Volný a posuvný proud ve vodě

Úloha číslo: 261

Uvažte deskový kondenzátor ponořený hluboko do mořské vody, jehož desky jsou blízko sebe a budíme mezi nimi proměnné napětí

\[u = U_0\,\cos\,(2\pi ft), \qquad {\rm kde} \qquad f = 4 {\cdot} 10^{8}\ {\rm Hz}.\]

Mořská voda má při této frekvenci permitivitu přibližně ε = 81ε0, permeabilitu přibližně μ = μ0 a měrný elektrický odpor ρ = 0,23 Ω · m.

Odhadněte poměr amplitud hustoty volného proudu a hustoty Maxwellova posuvného proudu mezi deskami při použití kvazistacionárního přiblížení. Posuďte, zda jeho použití bylo korektní.

  • Nápověda – potřebné vztahy

    Uvědomte si, jak souvisí

    • napětí mezi deskami kondenzátoru s elektrickou intenzitou pole mezi nimi (v kvazistacionárním přiblížení),
    • hustota volného proudu s intenzitou elektrického pole,
    • hustota posuvného proudu s elektrickou indukcí pole.
  • Rozbor

    V deskovém kondenzátoru umíme – v kvazistacionárním přiblížení, ve kterém platí zákony elektrostatiky – spočítat velikost elektrické intenzity v závislosti na napětí mezi elektrodami.

    Z průběhu elektrické intenzity pak umíme pomocí Ohmova zákona (v diferenciálním tvaru) a definice hustoty posuvného proudu (parciální derivace elektrické indukce podle času) spočítat hustotu volného i posuvného proudu. Pak stačí porovnat jejich amplitudy.

    Je jistě otázkou, nakolik je při téměř GHz frekvenci napětí kvazistacionární přiblížení oprávněné. Jednoduché kritérium praví, že jej lze bez obav použít, pokud nám vyjde amplituda posuvného proudu mnohem menší než amplituda volného proudu.

  • Řešení

    V kvazistacionárním přiblížení platí pro velikost elektrické intenzity E homogenního elektrického pole mezi deskami

    \[E = \frac{u}{d} = \frac{U_0}{d}\,\cos\,(2\pi ft),\]

    kde d je vzdálenost desek. Podle Ohmova zákona v diferenciálním tvaru odtud plyne, že velikost hustoty volného proudu mezi deskami je

    \[j = \sigma E = \frac{1}{\varrho}\frac{u}{d} = \frac{U_0\cos(2\pi ft)}{\varrho d}.\]

    Při úpravě jsme použili vztah mezi měrnou elektrickou vodivostí σ a měrným elektrickým odporem ρ = 1/σ. Velikost hustoty posuvného proudu mezi deskami je potom

    \[j_d = \frac{\partial D}{\partial t} = \varepsilon\frac{\partial E}{\partial t} = -\frac{\varepsilon}{d}U_0\,\cdot\, 2\pi f\, \cdot\, \sin(2\pi ft).\]

    Poměr amplitud obou proudových hustot je tedy

    \[\frac{j_{max}}{j_{d,max}} = \frac{\frac{U_0}{\varrho d}}{2\pi f U_0\frac{\varepsilon}{d}} = \frac{1}{2\pi f\varepsilon\varrho}\, \dot{=}\, 2{,}4.\]

    Volný proud a posuvný proud jsou tedy za těchto podmínek řádově srovnatelně velké. Z toho vyplývá, že použít kvazistacionární přiblížení v tomto případě není zcela korektní a výpočet musíme brát spíše jako řádový odhad, nebo právě jako pouhé ověření (ne)oprávněnosti kvazistacionárního přiblížení.

  • Odpověď

    Použití kvazistacionárního přiblížení dává řádový odhad pro poměr amplitud hustoty proudu a posuvného proudu

    \[\frac{j_{max}}{j_{d,max}} \dot{=}\, 2{,}4,\]

    což znamená, že kvazistacionární přiblížení není při dané frekvenci zcela oprávněné.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na hodnocení
Zaslat komentář k úloze