Urychlená α částice

Úloha číslo: 56

Částice α byla urychlena z klidu elektrickým polem s rozdílem potenciálů 250 kV a vlétla do homogenního magnetického pole o magnetické indukci 0,51 T kolmo k indukčním čarám. Šířka oblasti magnetického pole je 10 cm (viz obrázek). Určete úhel, o který se částice odchýlí od původního směru.

Pozn.: Částice α má dvojnásobný náboj a přibližně čtyřnásobnou hmotnost ve srovnání s protonem.

Částice v magnetickém poli
  • Nápověda 1

    Uvědomte si:

    - jakou bude mít částice energii a rychlost po průchodu elektrickým polem;

    - jaké síly působí na částici v homogenním magnetickém poli;

    - jak se změní její trajektorie v důsledku těchto sil.

  • Nápověda 2

    Magnetická síla je kolmá na pohyb a působí jako síla dostředivá. Částice α se bude tedy pohybovat po kružnici.

  • Rozbor

    Na částici α pohybující se v magnetickém poli působí kolmo ke směru jejího pohybu magnetická síla. Sílu kolmou na směr pohybu nazýváme dostředivá síla a tato síla uděluje částici dostředivé zrychlení. Trajektorie částice α se proto v homogenním magnetickém poli zakřiví a bude mít tvar části kružnice. Velikost rychlosti částice α se při pohybu v magnetickém poli nebude měnit.

    Pro výpočet magnetické síly potřebujeme znát rychlost částice α, se kterou vlétla do magnetického pole. Tu vypočítáme pomocí práce elektrických sil při jejím urychlování. Protože částice α byla na začátku v klidu, bude tato práce rovna kinetické energii částice α po urychlení.

  • Obrázek

    Pohyb částice v megnetickém poli
  • Řešení

    Nejprve pomocí energií určíme rychlost v částice α v magnetickém poli.

    Částice α s nábojem Qα = 2e byla urychlena elektrickým polem s napětím U. Elektrické síly vykonaly práci W = QαU. To se projevilo zrychlením, tedy zvýšením kinetické energie částice o stejnou hodnotu. Před urychlováním byla částice v klidu, proto můžeme napsat, že vykonaná práce se rovná kinetické energii částice α po urychlení.

    \[W=E_\mathrm{k}\] \[Q_\alpha U=\frac{1}{2}m_\alpha v^{2}\] \[2eU=\frac{1}{2}\cdot 4 m_\mathrm{p} v^{2}\] \[eU=m_\mathrm{p} v^{2}\]

    Odtud vyjádříme rychlost částice α

    \[v=\sqrt{\frac{e U}{m_\mathrm{p}}}.\]

    Na částici α pohybující se v magnetickém poli kolmo k indukčním čarám působí magnetická síla Fm o velikosti

    \[F_m = Q_\alpha vB.\]

    Magnetická síla působí kolmo ke směru jejího pohybu, a proto působí jako síla dostředivá

    \[F_\mathrm{d} =m_\alpha a_\mathrm{d}, \]

    kde dostředivé zrychlení ad vyjádříme pomocí velikosti rychlosti

    \[a_\mathrm{d} = \frac{v^{2}}{r}.\]

    Porovnáme vyjádření dostředivé a magnetické síly

    \[F_\mathrm{d}=F_\mathrm{m}\] \[m_\alpha\frac{v^{2}}{r} = Q_\alpha vB\] \[4m_\mathrm{p}\frac{v^{2}}{r} = 2evB\]

    a vyjádříme neznámý poloměr r

    \[r = \frac{2m_\mathrm{p}v}{Be}=\frac{2}{B}\,\sqrt{\frac{m_\mathrm{p}U}{e}}.\]

    Z obrázku vyplývá, že pro hledaný úhel β platí

    \[\sin\beta = \frac{d}{r},\]

    kam za poloměr r dosadíme a dostáváme

    \[\sin\beta = \frac{Bd}{2}\,\sqrt{\frac{e}{m_\mathrm{p} U}}.\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(Q_\alpha = 2\, e\) náboj částice
    \(m_\alpha = 4 \,m_\mathrm{p}\) hmotnost částice
    \(U = 250\,\mathrm{kV}\) rozdíl potenciálů pole
    \(B=0{,}51\,\mathrm{T}\) magnetická indukce pole
    \(d=0{,}10\,\mathrm{m}\) šířka oblasti magnetického pole
    \(\beta=\mathrm{?}\,\mathrm{(^\circ)}\) úhel odchýlení částice
    Z tabulek:
    \(e \approx 1{,}6{\cdot} 10^{-19}\,\mathrm{C}\) náboj protonu
    \(m_\mathrm{p} \approx 1{,}67 {\cdot} 10^{-27}\,\mathrm{kg}\) hmotnost protonu

    Výpočet rychlosti:

    \[v=\sqrt{\frac{Q_pU}{m_\mathrm{p}}}=\sqrt{\frac{2{\cdot}1{,}6{\cdot}10^{-19}\cdot250{\cdot}10^{3}}{1{,}67{\cdot}10^{-27}}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\dot{=}\,6{,}92{\cdot}10^{6} \,\mathrm{m\,s^{-1}}.\]

    Výpočet úhlu, o který se α částice odchýlí od původního směru:

    \[\sin\beta = \frac{Bd}{2}\,\sqrt{\frac{e}{m_\mathrm{p} U}} = \frac{0{,}51{\cdot}0{,}1}{2}\,\cdot\,\sqrt{\frac{1{,}6{\cdot}10^{-19}}{1{,}67 {\cdot} 10^{-27}\cdot250{\cdot}10^{3}}}\,\dot{=}\, 0{,}50\] \[\beta \,\dot{=}\, 30^{\circ}.\]
  • Odpověď

    Částice α se od původního směru v homogenním magnetickém poli odchýlila asi o 30°.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze