Intenzita pole nabitého balónu
Úloha číslo: 166
Kulový gumový balón o poloměru 10 cm má na svém povrchu rovnoměrně rozložený náboj 1 µC. Balón budeme pomalu rovnoměrně nafukovat tak, že každých 5 sekund se jeho objem zvětší o 4 litry.
Jaký poloměr bude mít balón za 35 sekund nafukování?
Jaká bude elektrická intenzita ve vzdálenosti 40 cm od středu balónu v čase t = 35 s.
Pozn.: Balón nafukujeme opatrně, proto náboj na jeho povrchu zůstává stejný.
Nápověda
Rovnoměrně nabitá kulová slupka (balón) vytváří kolem sebe stejné pole, jako kdyby se celý její náboj soustředil v jejím středu. Vytváří tedy stejné pole jako bodový náboj.
Uvnitř rovnoměrně nabité kulové slupky je intenzita elektrického pole nulová.
Rozbor
Na začátku má balón objem V, který můžeme spočítat z jeho poloměru. Každých 5 sekund se objem balónu zvětší o 4 litry. Spočítáme, jaký objem bude mít balón za 35 sekund, a odtud dopočítáme hledaný poloměr.
Rovnoměrně nabitá kulová slupka (balón) vytváří kolem sebe stejné pole, jako kdyby se celý její náboj nacházel v jejím středu. Elektrická intenzita vně balónu (nabité kulové slupky) má tedy stejný průběh jako elektrická intenzita v okolí bodového náboje.
Uvnitř balónu (rovnoměrně nabité kulové slupky) je intenzita elektrického pole nulová.
Výpočet poloměru balónu
V čase t0 = 0 s má balón poloměr r a objem V:
\[V\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3.\]Každých 5 sekund se objem balónu zvětší o 4 litry. To znamená, že rychlost nafukování balónu je
\[w\,=\,\frac {4\,\mathrm{l}}{5\,\mathrm{s}}\,.\]Za čas t se objem balónu zvětší o \(\mathrm{\Delta V}\,=\,w t\) a balón bude mít tedy objem:
\[V_1\,=\,V+\mathrm{\Delta V}\,=\,V+w t.\tag{*}\]Zároveň můžeme vyjádřit objem V1 pomocí poloměru:
\[V_1\,=\,\frac{4}{3}\pi r_1^3.\]Vyjádření objemu V a V1 dosadíme do vzorce (*):
\[\frac{4}{3}\pi r_1^3\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3+w t.\]Nyní budeme rovnici upravovat, abychom vyjádřili hledaný poloměr r1:
\[\frac{4}{3}\pi r_1^3\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3+w t \hspace{50px} |\,:\, \frac{4}{3}\pi\] \[ r_1^3\,=\, r^3+\frac{3w t}{4\pi}\] \[ r_1\,=\, \sqrt[3]{ r^3+\frac{3 w t}{4\pi}}.\]Zápis a číselný výpočet poloměru balónu
\(r\,=\,10\,\mathrm{cm}\,=\,1\,\mathrm{dm}\) poloměr balónu na začátku \(w\,=\,\frac {4\,\mathrm{l}}{5\,\mathrm{s}}\,=\,\frac {4\,\mathrm{dm}^3}{5\,\mathrm{s}}\) rychlost nafukování \(t\,=\,35\,\mathrm{s}\) doba nafukování \(r_1\,=\,?\,\left(\mathrm{dm}\right)\) poloměr balónu po nafouknutí
\[\begin{eqnarray} r_1\,&=&\, \sqrt[3]{ r^3+\frac{3 w t}{4\pi}}\,=\, \sqrt[3]{ 1^3\,\mathrm{dm}^3+\frac{3\cdot\,\frac {4\,\mathrm{dm}^3}{5\,\mathrm{s}}\cdot \,35\,\mathrm{s}}{4\pi}}\dot=& \,1{,}97\,\mathrm{dm}\, \dot= \,20\,\mathrm{cm}\end{eqnarray}\]Výpočet elektrické intenzity
Balón má v čase t = 35 s poloměr 20 cm (což jsme spočítali v předchozí části řešení). Chceme vypočítat elektrickou intenzitu ve vzdálenosti R = 40 cm = 4r, to je vně balónu. Intenzita elektrického pole vně nabitého balónu (nabité kulové slupky) má stejný průběh jako intenzita elektrického pole bodového náboje:
\[E\,=\, k \frac{Q}{R^2}.\]Dosadíme za R a umocníme:
\[E\,=\, k \,\frac{Q}{\left(4r\right)^2},\] \[E\,=\, k \,\frac{Q}{16r^2}.\]Zápis a číselný výpočet elektrické intenzity
\(r\,=\,10\,\mathrm{cm}\,=\,0{,}1\,\mathrm{m}\) poloměr balónu na začátku \(Q\,=\,1\,\mathrm{ \mu C}\,=\,10^{-6}\,\mathrm{C}\) náboj na balónu \(E\,=\,?\,\left(\mathrm{V\,m^{-1}}\right)\) intenzita Z tabulek:
\(k\,=\, 9 {\cdot} 10^9\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}\,C^{-1}}\)
\[\begin{eqnarray}E\,&=&\, k \,\frac{Q}{16r^2}\,=\, 9 {\cdot} 10^9 \cdot\,\frac{10^{-6}}{16 {\cdot} 0{,}1^2}\,\mathrm{V\,m^{-1}} \, \dot= \,56\,000\,\mathrm{V\,m^{-1}}\dot=&\,56\,\mathrm{kV\,m^{-1}}\end{eqnarray}\]Odpověď
V čase t = 35 sekund má balón poloměr
\[r_1\,=\,^3\sqrt{ r^3+\frac{3w t}{4\pi}}\, \dot= \,20\,\mathrm{cm}.\]Ve vzdálenosti R = 40 cm má elektrická intenzita pole velikost
\[E\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \,\frac{Q}{16r^2}\, \, \dot= \,56\,\mathrm{kV\,m^{-1}}.\]
