Sbírka řešených úloh

Energie magnetických dipólů a jednoduchý model feromagnetika

Úloha číslo: 252

• Nápověda k části (a)

  Lze přenést dipól z nekonečna do daného místa v magnetickém poli tak, aby se přitom nevykonala žádná práce? Pokud ano, jak přitom musí být dipól orientován?

  Jaký moment síly působí na dipól v magnetickém poli? Jak lze určit velikost práce, kterou musím vykonat na pootočení dipólu v daném místě?

  Záleží na tom, jakým způsobem dostanu dipól z nekonečna do určeného místa a správné orientace?

• Řešení nápovědy k části (a)

  Ano, je to možné. Magnetické pole je vírové — indukční čáry připomínají vrstevnice na mapách — a jestliže dipól putuje polem s orientací kolmou na indukční čáry, pak se nekoná žádná práce.

  To plyne z toho, že síla působící na dipól v magnetickém poli je rovna \(\vec F = \nabla(\vec m\cdot\vec B)\). Při dodržování popsané orientace budou skalární součin \(\vec m\cdot\vec B\), a tedy i síla neustále nulové.

  Dipól tedy může doputovat z nekonečna do daného místa tak, aby se přitom nevykonala žádná práce. Doputuje ale v orientaci kolmé na vektor magnetické indukce v určeném místě.

   

  Na dipól v magnetickém poli působí moment síly \(\vec N\):

  \[\vec N = \vec m\times\vec B, \qquad |\vec N| = mB\,\sin\,\theta,\]

  kde θ je úhel, který svírá magnetický moment a magnetická indukce. Při natáčení dipólu proti působení momentu síly tedy vykonáváme práci na překonání tohoto momentu. Při pootočení o malý úhel vykonáme práci dW = F ds = F · rdθ' = N dθ', a proto

  \[W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} mB\sin\theta^,\ \mathrm{d}\theta^,\,.\]

  Na tom, jakým způsobem dostaneme dipól z nekonečna do určeného místa a orientace, nezáleží.

  Proč, to je ovšem složitější otázka. Na rozdíl od analogické úlohy v elektrickém poli se nemůžeme odvolávat na to, že by magnetické pole bylo konzervativní. Nicméně právě analogii s elektrickým polem zde můžeme pro zdůvodnění použít. Pokud bychom totiž magnetický dipólový moment \(\vec m\) nahradili elektrickým dipólovým momentem \(\vec p\) a magnetickou indukci \(\vec B\) elektrickou intenzitou \(\vec E\) a řešili analogickou úlohu pro elektrické pole a elektrický dipól, budou pro moment síly a sílu působící na elektrický dipól v daném místě prostoru platit zcela analogické vztahy

  \[\vec N = \vec p\times\vec E, \qquad \vec F = \nabla(\vec p\cdot\vec E).\]

  U elektrického pole je ale nezávislost na „způsobu dopravy“ zřejmá z konzervativního charakteru pole. Jestliže naše úloha je popsána formálně stejnými vztahy, pak v ní nezávislost na „způsobu dopravy“ musí platit taktéž.

• „Heuristické“ řešení části (a)

  Protože magnetické pole je vírové, je možné magnetický dipól přenést z nekonečna do libovolného místa tak, aby se přitom nevykonala žádná práce — přitom je ale nutné jej přenášet v takové orientaci, aby jeho dipólový moment byl stále kolmý na směr indukce, což je možné.

  Jestliže jej tedy přenášíme tímto způsobem, vykonáme jedinou práci na jeho otočení z orientace kolmé k indukčním čarám „do správného směru“. Tento směr popíšeme úhlem θ, který měříme od vektoru magnetické indukce \(\vec B\) k vektoru dipólového momentu \(\vec m\). Protože na ideální magnetický dipól působí v magnetickém poli moment síly

  \[\vec N = \vec m\times\vec B,\]

  vykonáme při otočení (z pravého úhlu do úhlu θ) práci

  \[W = \int_{\pi/2}^\theta mB\sin\theta^,\,d\theta^, = -mB\cos\theta = -\vec m\cdot\vec B.\]

• Rigorózní řešení části (a)

  Pokud se čtenář zamyslí nad řešením části (a) hlouběji, vytanou mu na mysli některé otázky, které nemají jednoduchou odpověď: například, zda není potřeba energie na průběžné natáčení dipólu po cestě z nekonečna do daného místa, když putuje kolmo na indukční čáry.

  Ve skutečnosti je výpočet popsaný v předchozím oddíle přinejlepším heuristický, ačkoliv dává přesný výsledek, a svým způsobem zbytečně komplikovaný. Jestliže víme, že na dipól v magnetickém poli působí síla

  \[\vec F = \nabla(\vec m\,\cdot\,\vec B),\]

  potom lze rigorózně postupovat následujícími úvahami:

  • Jedna ze základních vět analýzy říká, že jestliže vektorová funkce (v našem případě síla) je rovna gradientu skalární funkce (v našem případě skalárnímu součinu \(\vec m\) a \(\vec B\)), pak křivkový integrál prvního druhu (což fyzikálně odpovídá práci vykonané podél dané křivky) nezávisí na cestě, ale pouze na počátečním a koncovém bodě křivky. Skalární funkce je až na znaménko rovna potenciální energii.

  • Tato potenciální energie je definována jako práce potřebná na přenesení dipólu „z nekonečna“ (přesněji místa s nulovým „potenciálem“) do daného místa, respektive jako záporně vzatá práce vykonaná polem při přenesení dipólu „z nekonečna“ (přesněji místa s nulovým „potenciálem“) do daného místa.

  Z definice potenciální energie a věty o integraci gradientu vektorové funkce tak okamžitě vyplývá (označíme-li \(\infty\) místo s nulovým „potenciálem“), že

  \[W = -\int_{\infty}^\mathrm{\vec r} \nabla(\vec m\,\cdot\,\vec B)\,\cdot\,d\vec r =\] \[= (\vec m\,\cdot\,\vec B)(\infty)-(\vec m\,\cdot\,\vec B)(\vec r) = -(\vec m\,\cdot\,\vec B)(\vec r)\]

  což je hledaný vztah pro práci W.

  Úvahy provedené v části „Heuristické řešení“ umožňují nalézt vztah pro práci i bez znalosti vztahu pro sílu, což má jisté odůvodnění v tom, že vztah pro sílu se velmi špatně dokazuje přímo a přesně bez použití podobných heuristických úvah. Jejich druhá výhoda je, že se neopírají o žádný hluboký matematický aparát. Za to ovšem platíme tím, že musíme přijmout některé úvahy, jejichž odůvodnění není zcela exaktní.

• Nápověda k části (b)

  Dosaďte do vztahu z části (a) za magnetickou indukci pole buzené dipólem druhým dipólem.

• Řešení části (b)

  Podle předchozí části je energie magnetického dipólu v magnetickém poli rovna

  \[W = -\vec m_1\cdot \vec B_2,\]

  druhý dipól přitom v místě dipólu prvního vytváří magnetické pole, jehož indukce je určena vztahem

  \[\vec B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^5}\left[3(\vec m_2\cdot\vec r)\vec r-r^2\,\vec m_2\right]\]

  za předpokladu, že první dipól jsme umístili do počátku souřadného systému a poloha druhého dipólu je popsána vektorem \(\vec r\) (viz zadání). Teď stačí tedy provést skalární součin a tím dostaneme

  \[W = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^5}\left[r^2(\vec m_1\cdot \vec m_2)-3(\vec m_2\cdot\vec r)(\vec m_1\cdot \vec r)\right].\]

• Nápověda k části (c)

  Určete si nejprve skalární součiny pomocí úhlů θ₁ a θ₂, dosaďte do vztahu pro interakční energii v předchozím oddíle a upravte.

  Při hledání stabilní polohy hledáme vlastně globální minimum funkce energie, která závisí na dvou proměnných θ₁ a θ₂. Nutnou podmínkou pro minimum je nulovost obou parciálních derivací

  \[\frac{\partial W}{\partial \theta_1} = 0, \qquad \frac{\partial W}{\partial \theta_2} = 0.\]

  Tuto soustavu dvou rovnic o dvou neznámých vyřešte. Nalezená řešení dosaďte do původního vztahu pro energii a porovnejte jejich hodnoty. Stabilní polohu bude určovat to řešení, pro které energie vyjde nejmenší.

• Řešení částí (c) a (d)

  (c) Stačí si uvědomit, že

  \[\vec m_1\cdot \vec r = m_1r\cos\theta_1, \qquad \vec m_2\cdot \vec r = m_2r\cos\theta_2,\] \[\vec m_1\cdot \vec m_2 = m_1m_2\cos(\theta_2-\theta_1).\]

  Po dosazení do vztahu

  \[W = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^5}\,\left[r^2(\vec m_1\cdot \vec m_2)-3(\vec m_2\cdot\vec r)(\vec m_1\cdot \vec r)\right]\]

  dostaneme

  \[W = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^5}\,\left[m_1m_2r^2\cos(\theta_2-\theta_1)-3(m_2r\cos\theta_2)(m_1r\cos\theta_1)\right]\] \[W = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^5}\,\left[m_1m_2r^2\cos(\theta_2-\theta_1)-3m_1m_2r^2\cos\theta_1\,\cos\theta_2)\right]\]

  a po následném použití vztahu

  \[\cos(\theta_2-\theta_1) = \cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2\]

  a jednoduché úpravě dostaneme

  \[W = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{m_1m_2}{r^3}\,\left[\sin\theta_1\sin\theta_2-2\cos\theta_1\cos\theta_2\right].\tag{*}\]

   

  Stabilní poloha odpovídá globálnímu minimu interakční energie. Nutná podmínka pro extrém funkce dvou proměnných je nulovost prvních parciálních derivací, tj.

  \[0 = \frac{\partial W}{\partial \theta_1} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{m_1m_2}{r^3}\,\left[\cos\theta_1\sin\theta_2+2\sin\theta_1\cos\theta_2\right],\] \[0 = \frac{\partial W}{\partial \theta_2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{m_1m_2}{r^3}\,\left[\sin\theta_1\cos\theta_2+2\cos\theta_1\sin\theta_2\right].\]

  Vynásobením druhé rovnice dvěma a odečtením dostaneme

  \[-3\cos\theta_1\sin\theta_2 = 0,\]

  odkud vyplývají dvě možnosti:

  (1) sin θ₂ = 0, což (vzhledem k tomu, že pak cos θ₂ nemůže být nulový) ihned implikuje také sin θ₁ = 0.

  (2) cos θ₁ = 0, což (vzhledem k tomu, že pak sin θ₁ nemůže být nulový) ihned implikuje také cos θ₂ = 0.

  Tyto dvě podmínky dávají celkem čtyři možné konfigurace.

  Možnost (1) říká, že dipóly jsou orientovány ve směru spojnice, přičemž jejich momenty mohou mít vzájemně buď souhlasnou (případ θ₁ = θ₂ = 0) nebo opačnou orientaci (případ θ₁ = 0, θ₂ = π). Další dvě řešení (θ₁ = θ₂ = π a θ₁ = π, θ₂ = 0) nepřináší fyzikálně nic nového — dipóly mají opět vůči sobě buď souhlasnou, nebo opačnou orientaci.

  Možnost (2) říká, že dipóly jsou orientovány kolmo na svou spojnici, přičemž jejich momenty mohou mít vzájemně buď souhlasnou orientaci (případ θ₁ = θ₂ = π/2), nebo opačnou orientaci (případ θ₁ = π/2, θ₂ = 3π/2). Další dvě možnosti řešení opět nepřináší žádnou novou situaci.

  Pokud ve všech čtyřech uvažovaných případech dosadíme do velikosti obou úhlů vztah (*) pro potenciální energii, dostaneme postupně

  \[W = -2\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{m_1m_2}{r^3},\] \[W = 2\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{m_1m_2}{r^3},\] \[W = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{m_1m_2}{r^3},\] \[W = -\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{m_1m_2}{r^3}.\]

  Energie je nejmenší v prvním případě. Dipóly se tedy srovnají tak, že jejich momenty budou shodně orientovány, a to ve směru přímky, která je spojuje.

   

  (d) Výsledek (c) lze ihned přenést. „Kompasy“ se srovnají do přímky s dipólovými momenty mířícími ve směru této přímky a všechny budou mít souhlasnou orientaci.