Intenzita pole nabitého balónu

Úloha číslo: 166

Kulový gumový balón o poloměru 10 cm má na svém povrchu rovnoměrně rozložený náboj 1 µC. Balón budeme pomalu rovnoměrně nafukovat tak, že každých 5 sekund se jeho objem zvětší o 4 litry.

Jaký poloměr bude mít balón za 35 sekund nafukování?

Jaká bude elektrická intenzita ve vzdálenosti 40 cm od středu balónu v čase t = 35 s.

Obrázek k zadání úlohy

Pozn.: Balón nafukujeme opatrně, proto náboj na jeho povrchu zůstává stejný.

  • Nápověda

    Rovnoměrně nabitá kulová slupka (balón) vytváří kolem sebe stejné pole, jako kdyby se celý její náboj soustředil v jejím středu. Vytváří tedy stejné pole jako bodový náboj.

    Uvnitř rovnoměrně nabité kulové slupky je intenzita elektrického pole nulová.

  • Rozbor

    Na začátku má balón objem V, který můžeme spočítat z jeho poloměru. Každých 5 sekund se objem balónu zvětší o 4 litry. Spočítáme jaký objem bude mít balón za 35 sekund a odtud dopočítáme hledaný poloměr.

    Rovnoměrně nabitá kulová slupka (balón) vytváří kolem sebe stejné pole, jako kdyby se celý její náboj nacházel v jejím středu. Elektrická intenzita vně balónu (nabité kulové slupky) má tedy stejný průběh jako elektrická intenzita v okolí bodového náboje.

    Uvnitř balónu (rovnoměrně nabité kulové slupky) je intenzita elektrického pole nulová.

  • Výpočet poloměru balónu

    V čase t0 = 0 s má balón poloměr r a objem V:

    \[V\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3.\]

    Každých 5 sekund se objem balónu zvětší o 4 litry. To znamená, že rychlost nafukování balónu je

    \[w\,=\,\frac {4\,\mathrm{l}}{5\,\mathrm{s}}\,.\]

    Za čas t se objem balónu zvětší o \(\mathrm{\Delta V}\,=\,w t\) a balón bude mít tedy objem:

    \[V_1\,=\,V+\mathrm{\Delta V}\,=\,V+w t.\tag{*}\]

    Zároveň můžeme vyjádřit objem V1 pomocí poloměru.

    \[V_1\,=\,\frac{4}{3}\pi r_1^3\]

    Vyjádření objemu V a V1 dosadíme do vzorce (*)

    \[\frac{4}{3}\pi r_1^3\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3+w t.\]

    Nyní budeme rovnici upravovat, abychom vyjádřili hledaný poloměr r1.

    \[\frac{4}{3}\pi r_1^3\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3+w t \hspace{50px} |\,:\, \frac{4}{3}\pi\] \[ r_1^3\,=\, r^3+\frac{3w t}{4\pi}\] \[ r_1\,=\, \sqrt[3]{ r^3+\frac{3 w t}{4\pi}}\]
  • Zápis a číselný výpočet poloměru balónu

    \(r\,=\,10\,\mathrm{cm}\,=\,1\,\mathrm{dm}\) poloměr balónu za začátku
    \(w\,=\,\frac {4\,\mathrm{l}}{5\,\mathrm{s}}\,=\,\frac {4\,\mathrm{dm}^3}{5\,\mathrm{s}}\) rychlost nafukování
    \(t\,=\,35\,\mathrm{s}\) doba nafukování
    \(r_1\,=\,?\,\left(\mathrm{dm}\right)\) poloměr balónu po nafouknutí

    \[\begin{eqnarray} r_1\,&=&\, \sqrt[3]{ r^3+\frac{3 w t}{4\pi}}\,=\, \sqrt[3]{ 1^3\,\mathrm{dm}^3+\frac{3\cdot\,\frac {4\,\mathrm{dm}^3}{5\,\mathrm{s}}\cdot \,35\,\mathrm{s}}{4\pi}}\dot=& \,1{,}97\,\mathrm{dm}\, \dot= \,20\,\mathrm{cm}\end{eqnarray}\]
  • Výpočet elektrické intenzity

    Balón má v čase t = 35 s poloměr 20 cm (což jsme spočítali v předchozí části řešení). Chceme vypočítat elektrickou intenzitu ve vzdálenosti R = 40 cm = 4r, to je vně balónu. Intenzita elektrického pole vně nabitého balónu (nabité kulové slupky) má stejný průběh jako intenzita elektrického pole bodového náboje.

    \[E\,=\, k \frac{Q}{R^2}\]

    Dosadíme za R a umocníme.

    \[E\,=\, k \,\frac{Q}{\left(4r\right)^2}\] \[E\,=\, k \,\frac{Q}{16r^2}\]
  • Zápis a číselný výpočet elektrické intenzity

    \(r\,=\,10\,\mathrm{cm}\,=\,0{,}1\,\mathrm{m}\) poloměr balóna na začátku
    \(Q\,=\,1\,\mathrm{ \mu C}\,=\,10^{-6}\,\mathrm{C}\) náboj na balónu
    \(E\,=\,?\,\left(\mathrm{V\,m^{-1}}\right)\) intenzita

    Z tabulek:

    \(k\,=\, 9 {\cdot} 10^9\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}\,C^{-1}}\)

    \[\begin{eqnarray}E\,&=&\, k \,\frac{Q}{16r^2}\,=\, 9 {\cdot} 10^9 \cdot\,\frac{10^{-6}}{16 {\cdot} 0{,}1^2}\,\mathrm{V\,m^{-1}} \, \dot= \,56\,000\,\mathrm{V\,m^{-1}}\dot=&\,56\,\mathrm{kV\,m^{-1}}\end{eqnarray}\]
  • Odpověď

    V čase t = 35 sekund má balón poloměr

    \[r_1\,=\,^3\sqrt{ r^3+\frac{3w t}{4\pi}}\, \dot= \,20\,\mathrm{cm}.\]

    Ve vzdálenosti R = 40 cm má elektrická intenzita pole velikost

    \[E\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \,\frac{Q}{16r^2}\, \, \dot= \,56\,\mathrm{kV\,m^{-1}}.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze