Sbírka řešených úloh

Nabitá obruč

Úloha číslo: 2004

• Nápověda a)

  Kladný bodový náboj Q vytváří v místě o vzdálenosti r pole o intenzitě

  $${E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}.$$

  Vektor intenzity $\vec{E}$ míří směrem od náboje, pokud je Q kladný. V opačném případě míří k náboji.

  Zamyslete se nad tím, jak bychom tohoto poznatku mohli využít v této úloze.

• Řešení nápovědy a)

  Obruč rozdělíme na malé kousky, které se budou chovat jako bodové náboje. Celkovou intenzitu získáme „sečtením“ (přesněji integrováním) příspěvků od všech těchto malých kousků.

  Pro lepší představu si nakreslíme obrázek obruče, kde osa obruče bude splývat s osou z a obruč bude ležet v rovině xy.

  

• Řešení a)

  Bodový náboj Q vytváří ve vzdálenosti r pole o intenzitě

  $${E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}.$$

  Je-li obruč nabita s lineární hustotou $\lambda$, potom náboj dQ na nekonečně malém kousku obruče dl má velikost $$\textrm{d}Q = {\lambda} {\textrm{d}l},$$

  kde $\textrm{d}l=R \textrm{d}\beta$ (viz výpočet délky kruhového oblouku v radiánech).

  Potom

  $$\textrm{d}Q =\lambda R \textrm{d}\beta$$

  a tudíž

  $$\textrm{d}{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\textrm{d}Q}{r^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda R}{r^2}\textrm{d}\beta.\tag{1}$$

  Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že obruč je nabitá kladně. Nyní se zaměřme na směr výsledné intenzity. Využijeme souměrnost obruče.

  

  Z obrázku je patrné, že výsledný směr intenzity elektrického pole bude mít směr osy z, jelikož x–ová složka elektrické intenzity od malého kousku obruče se odečte s x–ovou složkou elektrické intenzity od malého kousku obruče, který je symetrický (středově souměrný) s tímto malým kouskem podle středu obruče. Stejně tak bude y–ová složka také nulová.

  Pozn.: Pokud bychom si představili příspěvky k celkové intenzitě od všech kousků obruče, tak vyplní povrch kužele. Z toho je patrné, že jejich součet bude mířit ve směru osy obruče, tj. bude mít nenulovou pouze z–ovou složku.

  Nyní se vrátíme k rovnici (1):

  $$\textrm{d}{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda R}{r^2}\textrm{d}\beta.$$

  Do obrázku si zakreslíme úhel $\alpha$ a elektrickou intenzitu promítneme do směru z, neboli vyjádříme její

  z–ovou složku. Ostatní složky elektrické intenzity nás nemusí zajímat, jelikož z důvodu symetrie se vzájemně odečtou (viz výše).

  

  Je zřejmé, že

  $$\textrm{d}E_\mathrm{z} = \cos \alpha\,\textrm{d}E.\tag{2}$$

  Pozn.: V tomto vztahu již vystupuje velikost intenzity $E$ a velikost její složky $E_\mathrm{z}.$

  Oba pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné (mají stejné 2 úhly — pravý a $\alpha$), tudíž můžeme vyjádřit

  $$\cos \alpha = \frac {z}{r}$$

  a z Pythagorovy věty víme, že

  $$r^2 = R^2 + z^2,$$

  což nám dává

  $$\cos \alpha = \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.\tag{3}$$

  Spojením (1), (2) a (3) dostaneme

  $$dE_\mathrm{z}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda R}{z^2 + R^2}\frac{z}{\sqrt{ z^2 + R^2}} d\beta,$$ $$dE_\mathrm{z}=\frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0} \frac {z} {\sqrt{(z^2 + R^2)^3}} d\beta,$$

  což zintegrujeme podél celého obvodu kružnice, tj. integrovat budeme přes úhel $\beta$:

  $$E_\mathrm{z} = \int_{0}^{2\pi}\frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0} \frac {z} {\sqrt{(z^2 + R^2)^3}} \textrm{d}\beta.$$

  Vzdálenosti R a z nezávisejí na úhlu $\beta$, proto je můžeme z integrálu vytknout:

  $$E_\mathrm{z} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0} \frac {z} {\sqrt{(z^2 + R^2)^3}} \int_{0}^{2\pi} \textrm{d}\beta.$$

  Po zintegrování dostáváme

  $$E_\mathrm{z} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0} \frac {z} {\sqrt{(z^2 + R^2)^3}} {2\pi},$$ $$E_\mathrm{z} =\frac{\lambda R}{2\epsilon_0} \frac {z} {\sqrt{(z^2 + R^2)^3}}.$$

  Tedy

  $$\vec{E}=\left(0,\ 0,\ \frac{\lambda R}{2\epsilon_0} \frac {z} {\sqrt{(z^2 + R^2)^3}}\right).$$

• Nápověda b)

  Analogicky jako v části a) využijeme vztahu pro potenciál bodového náboje. Potenciál bodového náboje ve vzdálenosti r je

  $$\varphi = k\frac{Q}{r}.$$

  Vymyslete, jak vztahu využít pro výpočet potenciálu na ose obruče.

• Řešení nápovědy b)

  Obruč rozdělíme na malé kousky, které se budou chovat jako bodové náboje. Celkový potenciál získáme „sečtením“ (přesněji integrováním) všech příspěvků od těchto malých kousků.

  Podobně jako v a) si celou situaci nakreslíme do kartézských souřadnic. Osa obruče bude splývat s osou z a obruč bude ležet v rovině xy.

  

• Řešení b)

  Bodový náboj Q vytváří ve vzdálenost r potenciál:

  $$\varphi= k \frac {Q} {r}.$$

  Zaměříme-li se na jednu malou část obruče, pak potenciál od této části v daném místě na ose obruče je

  $$\textrm{d}\varphi= k \frac {\textrm{d}Q} {r}\tag{4}$$

  a jelikož je obruč nabita s lineární hustotou $\lambda$, pak

  $$\textrm{d}Q=\lambda\textrm{d}l.$$

  Využijeme-li navíc poznatku $\textrm{d}l=R\textrm{d}\beta$, pak dostaneme

  $$\textrm{d}Q=\lambda R\textrm{d}\beta.\tag{5}$$

  Z (4) a (5) dosadíme

  $$\textrm{d}\varphi=k \frac {\lambda R}{r}\textrm{d}\beta. \tag{6}$$

  Nyní se zaměříme na vyjádření vzdálenosti r pomocí parametrů obruče a vzdálenosti z.

  

  Z pravoúhlého trojúhelníku na obrázku vyjádříme r využitím Pythagorovy věty:

  $$r=\sqrt{R^2 + z^2}.\tag{7}$$

  Spojením (6) a (7) dostaneme

  $$\textrm{d}\varphi=k \frac {\lambda R}{\sqrt{R^2 + z^2}}\textrm{d}\beta.$$

  Protože potenciál je skalární veličina, není třeba se zabývat jeho směrem a můžeme rovnou zintegrovat jednotlivé příspěvky:

  $$\varphi=\int_{0}^{2\pi}k \frac {\lambda R}{\sqrt{R^2 + z^2}}\textrm{d}\beta,$$ $$\varphi=k \frac {\lambda R}{\sqrt{R^2 + z^2}}\int_{0}^{2\pi}\textrm{d}\beta,$$ $$\varphi=k \frac {\lambda R}{\sqrt{R^2 + z^2}}2\pi,$$

  tedy

  $$\varphi=\frac {1}{2\epsilon_0} \frac {\lambda R}{\sqrt{R^2 + z^2}}.$$

• Nápověda c)

  Potenciál a elektrickou intenzitu spojuje vztah, ve kterém vystupuje matematický operátor gradient.

  Zkuste si vzpomenout, popřípadě najít, o jaký vztah se jedná. Připomeňte si, co gradient znamená a jak se počítá (v kartézských souřadnicích).

• Řešení nápovědy c)

  Pro potenciál a elektrickou intenzitu platí

  $$\vec{E}=-\thinspace\text{grad}\thinspace \varphi.$$

  Výsledkem operátoru gradient je vektor, který udává směr, ve kterém potenciál $φ$ nejrychleji roste. Elektrická intenzita $\vec{E}$ tedy míří směrem, ve kterém elektrický potenciál nejrychleji klesá (ve vztahu je znaménko mínus).

  V kartézských souřadnicích se gradient funkce f počítá podle vztahu

  $$\text{grad} f = \left(\frac{\partial{f}}{\partial {x}},\frac{\partial{f}}{\partial {y}},\frac{\partial{f}}{\partial {z}}\right).$$

  Pro ověření obráceného vztahu využijeme

  $$φ = -\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}\vec{E}\cdot\textrm{d}\vec{r},$$

  kde integrace probíhá z místa A, kde jsme zvolili nulovou hodnotu potenciálu, do místa B, kde hodnotu potenciálu určujeme.

• Řešení c)

  Máme ověřit, zda platí vztah zmíněný v řešení nápovědy c), tj. vztah

  $$\vec{E}=-\thinspace\text{grad}\thinspace\varphi.$$

  Ověření můžeme provést jen pro body na ose obruče a jen pro z–ovou složku, protože v části b) jsme určili pouze potenciál na ose z. Pro z–ovou složku elektrické intenzity v bodech osy obruče by mělo platit $E_\mathrm{z}=-\frac{\partial{\varphi}}{\partial {z}}$. Spočtěme tedy uvedenou derivaci:

  $$\frac{\partial{\varphi}}{\partial {z}}=\frac {\lambda R}{2\epsilon_0}(-1)\frac {1}{2} \frac {1}{\sqrt{(R^2 + z^2)^3}} 2z =-\frac {\lambda R}{2\epsilon_0} \frac {z}{\sqrt{(R^2 + z^2)^3}}.$$

  Tedy

  $$E_\mathrm{z} = \frac {\lambda R}{2\epsilon_0} \frac {z}{\sqrt{(R^2 + z^2)^3}},$$

  což je stejný vztah, jaký nám vyšel přímou integrací v části a).

   

  Nyní ještě ověříme, zda platí obrácený vztah

  $$\varphi=-\int_\infty^{\hat {z}}{E_\mathrm{z}}\textrm{d}z.$$

  Dosadíme-li vypočítanou hodnotu $E_\mathrm{z}$ z části a), dostaneme

  $$\varphi=-\int_\infty^{\hat {z}}{\frac {\lambda R}{2\epsilon_0} \frac {z}{\sqrt{(R^2 + z^2)^3}}}\textrm{d}z.$$

  Konstanty vytkneme před integrál:

  $$\varphi=-\frac {\lambda R}{2\epsilon_0} \int_\infty^{\hat {z}}{\frac {z}{\sqrt{(R^2 + z^2)^3}}}\textrm{d}z.$$

  Integrál budeme řešit pomocí substituce:

  $$a = R^2 + z^2,$$ $$\textrm{d}a =2z \textrm {d}z$$

  a přepočítáme meze:

  $$z \rightarrow \infty \Rightarrow a \rightarrow \infty \qquad;\qquad z = \hat {z} \Rightarrow a = R^2 + \hat {z}^2.$$ $$\varphi=-\frac {\lambda R}{2\epsilon_0} \int_\infty^{R^2 + \hat {z}^2} \frac {1}{2a^{3/2}}\textrm{d}a.$$

  Spočteme integrál

  $$\varphi=\frac {\lambda R}{2\epsilon_0} \left[\frac {1}{a^{1/2}}\right]_\infty^{R^2 + \hat {z}^2}$$

  a dosadíme meze

  $$\varphi=\frac {\lambda R}{2\epsilon_0} \frac {1}{(R^2 + \hat {z}^2)^{1/2}}.$$

  Jelikož $\hat {z}$ je libovolný bod na ose z, můžeme napsat

  $$\varphi=\frac {\lambda R}{2\epsilon_0} \frac {1}{(R^2 + {z}^2)^{1/2}},$$

  což je stejný vztah, jaký nám vyšel přímou integrací v části b).

• Grafy průběhu elektrické intenzity a potenciálu

  Na následujících obrázcích si můžeme prohlédnout průběhy závislostí elektrické intenzity a potenciálu na vzdálenosti z od středu obruče.

  

   

  

• Odpověď

  Velikost elektrické intenzity na ose homogenně nabité obruče je

  $${E}=\frac{\lambda R}{2\epsilon_0} \frac {z} {\sqrt{(z^2 + R^2)^3}},$$

  intenzita míří ve směru osy z.

  Potenciál na ose homogenně nabité obruče má velikost $$\varphi=\frac {1}{2\epsilon_0} \frac {\lambda R}{\sqrt{R^2 + z^2}}.$$

  Dále jsme pro body na ose obruče ověřili platnost vztahu mezi $\vec {E}$ a $\varphi$.

• Analogická úloha

  Analogickou úlohou je úloha Nabitá půlobruč.