Sbírka řešených úloh

Magnetické pole homogenně zmagnetované koule

Úloha číslo: 247

• Nápověda

  Spočtěte, jakým vázaným proudům uvnitř koule a na jejím povrchu odpovídá homogenní magnetizace. Příslušné vázané proudy pak porovnejte se situací rotující koule s nábojem rovnoměrně rozloženým na jejím povrchu a využijte výsledků, které o takové rotující kouli znáte z úlohy Magnetické pole rotující nabité koule.

• Rozbor

  Magnetickou indukci či spíše vektorový potenciál zmagnetovaných těles lze počítat buď přímou integrací, nebo lze užít faktu, že magnetizace vytváří stejné pole, jako kdyby uvnitř tělesa tekl (vázaný) proud o objemové hustotě \(\vec j_\mathrm{b}\) a na jeho povrchu tekl (vázaný) proud o plošné hustotě \(\vec k_\mathrm{b}\), přičemž platí

  \[\vec j_\mathrm{b} = \nabla\times\vec M = \vec 0, \qquad \vec k_\mathrm{b} = \vec M\times \vec n_0.\]

  Tyto vázané proudy tedy umíme přímo spočítat a pole, které budí, můžeme určit například integrací příspěvků proudových elementů k vektorovému potenciálu. Viz úlohu Magnetické pole rotující nabité koule.

• Řešení

  Nechť kladná poloosa z odpovídá směru a orientaci vektoru magnetizace \(\vec M\). Tato magnetizace vytváří stejné pole, jako kdyby uvnitř koule tekl (vázaný) proud o objemové hustotě \(\vec j_\mathrm{b}:\)

  \[\vec j_\mathrm{b} = \nabla\times\vec M = \vec 0,\]

  který je vzhledem k homogennosti magnetizace nulový, a na povrchu koule tekl (vázaný) proud o plošné hustotě \(\vec k_\mathrm{b}\):

  \[\vec k_\mathrm{b} = \vec M\times \vec n_0 = M\sin\theta\vec \phi,\]

  kde značíme \(\vec n_0\) jednotkový vektor vnější normály v daném místě povrchu koule.

  Používáme sférické souřadnice, tj. úhel θ měříme od kladné poloosy z (až do záporné poloosy) a úhel \(\phi\) měříme v rovině xy od kladné poloosy x. Vektor \(\vec\phi\) značí jednotkový vektor rovnoběžný s rovinou xy mající směr tečny ke kružnici v této rovině se středem v počátku, přičemž tuto tečnu uvažujeme v bodě na kružnici určeném druhým ramenem orientovaného úhlu \(\phi\).

  V kouli se tedy vytvoří stejné pole jako v kouli, po níž teče povrchový proud s hustotou \(\vec k_\mathrm{b}\). Taková hustota povrchového proudu je analogická případu rotující koule s rovnoměrnou hustotou povrchového náboje σ. Pak je

  \[\vec k = \sigma\vec v = \sigma(\vec\omega\times\vec r) = \sigma\omega R\,\sin(\theta)\ \vec\phi.\]

  Jestliže tedy zaměníme \(\sigma\omega R \to M\), pak můžeme použít výsledky úlohy Magnetické pole rotující nabité koule a po záměně dostáváme, že magnetická indukce uvnitř koule je určena vztahem

  \[\vec B = \frac{2}{3}\mu_0\vec M,\] zatímco vně je pole stejné jako pole ideálního dipólu s magnetickým momentem \[\vec m = V\vec M = \frac{4}{3}\pi R^3\vec M.\]

• Odkaz

  Při řešení jsme použili výsledek úlohy Magnetické pole rotující nabité koule.

• Odpověď

  Magnetické pole uvnitř koule je homogenní, magnetická indukce je určena vztahem

  \[\vec B = \frac{2}{3}\mu_0\vec M.\]

  Vně koule je pole stejné jako pole ideálního (magnetického) dipólu s magnetickým (dipólovým) momentem

  \[\vec m = V\vec M = \frac{4}{3}\pi R^3\vec M.\]