Střelka kompasu

Úloha číslo: 323

Střelka kompasu ukazuje sever v zemském magnetickém poli, jehož magnetická indukce má velikost přibližně 2·10-5 T. Dlouhý přímý vodič je umístněn ve vzdálenosti 14 cm nad kompasem a je orientován ze severu na jih (tj. stejně jako střelka). Po zapojení elektrického proudu ukáže střelka na severovýchod. Určete:

a) velikost výsledné magnetické indukce Bv v místě střelky,

b) velikost a směr elektrického proudu ve vodiči.

střelka kompasu

Poznámka: Předpokládejte, že vodič, kterým prochází proud, je rovnoběžný s vektorem magnetické indukce zemského pole.

  • Nápověda

    Nakreslete si směr magnetických indukčních čar zemského magnetického pole a magnetického pole způsobeného procházejícím proudem ve vodiči v místě, kde se nachází střelka kompasu.

    Uvědomte si, jak spolu souvisí směr výsledné magnetické indukce a poloha střelky kompasu.

    Jak velká musí být magnetická indukce od vodiče, aby se střelka vychýlila o 45° ze své původní polohy?

  • Rozbor

    V okolí vodiče, kterým neprochází proud, se nevytváří magnetické pole a kompasová střelka se tak natočí podle magnetických indukčních čar zemského magnetického pole. Jestliže vodičem začne procházet elektrický proud, vytváří se v jeho okolí magnetické pole. Magnetické indukční čáry tohoto pole jsou soustředné kružnice se středem v ose vodiče a ležící v rovině kolmé k vodiči. Vektor magnetické indukce má směr tečny k magnetické indukční čáře. Velikost magnetické indukce klesá se vzdáleností od vodiče.

    Po zapojení elektrického proudu a vytvoření magnetického pole kolem vodiče, se střelka kompasu vychýlí ze své původní polohy tak, že bude ukazovat směr magnetické výsledného magnetického pole.

    Jestliže se střelka vychýlila o 45° od původní polohy, znamená to, že velikost magnetické indukce v bodě, kde se nachází střelka má stejnou velikost, jako velikost magnetické indukce od zemského magnetického pole.

    magnetické indukční čáry u střelky kompasu

    Směr elektrického proudu určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky a velikost elektrické proudu vypočítáme ze vztahu pro velikost magnetické indukce v okolí vodiče s proudem.

  • Řešení a) Určení výsledné magnetické indukce působící na střelku.

    Určení výsledné magnetické indukce působící na střelku.

    Při průchodu elektrického proudu vodičem, se v jeho okolí vytvoří magnetické pole. Vektor magnetické indukce pole vodiče v místě střelky označíme \(\vec{B}_p\). Toto pole způsobí, že se střelka kompasu odchýlí a bude ukazovat směr výsledné magnetické indukce \(\vec{B}_v\). Tu získáme jako vektorový součet magnetických indukcí pole vodiče \(\vec{B}_p\) a Země \(\vec{B}_z\) v daném bodě.

    magnetické indukční čáry u střelky kompasu

    Jestliže se střelka vychýlí o 45° od původního směru, znamená to, že velikost magnetické indukce od vodiče Bp je stejná, jako velikost magnetické indukce Bz od zemského magnetického pole (obojí v bodě, kde se nachází střelka, viz obrázek)

    \[B_z=B_p.\]

    Výslednou magnetickou indukci \(\vec{B}_v\) získáme jako součet vektorů obou magnetických indukcí.

    \[\vec{B}_v=\vec{B}_p+\vec{B}_z.\]
    magnetické indukční čáry u střelky kompasu

    Vektory magnetických indukcí \(\vec{B}_p\) a \(\vec{B}_z\) nemají stejný směr, jsou na sebe kolmé, a proto platí

    \[B_v=\sqrt{B_p^2+B_z^2}.\]

    Protože obě magnetické indukce mají stejnou velikost, pro výslednou magnetickou idndukci v místě střelka tak platí

    \[B_v=\sqrt{B_z^2+B_z^2},\] \[B_v=\sqrt{2}B_z.\]
  • Řešení b) Určení velikosti a směru elektrického proudu.

    Určení směru elektrického proudu.

    Směr proudu ve vodiči určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky: Jestliže zahnuté prsty znázorňují orientaci magnetických indukčních čar, vztyčený palec ukazuje směr elektrického proudu v přímém vodiči.

    V našem případě je směr proudu ve vodiči od severu k jihu.

    Určení velikosti elektrického proudu ve vodiči.

    Velikost proudu procházejícího vodičem určíme pomocí vztahu pro velikost magnetické indukce ve vzdálenosti d od přímého vodiče

    \[B= \frac{\mu_oI}{2\pi d}\]

    V našem případě je velikost magnetické indukce ve vzdálenosti d od vodiče rovna velikosti magnetické indukce Bz od zemského magnetického pole. Pro velikost proudu pak platí

    \[I= \frac{2\pi d}{\mu_o}B_z.\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(B_z=2{,}0{\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{T}\) velikost magnetické indukce pole Země
    \(d=14\,\mathrm{cm}=0{,}14\,\mathrm{m}\) vzdálenost kompasu a vodiče
    \(B_v=?\,\mathrm{(T)}\) velikost výsledné magnetické indukce v místě střelky
    \(I=?\,\mathrm{(A)}\) velikost el. proudu tekoucího vodičem
    Z tabulek:
    \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{Hm^{-1}} \) permeabilita vakua

    \[B_v=\sqrt{2}B_z=\sqrt{2}\cdot 2{,}0{\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{T}= 2{,}8{\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{T}\] \[I= \frac{2\pi d}{\mu_o}B_z=\frac{2\pi \cdot 0{,}14}{4\pi \cdot 10^{-7}}2{,}0{\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{A}=14\,\mathrm{A}\]
  • Odpověď

    Magnetická indukce působící na střelku má velikost 2,8·10-5 T.

    Elektrický proud směřuje od severu k jihu a jeho velikost je 14 A.

  • Magnetické pole Země

    Země se chová jako obrovský magnet. Už Gauss v 17. století ukázal, že převážná část geomagnetického pole (asi 90%) je taková, jako kdyby ji vytvářel tzv. elementární magnetický dipól, který je umístěn přibližně ve středu Země a svírá s její osou rotace malý úhel (v současné době asi 11°).

    Osa dipólu protíná zemský povrch v geomagnetickém severním pólu (v roce 1980 ležel v severozápadním Grónsku asi 1250 km od pólu geografického) a v geomagnetickém jižním pólu v protilehlém bodě v Antarktidě. Indukční čáry pole \(\vec{B_z}\) obecně vycházejí z jižní polokoule a vstupují do Země na severní polokouli. Severní magnetický pól, ležící na severní polokouli, je tedy ve skutečnosti jižním pólem zemského magnetického dipólu.

    geomagnetické pole

    Směr magnetického pole v kterémkoli místě na zemském povrchu je určen dvěma úhly: Magnetickou deklinací, což je úhel mezi zeměpisným severem (který odpovídá 90° zeměpisné šířky)a  směrem vodorovné složky magnetického pole a magnetickou inklinací, což je úhel mezi vodorovnou rovinou a směrem magnetického pole.

    Tyto úhly můžeme přibližně určit kompasem a inklinační magnetkou. V kompasu je magnet ve tvaru střelky upevněný tak, aby se mohl volně otáčet ve vodorovné rovině kolem své svislé osy. Držíme-li kompas ve vodorovné poloze, směřuje severní pól jehly ke geomagnetickému severnímu pólu, což je jižní pól magnetického dipólu Země. Úhel mezi jehlou a zeměpisným severem je deklinace pole.

    Inklinační magnetka je magnet, který se může volně otáčet ve svislé rovině okolo vodorovné osy. Leží-li svislá rovina otáčení inklinační magnetky v severojižním směru, pak úhel mezi jehlou a vodorovnou rovinou je inklinace pole.

    Zdroj: D. Halliday, R. Resnick, J. Wolker, Fyzika, Prometheus

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená graficky
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze