Střelka kompasu
Úloha číslo: 323
Střelka kompasu ukazuje sever v zemském magnetickém poli, jehož magnetická indukce má velikost přibližně 2·10-5 T. Dlouhý přímý vodič je umístněn ve vzdálenosti 14 cm nad kompasem a je orientován ze severu na jih (tj. stejně jako střelka). Po zapojení elektrického proudu ukáže střelka na severovýchod. Určete:
a) velikost výsledné magnetické indukce Bv v místě střelky,
b) velikost a směr elektrického proudu ve vodiči.
Poznámka: Předpokládejte, že vodič, kterým prochází proud, je rovnoběžný s vektorem magnetické indukce zemského pole.
Nápověda
Nakreslete si směr magnetických indukčních čar zemského magnetického pole a magnetického pole způsobeného procházejícím proudem ve vodiči v místě, kde se nachází střelka kompasu.
Uvědomte si, jak spolu souvisí směr výsledné magnetické indukce a poloha střelky kompasu.
Jak velká musí být magnetická indukce od vodiče, aby se střelka vychýlila o 45° ze své původní polohy?
Rozbor
V okolí vodiče, kterým neprochází proud, se nevytváří magnetické pole a kompasová střelka se tak natočí podle magnetických indukčních čar zemského magnetického pole. Jestliže vodičem začne procházet elektrický proud, vytváří se v jeho okolí magnetické pole. Magnetické indukční čáry tohoto pole jsou soustředné kružnice se středem v ose vodiče a ležící v rovině kolmé k vodiči. Vektor magnetické indukce má směr tečny k magnetické indukční čáře. Velikost magnetické indukce klesá se vzdáleností od vodiče.
Po zapojení elektrického proudu a vytvoření magnetického pole kolem vodiče se střelka kompasu vychýlí ze své původní polohy tak, že bude ukazovat směr výsledného magnetického pole.
Jestliže se střelka vychýlila o 45° od původní polohy, znamená to, že velikost magnetické indukce v bodě, kde se nachází střelka, má stejnou velikost, jako je velikost magnetické indukce od zemského magnetického pole.
Směr elektrického proudu určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky a velikost elektrické proudu vypočítáme ze vztahu pro velikost magnetické indukce v okolí vodiče s proudem.
Řešení a) Určení výsledné magnetické indukce působící na střelku.
Určení výsledné magnetické indukce působící na střelkuPři průchodu elektrického proudu vodičem se v jeho okolí vytvoří magnetické pole. Vektor magnetické indukce pole vodiče v místě střelky označíme \(\vec{B}_\mathrm{p}\). Toto pole způsobí, že se střelka kompasu odchýlí a bude ukazovat směr výsledné magnetické indukce \(\vec{B}_\mathrm{v}\). Tu získáme jako vektorový součet magnetických indukcí pole vodiče \(\vec{B}_\mathrm{p}\) a Země \(\vec{B}_\mathrm{z}\) v daném bodě.
Jestliže se střelka vychýlí o 45° od původního směru, znamená to, že velikost magnetické indukce od vodiče Bp je stejná jako velikost magnetické indukce Bz od zemského magnetického pole (obojí v bodě, kde se nachází střelka, viz obrázek):
\[B_\mathrm{z}=B_\mathrm{p}.\]Výslednou magnetickou indukci \(\vec{B}_\mathrm{v}\) získáme jako součet vektorů obou magnetických indukcí:
\[\vec{B}_\mathrm{v}=\vec{B}_\mathrm{p}+\vec{B}_\mathrm{z}.\]
Vektory magnetických indukcí \(\vec{B}_\mathrm{p}\) a \(\vec{B}_\mathrm{z}\) nemají stejný směr, jsou na sebe kolmé, a proto platí:
\[B_\mathrm{v}=\sqrt{B_\mathrm{p}^2+B_\mathrm{z}^2}.\]Protože obě magnetické indukce mají stejnou velikost, pro výslednou magnetickou indukci v místě střelky tak platí:
\[B_\mathrm{v}=\sqrt{B_\mathrm{z}^2+B_\mathrm{z}^2},\] \[B_\mathrm{v}=\sqrt{2}B_\mathrm{z}.\]Řešení b) Určení velikosti a směru elektrického proudu.
Určení směru elektrického prouduSměr proudu ve vodiči určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky: Jestliže zahnuté prsty znázorňují orientaci magnetických indukčních čar, vztyčený palec ukazuje směr elektrického proudu v přímém vodiči.
V našem případě je směr proudu ve vodiči od severu k jihu.
Určení velikosti elektrického proudu ve vodičiVelikost proudu procházejícího vodičem určíme pomocí vztahu pro velikost magnetické indukce ve vzdálenosti d od přímého vodiče:
\[B= \frac{\mu_\mathrm{o}I}{2\pi d}.\]V našem případě je velikost magnetické indukce ve vzdálenosti d od vodiče rovna velikosti magnetické indukce Bz od zemského magnetického pole. Pro velikost proudu pak platí:
\[I= \frac{2\pi d}{\mu_\mathrm{0}}B_\mathrm{z}.\]Zápis a číselné dosazení
\(B_\mathrm{z}=2{,}0{\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{T}\) velikost magnetické indukce pole Země \(d=14\,\mathrm{cm}=0{,}14\,\mathrm{m}\) vzdálenost kompasu a vodiče \(B_\mathrm{v}=?\,\mathrm{(T)}\) velikost výsledné magnetické indukce v místě střelky \(I=?\,\mathrm{(A)}\) velikost el. proudu tekoucího vodičem Z tabulek: \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{Hm^{-1}} \) permeabilita vakua
\[B_\mathrm{v}=\sqrt{2}B_\mathrm{z}=\sqrt{2}\cdot 2{,}0{\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{T}= 2{,}8{\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{T}\] \[I= \frac{2\pi d}{\mu_\mathrm{0}}B_\mathrm{z}=\frac{2\pi \cdot 0{,}14}{4\pi \cdot 10^{-7}}2{,}0{\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{A}=14\,\mathrm{A}\]Odpověď
Magnetická indukce působící na střelku má velikost 2,8·10-5 T.
Elektrický proud směřuje od severu k jihu a jeho velikost je 14 A.
Magnetické pole Země
Země se chová jako obrovský magnet. Už Gauss v 17. století ukázal, že převážná část geomagnetického pole (asi 90 %) je taková, jako kdyby ji vytvářel tzv. elementární magnetický dipól, který je umístěn přibližně ve středu Země a svírá s její osou rotace malý úhel (v současné době asi 11°).
Osa dipólu protíná zemský povrch v geomagnetickém severním pólu (v roce 1980 ležel v severozápadním Grónsku asi 1250 km od pólu geografického) a v geomagnetickém jižním pólu v protilehlém bodě v Antarktidě. Indukční čáry pole \(\vec{B_\mathrm{z}}\) obecně vycházejí z jižní polokoule a vstupují do Země na severní polokouli. Severní magnetický pól, ležící na severní polokouli, je tedy ve skutečnosti jižním pólem zemského magnetického dipólu.
Směr magnetického pole v kterémkoli místě na zemském povrchu je určen dvěma úhly: Magnetickou deklinací, což je úhel mezi zeměpisným severem (který odpovídá 90° zeměpisné šířky) a směrem vodorovné složky magnetického pole, a magnetickou inklinací, což je úhel mezi vodorovnou rovinou a směrem magnetického pole.
Tyto úhly můžeme přibližně určit kompasem a inklinační magnetkou. V kompasu je magnet ve tvaru střelky upevněný tak, aby se mohl volně otáčet ve vodorovné rovině kolem své svislé osy. Držíme-li kompas ve vodorovné poloze, směřuje severní pól jehly ke geomagnetickému severnímu pólu, což je jižní pól magnetického dipólu Země. Úhel mezi jehlou a zeměpisným severem je deklinace pole.
Inklinační magnetka je magnet, který se může volně otáčet ve svislé rovině okolo vodorovné osy. Leží-li svislá rovina otáčení inklinační magnetky v severojižním směru, pak úhel mezi jehlou a vodorovnou rovinou je inklinace pole.
Zdroj: D. Halliday, R. Resnick, J. Wolker, Fyzika, Prometheus
