Délka výboje doutnavky

Úloha číslo: 75

Ke zdroji střídavého napětí o efektivní hodnotě 230 V a frekvenci 50 Hz je připojena doutnavka. Doutnavka je do obvodu zapojena přes rezistor o hodnotě odporu 150 kΩ. Zápalné napětí doutnavky s rezistorem má hodnotu 116 V, zhášecího napětí má hodnotu 87 V. Určete dobu, po kterou doutnavka svítí v průběhu první poloviny periody.

Pozn.: Doutnavka popsaná v zadání je reálná doutnavka, kterou najdeme například ve vypínačích světla na chodbách budov.

  • Zápis

    Ze zadání známe:

    Napětí zdroje:U = 230 V
    Frekvence napětí zdroje:f = 50 Hz
    Odpor rezistoru:R = 150 kΩ
    Zápalné napětí doutnavky s rezistorem:  UZ = 116 V
    Zhášecí napětí doutnavky s rezistorem:UZH = 87 V

    Chceme určit:

    Dobu, po kterou doutnavka svítí:Δt = ? (s)
  • Nápověda 1 - zápalné napětí

    Doutnavka začne svítit, pokud napětí dosáhne zápalné hodnoty UZ = 116 V. Svítí v době, kdy je napětí vyšší než hodnota UZ. Jakmile hodnota napětí poklesne pod UZH = 87 V, doutnavka zhasne.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, jaký průběh má střídavé harmonické napětí. Jak souvisí efektivní a maximální hodnota napětí?

  • Nápověda 3

    Časový průběh napětí popíšeme pomocí funkce sinus:

    \[u\left(t\right)=U_m \sin{\left(\omega t\right)}\]

    sinusoida

  • Rozbor úlohy

    Doutnavka se rozsvítí, pokud napětí dosáhne hodnoty zápalného napětí, a zhasne, pokud napětí poklesne pod hodnotu zhášecího napětí. Naším úkolem je tedy najít interval mezi časem, ve kterém napětí přesáhne napětí zápalné, a časem, kdy napětí poklesne pod hodnotu zhášecího napětí. K tomu využijeme vyjádření časové závislosti napětí pomocí funkce sinus.

  • Řešení

    sinusoida

    Časová závislost střídavého napětí je obecně popsána vztahem:

    \[u(t)=U_m\, \sin(\omega t).\]

    Pro amplitudu napětí Um platí:

    \[U_m=\sqrt{2}U\mathrm{,}\]

    kde U je zadaná efektivní hodnota.


    1) Zápalné napětí:

    Hledáme okamžik, kdy se okamžité napětí v obvodu rovná zápalnému napětí doutnavky, tj. budeme řešit rovnici:

    \[U_Z=U_m\, sin(\omega t_1).\] \[U_Z=\sqrt{2}U\, sin(\omega t_1).\]

    Vyjádříme dobu, kdy se doutnavka rozsvítí:

    \[\sin(\omega t_1)=\frac{U_Z}{\sqrt{2} U}\] \[\omega t_1=\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_Z}{\sqrt{2} U}\right)\] \[t_1=\frac{\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_Z}{\sqrt{2} U}\right)}{\omega}\]

    Pro výraz

    \[\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_Z}{\sqrt{2} U}\right)\]

    dostaneme dvě číselné hodnoty:

    a)\(\hspace{10px}\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_Z}{\sqrt{2} U}\right)=\mathrm{arcsin} \left(\frac{116}{\sqrt{2}\cdot 230}\right)=0{,}36\)

    b)\(\hspace{10px}\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_Z}{\sqrt{2} U}\right)=\mathrm{arcsin} \left(\frac{116}{\sqrt{2}\cdot 230}\right)=\pi - 0{,}36=2{,}78\)

    Z těchto dvou hodnot vybereme tu menší, tedy za a), protože ta odpovídá hodnotě t1 znázorněné na obrázku.

    Číselně dosadíme do vyjádření doby, kdy se doutnavka rozsvítí:

    \[t_{1}=\frac{\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_Z}{\sqrt{2} U}\right)}{\omega}=\frac{\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_Z}{\sqrt{2} U}\right)}{2 \pi f}=\frac{\mathrm{arcsin} \left(\frac{116}{\sqrt{2}\cdot 230}\right)}{2\pi\cdot 50}\,\dot{=}\,1{,}16\,\mathrm {ms}\]

    Pozn.: Pokud Vám nevyšlo stejné číselné řešení, zkontrolujte, zda máte kalkulačku přepnutou na radiány. Pokud chcete počítat ve stupních, je nutné místo číslem 2π dělit výrazy pro čas hodnotou 360°.


    2) Zhášecí napětí:

    Hledáme okamžik, kdy se okamžité napětí v obvodu rovná zhášecímu napětí doutnavky, tj. budeme řešit rovnici:

    \[U_{ZH}= U_m \, \sin(\omega t_2)\] \[U_{ZH}=\sqrt{2} U \, \sin( \omega t_2)\]

    Vyjádříme dobu, kdy doutnavka zhasne:

    \[\sin(\omega t_2)=\frac{U_{ZH}}{\sqrt{2} U}\] \[\omega t_2=\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_{ZH}}{\sqrt{2} U}\right)\] \[t_2=\frac{\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_{ZH}}{\sqrt{2} U}\right)}{\omega}\]

    Pro výraz \[\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_{ZH}}{\sqrt{2} U}\right)\] dostaneme dvě číselné hodnoty:

    a)\(\hspace{10px}\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_{ZH}}{\sqrt{2} U}\right)=\mathrm{arcsin} \left(\frac{87}{\sqrt{2}\cdot 230}\right)=0{,}27\)

    b)\(\hspace{10px}\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_{ZH}}{\sqrt{2} U}\right)=\mathrm{arcsin} \left(\frac{87}{\sqrt{2}\cdot 230}\right)=\pi - 0{,}27=2{,}87\)

    Z těchto dvou hodnot vybereme tu větší, tedy za b), protože ta odpovídá hodnotě t2 znázorněné na obrázku.

    Číselně dosadíme do vyjádření doby, kdy doutnavka zhasne:

    \[t_{2}=\frac{\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_{ZH}}{\sqrt{2} U}\right)}{\omega}=\frac{\mathrm{arcsin} \left(\frac{U_{ZH}}{\sqrt{2} U}\right)}{2 \pi f}=\frac{\mathrm{arcsin} \left(\frac{87}{\sqrt{2}\cdot 230}\right)}{2 \pi\cdot 50}\dot=9{,}14\,\mathrm {ms}\]

    Časový interval, ve kterém bude doutnavka svítit, získáme odečtením hodnot časů získaných z velikosti argumentu funkce sinus pro jednotlivá napětí:

    \[ \Delta t = t_2 - t_1 = (9{,}14-1{,}16)\, \mathrm {ms} \,\dot{=}\,8\, \mathrm {ms} \]
  • Odpověď

    Interval, ve kterém bude doutnavka svítit v průběhu jedné poloviny periody střídavého napětí, má délku 8 ms.

  • Komentář

    Úlohu jsme řešili jen pro polovinu periody střídavého napětí. V průběhu celé periody doutnavka „blikne” dvakrát, protože svítí při obou směrech proudu.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Zaslat komentář k úloze