Sbírka řešených úloh

Pole nabité roviny řešené mnoha způsoby

Úloha číslo: 2132

• a) Nápověda – přímá integrace pomocí polárních souřadnic

  Kladný bodový náboj Q vytváří ve vzdálenosti r pole o velikosti intenzity

  $$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}.$$

  Vektor intenzity $\vec{E}$ míří směrem od náboje, pokud je Q kladný. V opačném případě míří k náboji.

  Zamyslete se nad tím, jak bychom tohoto poznatku mohli využít v této úloze.

• a) Řešení nápovědy – přímá integrace pomocí polárních souřadnic

  Rovinu rozdělíme na malé kousky (plošky dS), které se budou chovat jako bodové náboje. Celkovou intenzitu získáme „sečtením“ (přesněji integrováním) příspěvků od všech těchto malých kousků.

• a) Komentář – přímá integrace pomocí polárních souřadnic

  Pro lepší představu si celou situaci nakreslíme do kartézských souřadnic. Do obrázku si vyznačíme také cylindrické souřadnice $\rho, \alpha, z$.

  Pozn.: Pro cylindrické souřadnice se standardně používá písmen r, $\varphi$, z. Jelikož se písmenem $\varphi$ označuje elektrický potenciál, s kterým budeme počítat, bylo nutné úhel označit jinak. Vzdálenost bodu od počátku soustavy souřadné obvykle značíme písmenem r, toto označení jsme nahradili písmenem $\rho$, jelikož písmeno r vystupuje ve vzorci pro intenzitu bodového náboje. Pro shrnutí $\rho$ je vzdálenost bodu od počátku soustavy souřadné a r je vzdálenost bodu od místa, v němž počítáme intenzitu elektrického pole (bod na ose z).

  

  Dle nápovědy rozdělíme rovinu na malé (infinitezimální) plošky, které se budou chovat jako bodové náboje.

• Obsah nekonečně malé plošky

  Vztah pro výpočet obsahu infinitezimálně malé plošky si odvodíme z obrázku.

  

  Pro infinitezimálně malou plošku platí

  $$\textrm{d}S=\rho\,\textrm{d}\alpha\,\textrm{d}\rho.$$

• a) Řešení – přímá integrace pomocí polárních souřadnic

  Bodový náboj Q vytváří ve vzdálenosti r pole o intenzitě

  $${E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}.$$

  Velikost elektrické intenzity od infinitezimálně malé plošky dS je

  $$\textrm{d}{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathrm{d}Q}{r^2}.$$

  Je-li rovina nabita nábojem s plošnou hustotou $\sigma$, potom náboj na infinitezimálně malém kousku roviny $\textrm{d}S$ je

  $$\textrm{d}Q = {\sigma} {\textrm{d}S},$$

  kde $\textrm{d}S=\rho\,\textrm{d}\alpha\,\textrm{d}\rho$ (viz předchozí oddíl).

  Potom dostáváme

  $$\textrm{d}Q=\sigma \rho \textrm{d}\alpha\textrm{d}\rho$$

  a tudíž

  $$\textrm{d}{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma \rho\textrm{d}\alpha\textrm{d}\rho}{r^2}.\tag{1}$$

  Nyní se zaměříme na směr intenzity. Víme, že jde o nekonečnou rovinu, která je homogenně nabitá.

  

  Z obrázku je patrné, že směr celkové intenzity elektrického pole bude mít směr osy z, jelikož x–ová složka elektrické intenzity od nějaké konkrétní plošky roviny se odečte s x–ovou složkou elektrické intenzity plošky, která je symetrická (středově souměrná) s touto ploškou podle počátku souřadného systému. Stejně tak bude y–ová složka celkové intenzity také nulová.

  V obrázku si označíme úhel $\omega$ a elektrickou intenzitu od jedné malé plošky promítneme do směru z, neboli vyjádříme její z–ovou složku:

  $$E_\mathrm{z}=E \cos \omega.\tag{2}$$

  

  Z pravoúhlosti spodního šedého trojúhelníku dostaneme

  $$\cos \omega = \frac {z}{r}$$

  a Pythagorova věta nám k tomu přidá

  $$r=\sqrt{\rho^2 + z^2},$$

  což dává

  $$\cos \omega = \frac {z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}.\tag{3}$$

  Spojením (1),(2) a (3) dostaneme

  $$\textrm{d}{E_\mathrm{z}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma\rho \textrm{d}\alpha\textrm{d}\rho}{\rho^2 + z^2}\frac {z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}=\frac {\sigma z}{4\pi\epsilon_0} \frac {\rho} {(\rho^2 + z^2)^{3/2}} \textrm{d}\alpha \textrm{d}\rho,$$

  což zintegrujeme přes celou rovinu, tj. budeme integrovat přes $\rho$ a $\alpha$, $\rho$ nabývá hodnot od $0$ do $\infty$ a $\alpha$ nabývá hodnot od $0$ do $2\pi$:

  $$E_\mathrm{z} = \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \frac {\sigma z}{4\pi\epsilon_0} \frac {\rho} {(\rho^2 + z^2)^{3/2}} \textrm{d}\alpha \textrm{d}\rho.$$

  Veličiny $\sigma$ a z jsou nezávislé na integračních proměnných $\rho$ a $\alpha,$ tudíž je můžeme s ostatními konstantami vytknout před integrál:

  $$E_\mathrm{z} = \frac {\sigma z}{4\pi\epsilon_0} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \frac {\rho} {(\rho^2 + z^2)^{3/2}}\textrm{d}\alpha \textrm{d}\rho .$$

  Nyní výraz zintegrujeme přes proměnou $\alpha$, jelikož se ve výrazu $\alpha$ nevyskytuje, integrujeme vlastně konstantu:

  $$E_\mathrm{z} =\frac {\sigma z}{4\pi\epsilon_0} 2\pi \int_0^\infty \frac {\rho} {(\rho^2 + z^2)^{3/2}}\textrm{d}\rho,$$ $$E_\mathrm{z} = \frac {\sigma z}{2\epsilon_0} \int_0^\infty \frac {\rho} {(\rho^2 + z^2)^{3/2}}\textrm{d}\rho.$$

  Zbývající integrál přes $\rho$ budeme řešit substitucí:

  $$a = \rho^2 + z^2,$$ $$\textrm{d}a = 2\rho\textrm{d}\rho,$$

  přepočítáme meze:

  $$\rho = 0 \Rightarrow a = z^2;\qquad  \rho = \infty \Rightarrow a = \infty,$$

  a dosadíme do původního integrálu:

  $$E_\mathrm{z} = \frac {\sigma z}{2\epsilon_0} \int_{z^2}^{\infty} \frac {1} {2a^{3/2}}\textrm{d}a,$$ $$E_\mathrm{z} = \frac {\sigma z}{4\epsilon_0} \int_{z^2}^{\infty} {a^{-3/2}}\textrm{d}a,$$ $$E_\mathrm{z} = \frac {\sigma z}{4\epsilon_0} \left[-2a^{-1/2}\right]_{z^2}^\infty,$$ $$E_\mathrm{z} = - 0 + \frac {\sigma}{2\epsilon_0}\frac{z}{|z|}=\frac {\sigma}{2\epsilon_0}\frac{z}{|z|}.$$

  Poslední zlomek ve výsledku je jednotkový vektor rovnoběžný s osou z, který určuje směr elektrické intenzity. Pokud by rovina byla nabita kladně, pak elektrická intenzita míří ve směru kladné osy z, pokud jsme nad rovinou, a elektrická intenzita míří ve směru záporné osy z, pokud jsme pod rovinou.

• b) Nápověda – přímá integrace pomocí „mnoha přímek“

  Homogenně nabitá přímka s lineární hustotou náboje $\lambda$ vytváří kolem sebe pole o velikosti (viz Pole nabité přímky)

  $$E = \frac {\lambda}{2\pi\epsilon_0z.}$$

  Elektrická intenzita míří kolmo od vodiče a její směr je zobrazen na následujícím obrázku.

  

  Zamyslete se nad tím, jak bychom tohoto poznatku mohli využít.

• b) Rozbor – přímá integrace pomocí „mnoha přímek“

  

  Rovinu si rozdělíme na nekonečně mnoho navzájem rovnoběžných přímek. Celkovou intenzitu získáme „sečtením“ (přesněji integrováním) příspěvků od všech těchto malých kousků.

• b) Řešení – přímá integrace pomocí „mnoha přímek“

  Zvolme si kartézskou soustavu souřadnou tak, že nabitá rovina leží v rovině xy a my hledáme elektrickou intenzitu na ose z.

  Víme, že homogenně nabitá přímka s lineární hustotou $\lambda$ vytváří ve vzdálenosti r elektrické pole o velikosti

  $$E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r}.\tag{4}$$

  Viz Pole nabité přímky.

  Lineární hustota $\lambda$ souvisí s plošnou hustotou $\sigma$ vztahem

  $$\lambda = \sigma\ \mathrm{d}y.$$

  Pokud si představíme rovinu jako velmi mnoho navzájem rovnoběžných přímek, pak příspěvek k intenzitě elektrického pole od jedné přímky je

  $$dE=\frac{\sigma}{2\pi\epsilon_0r}\textrm{d}y.$$

  Zamysleme se nad symetrií úlohy.

  

  Z obrázku je vidět, že ke každé přímce existuje přímka s ní symetrická podle námi zvolené kartézské osy x. Všechny příspěvky mají nulovou x–vou složku, příspěvky k y–ové složce elektrické intenzity od symetricky umístěných přímek se navzájem odečtou a nenulová zůstane pouze z–ová složka.

  

  V obrázku si označíme úhel $\alpha$ a elektrickou intenzitu od jedné přímky promítneme do směru z, neboli vyjádříme její z-ovou složku:

  $$E_\mathrm{z} = \cos \alpha \ E.\tag{5}$$

  Z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků dostaneme

  $$\cos \alpha = \frac {z}{r},$$

  kde $r=\sqrt{z^2 + y^2}.$

  Spojením (4) a (5) dostaneme

  $$\textrm {d}E_\mathrm{z} = \frac {z}{\sqrt{z^2+y^2}}\frac{\sigma}{2\pi\epsilon_0\sqrt{z^2+y^2}}\textrm{d}y,$$

  což zintegrujeme přes všechny přímky, tj. budeme integrovat přes $y$:

  $$E_\mathrm{z} = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sigma z}{2\pi\epsilon_0{(z^2+y^2)}}\textrm{d}y,$$ $$E_\mathrm{z} = \frac{\sigma z}{2\pi\epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z^2+y^2}\textrm{d}y.$$

  Tento integrál vede na funkci arkustangens (funkce inverzní k funkci tangens). Připomeneme si derivaci funkce arkustangens

  $$\frac{\mathrm{d}\ \mathrm{arctg}\, x}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{1+x^2}$$

  a integrál, jejž počítáme, upravíme na takový tvar, abychom vzorec mohli použít. Z jmenovatele integrálu vytkneme $z^2$:

  $$E_\mathrm{z} = \frac{\sigma }{2\pi\epsilon_0 z} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+(\frac{y}{z})^2}\textrm{d}y,$$ $$E_\mathrm{z} = \frac{\sigma }{2\pi\epsilon_0 z} \Big[z\arctan\frac{y}{z}\Big]_{-\infty}^{\infty}.$$

  O funkci arkustangens víme

  $$\lim_{y\rightarrow \pm\infty}\arctan{\frac{y}{z}}=\pm\frac{\pi}{2} \mathrm{sgn}\ z=\pm\frac{\pi}{2} \frac {z}{|z|},$$

  což po dosazení dává

  $$E_\mathrm{z} = \frac{\sigma }{2\pi\epsilon_0 z}(z \frac {|z|}{z} \frac{\pi}{2} + z \frac {|z|}{z} \frac{\pi}{2}),$$ $$E_\mathrm{z} = \frac{\sigma }{2\epsilon_0} \frac {|z|}{z}.$$

  Pozn.: Funkce $\mathrm{sgn}\ x$, které říkáme signum, je funkce, která vrací znaménko proměnné, tedy je-li $x>0$, pak $\mathrm{sgn}\ x=1$, je-li $0>x$, pak $\mathrm{sgn}\ x=-1$, a pro $x=0$ je $\mathrm{sgn}\ x = \mathrm{sgn}\ 0=0$.

• c) Nápověda – intenzita z potenciálu

  Potenciál a elektrickou intenzitu nám dává do vztahu jedna z rovností, ve které vystupuje matematický operátor gradient.

  Zkuste si vzpomenout, popřípadě najít, o jaký vztah se jedná. Připomeňte si, co gradient znamená a jak se počítá (v kartézských souřadnicích).

  Dále zkuste najít, jaký je potenciál nad rovnoměrně nabitou rovinou s plošnou hustotou $\sigma.$

• c) Řešení nápovědy – intenzita z potenciálu

  Pro potenciál a elektrickou intenzitu platí

  $$\vec{E}=-\thinspace\text{grad}\thinspace\varphi.$$

  Výsledkem operátoru gradient je vektor, který udává směr, ve kterém potenciál $\varphi$ nejvíce roste. Elektrická intenzita $\vec{E}$ tedy míří směrem, ve kterém elektrický potenciál nejrychleji klesá (ve vztahu je znaménko mínus).

  V kartézských souřadnicích se gradient počítá podle vztahu

  $$\text{grad}\thinspace f = \left(\frac{\partial{f}}{\partial {x}},\frac{\partial{f}}{\partial {y}},\frac{\partial{f}}{\partial {z}}\right).$$

• c) Nápověda – vztah pro potenciál v okolí nabité roviny

  Potenciál elektrického pole homogenně nabité roviny má tvar (viz Potenciál rovnoměrně nabité roviny)

  $$\varphi(z) = - \frac {\sigma}{2\epsilon_0} |z|.$$

• c) Řešení – intenzita z potenciálu

  Elektrická intenzita a potenciál elektrického pole jsou spjaty rovností

  $$\vec{E} = - \text{grad} \varphi = -\left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial {x}},\frac{\partial{\varphi}}{\partial {y}},\frac{\partial{\varphi}}{\partial {z}}\right).$$

  Pravá strana rovnosti nám říká, jak se počítá gradient ze skalární funkce v kartézských souřadnicích:

  $$\varphi(x,y,z) = - \frac {\sigma}{2\epsilon_0} |z|.$$

  Pozn.: V tomto případě známe závislost potenciálu na všech souřadnicích (máme ho vyjádřený ve všech bodech), tudíž můžeme počítat všechny složky elektrické intenzity. Jinak tomu bylo u výpočtu na ose homogenně nabité obruče, viz Elektrické pole na ose obruče, i když se může zdát, že se jedná o podobný případ.

  Výpočet prvních dvou složek intenzity je jednoduchý:

  $$\frac{\partial{\varphi}}{\partial {x}}=0,$$ $$\frac{\partial{\varphi}}{\partial {y}}=0.$$

  Při výpočtu z–ové složky, tj. při derivování výrazu pro potenciál podle z, si kvůli absolutní hodnotě rozdělíme příklad na dvě části. Derivaci budeme počítat zvlášť pro $z>0$ a pro $z<0$.

  Pro $z>0$ bude mít potenciál v okolí nabité roviny tvar

  $$\varphi(x,y,z) = - \frac {\sigma}{2\epsilon_0} z,$$

  po zderivování dostaneme

  $$\frac{\partial{\varphi}}{\partial {z}}= -\frac {\sigma}{2\epsilon_0} \qquad \text{pro}\ \forall z>0.$$

  Pro $z<0$ bude mít potenciál v okolí nabité roviny tvar

  $$\varphi(x,y,z) = - \frac {\sigma}{2\epsilon_0} (-z) = \frac {\sigma}{2\epsilon_0} z,$$

  po zderivování dostaneme

  $$\frac{\partial{\varphi}}{\partial {z}}= \frac {\sigma}{2\epsilon_0} \qquad \text{pro}\ \forall z<0.$$

  Oba výsledky můžeme propojit a zapsat v jednom výrazu:

  $$\frac{\partial{\varphi}}{\partial {z}}= -\frac {\sigma}{2\epsilon_0}\frac{z}{|z|} \qquad \text{pro}\ \forall z \in \mathbb{R} \setminus \text{{0}}.$$

  Pro elektrickou intenzitu tedy dostáváme vztah

  $$\vec{E} = \left(0, 0, \frac {\sigma}{2\epsilon_0}\frac{z}{|z|} \right), \qquad \text{pro}\ \forall z \in \mathbb{R} \setminus \text{{0}}.$$

  Stejně jako v a) a b) je poslední zlomek ve výsledku jednotkový vektor rovnoběžný s osou z, který určuje směr elektrické intenzity. Pokud by rovina byla nabita kladně, pak elektrická intenzita míří ve směru kladné osy z, pokud jsem nad rovinou, a elektrická intenzita míří ve směru záporné osy z, pokud jsem pod rovinou.

• d) Odkaz – pomocí Gaussovy věty elektrostatiky

  Výpočet elektrostatické intenzity v okolí homogenně nabité roviny pomocí Gaussovy věty elektrostatiky je řešen v úloze Pole rovnoměrně nabité roviny.

• Odpověď

  Vektor elektrické intenzity v okolí homogenně nabité nekonečné roviny má tvar

  $$\vec{E}=\left(0\ ; 0\ ; \frac {\sigma}{2\epsilon_0}\frac{z}{|z|} \right).$$