít část náboje z jedné kuličky na druhou. Celkový náboj na obou kuličkách však musí být stejný jako před spojení vodičem.

    Označíme-li si náboj na kuličce ve vzduchu Qv a v oleji Qo bude platit vztah:

    \[2Q\,=\,Q_v\,+\,Q_o\,.\tag{1}\]

    Náboj mezi kuličkami bude přecházet až do chvíle, kdy se na obou kuličkách vyrovnají potenciály. Poté se soustava ustálí a k dalším přesunům náboje již nebude docházet. V tomto ustáleném stavu tedy bude potenciál obou kuliček stejný.

    \[\varphi_v\,=\,\varphi_o\tag{*}\]

    Pro potenciál kuličky platí vztah

    \[\varphi\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon}\,\frac{Q}{r}\,,\]

    kde r je poloměr kuličky a ε je permitivita prostředí okolo kuličky.

    Tento vztah dosadíme do vzorce (*). První kulička je ve vzduchu, jehož permitivita je ε0, druhá kulička je v oleji, jehož permitivita je εr-krát větší.

    \[\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q_v}{r}\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}\,\frac{Q_o}{r}\]

    Zkrátíme stejné veličiny a vyjádříme náboj Qo.

    \[Q_v\,=\, \frac{Q_o}{ \varepsilon_r}\] \[Q_o\,=\, Q_v \varepsilon_r\tag{2}\]

    Zkombinováním vztahů (1) a (2) vyjádříme nejdříve náboj kuličky ve vzduchu a poté kuličky v oleji.

    Do vztahu (1) dosadíme vztah (2).

    \[2Q\,=\,Q_v\,+\,Q_v \varepsilon_r\]

    Vytkneme náboj Qv a vyjádříme ho.

    \[2Q\,=\,Q_v \left(1\,+\, \varepsilon_r \right)\] \[Q_v\,=\,\frac{2Q}{1\,+\, \varepsilon_r}\]

    Náboj kuličky v oleji získáme dosazením předchozího vztahu do vzorce (2).

    \[Q_o\,=\, Q_v \varepsilon_r\] \[Q_o\,=\, \frac{2Q \varepsilon_r}{1\,+\, \varepsilon_r}\]

    Po spojení kuliček bude na kuličce ve vzduchu náboj \(Q_v\,=\,\frac{2Q}{1\,+\, \varepsilon_r}\) a na kuličce v oleji náboj \(Q_o\,=\, \frac{2Q \varepsilon_r}{1\,+\, \varepsilon_r}\).

  • Zápis a číselný výpočet

    Q = 4· 10−9 C

    εr = 3

    Qv = ? (C)

    Qo = ? (C)

    Z tabulek

    ε0 = 8,85·10−12 C2N−1m−2


    \[Q_v\,=\,\frac{2Q}{1\,+\, \varepsilon_r}\,=\,\frac{2{\cdot} 4\cdot 10^{-9}}{1\,+\, 3}\,\mathrm{C}\,=\,2{\cdot} 10^{-9}\,\mathrm{C}\,=\,2\,\mathrm{nC}\] \[Q_o\,=\, \frac{2Q \varepsilon_r}{1\,+\, \varepsilon_r}\,=\,\frac{2{\cdot} 4\cdot 10^{-9}\cdot 3}{1\,+\, 3}\,\mathrm{C}\,=\,6{\cdot} 10^{-9}\,\mathrm{C}\,=\,6\,\mathrm{nC}\]

    Vidíme, že náboj přecházel z kuličky na vzduchu na kuličku v oleji. To přesně odpovídá tomu, že vyšší permitivita oleje zmenšuje potenciál kuličky v něm ponořené.

  • Odpověď

    Po spojení kuliček bude na kuličce ve vzduchu náboj

    \[Q_v\,=\,\frac{2Q}{1\,+\, \varepsilon_r}\,=\,2\,\mathrm{nC}\]

    a na kuličce v oleji náboj

    \[Q_o\,=\, \frac{2Q \varepsilon_r}{1\,+\, \varepsilon_r}\,=\,6\,\mathrm{nC}\,.\]
  • Odkaz na podobnou úlohu

    Jak by se situace změnila, pokud by byly kuličky ve stejném prostředí, ale měly různou velikost zjistíte v úloze Nabité koule spojené drátem.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Zaslat komentář k úloze