Magnetické pole homogenně zmagnetované koule

Úloha číslo: 247

Určete indukci magnetického pole uvnitř a vně koule, která je homogenně (nikoliv radiálně!) zmagnetizována.

  • Nápověda

    Spočtěte, jakým vázaným proudům uvnitř koule a na jejím povrchu odpovídá homogenní magnetizace. Příslušné vázané proudy pak porovnejte se situací rotující koule s nábojem rovnoměrně rozloženým na jejím povrchu a využijte výsledků, které o takové rotující kouli znáte z úlohy Magnetické pole rotující nabité koule.

  • Rozbor

    Magnetickou indukci či spíše vektorový potenciál zmagnetovaných těles lze počítat buď přímou integrací, nebo lze užít faktu, že magnetizace vytváří stejné pole, jako kdyby uvnitř tělesa tekl (vázaný) proud o objemové hustotě \(\vec j_b\) a na jeho povrchu tekl (vázaný) proud o plošné hustotě \(\vec k_b\), přičemž platí

    \[\vec j_b = \nabla\times\vec M = \vec 0, \qquad \vec k_b = \vec M\times \vec n_0.\]

    Tyto vázané proudy tedy umíme přímo spočítat a pole, které budí, můžeme určit například integrací příspěvků proudových elementů k vektorovému potenciálu. Viz úlohu Magnetické pole rotující nabité koule.

  • Řešení

    Nechť kladná poloosa z odpovídá směru a orientaci vektoru magnetizace\(\vec M\). Tato magnetizace vytváří stejné pole, jako kdyby uvnitř koule tekl (vázaný) proud o objemové hustotě \(\vec j_b\)

    \[\vec j_b = \nabla\times\vec M = \vec 0,\]

    který je vzhledem k homogennosti magnetizace nulový, a na povrchu koule tekl (vázaný) proud o plošné hustotě \(\vec k_b\)

    \[\vec k_b = \vec M\times \vec n_0 = M\sin\theta\vec \phi,\]

    kde značíme \(\vec n_0\) jednotkový vektor vnější normály v daném místě povrchu koule.

    Používáme sférické souřadnice, tj. úhel θ měříme od kladné poloosy z (až do záporné poloosy) a úhel \(\phi\) měříme v rovině xy od kladné poloosy x. Vektor \(\vec\phi\) značí jednotkový vektor rovnoběžný s rovinou xy, mající směr tečny ke kružnici v této rovině se středem v počátku, přičemž tuto tečnu uvažujeme v bodě na kružnici určeném druhým ramenem orientovaného úhlu \(\phi\).

    V kouli se tedy vytvoří stejné pole jako v kouli, po níž teče povrchový proud s hustotou \(\vec k_b\). Taková hustota povrchového proudu je analogická případu rotující koule s rovnoměrnou hustotou povrchového náboje σ. Pak je

    \[\vec k = \sigma\vec v = \sigma(\vec\omega\times\vec r) = \sigma\omega R\,\sin(\theta)\ \vec\phi.\]

    Jestliže tedy zaměníme \(\sigma\omega R \to M\), pak můžeme použít výsledky úlohy Magnetické pole rotující nabité koule a po záměně dostáváme, že magnetická indukce uvnitř koule je určena vztahem

    \[\vec B = \frac{2}{3}\mu_0\vec M,\] zatímco vně je pole stejné jako pole ideálního dipólu s magnetickým momentem \[\vec m = V\vec M = \frac{4}{3}\pi R^3\vec M.\]
  • Odkaz

    Při řešení jsme použili výsledek úlohy Magnetické pole rotující nabité koule.

  • Odpověď

    Magnetické pole uvnitř koule je homogenní, magnetická indukce je určena vztahem

    \[\vec B = \frac{2}{3}\mu_0\vec M.\]

    Vně koule je pole stejné jako pole ideálního (magnetického) dipólu s magnetickým (dipólovým) momentem

    \[\vec m = V\vec M = \frac{4}{3}\pi R^3\vec M.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze