Sbírka řešených úloh

Rotující přímý vodič v homogenním magnetickém poli

Úloha číslo: 802

• Nápověda 1

  Nakreslete si obrázek situace — vodič za jednu otočku opíše kruh.

• Řešení nápovědy

  

  Oranžově je znázorněn vodič délky l, světle oranžový je vodič, který se otočil o úhel dα. Plochu, kterou vodič opíše, označíme dS.

• Nápověda 2

  Jak se počítá indukované napětí?

• Řešení nápovědy

  Indukované napětí je změna magnetického indukčního toku dΦ za určitý časový úsek dt: \[U_\mathrm{i}=-{\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}}.\]

• Nápověda 3: Magnetický indukční tok

  Jak budete počítat změnu magnetického indukčního toku?

• Řešení nápovědy

  Změnu magnetického indukčního toku dΦ spočítáme podle vztahu \[\mathrm d\Phi={B}\,\mathrm dS,\] kde B je velikost magnetické indukce a dS je plocha, již opíše vodič za čas dt, za který se pootočí o úhel dα.

• Zápis

  l = 20 cm = 0,2 m	délka tyče
  f = 60 s-1	frekvence otáčení
  B = 0,1 T	velikost magnetické indukce
  Ui = ? (V)	indukované napětí

• Řešení

  Pro názornost si nakreslíme obrázek situace.

  

  Když se vodič otočí o úhel dα, opíše plochu dS, která je popsána vztahem

  \[dS=\frac{1}{2}l^{2}\,d\alpha.\]

  Plocha dS je obsah kruhové výseče o délce l a úhlu dα, jak můžeme vidět z obrázku výše.

  Máme zjistit velikost indukovaného napětí U_i. K tomu užijeme Faradayova zákona elektromagnetické indukce. Jde nám o velikost, a tak znaménko minus vynecháme, protože určuje směr napětí a ten nás nezajímá.

  \[ U_\mathrm{i}=\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=\frac{B\,\mathrm dS}{\mathrm dt}=\frac{B\frac{1}{2}l^{2}\,\mathrm d\alpha}{\mathrm dt}\]

  Jedná se o kruhový pohyb, proto změna úhlu dα za čas dt je úhlová rychlost ω, která se dá vyjádřit pomocí frekvence f jako ω = 2πf

  \[U_\mathrm{i} =\frac{1}{2}B l^{2} \omega =\frac{1}{2}B l^{2} 2 \pi f = B l^{2}\pi f=0{,}1{\cdot} 0{,}2^2\cdot \pi \cdot 60\,\mathrm V\,\dot{=}\,0{,}75\,\mathrm V.\]

• Odpověď

  V tyči se indukuje napětí 0,75 V.

• Indukované napětí pro neuzavřenou smyčku

  Možná vám přijde divné, že i když se nejedná o uzavřenou smyčku, indukuje se zde napětí, nikoliv však proud. Nakreslíme si obrázek vodiče.

  

  Opravdu se i v neuzavřené smyčce může indukovat napětí. Uvědomte si, že při pohybu vodiče rychlostí \(\vec{v}\) působí na elektrony nacházející se ve vodiči magnetická síla \(\,\vec{F}_\mathrm{m}\), která zapřičiní, že se elektrony začnou pohybovat k jednomu konci vodiče, kde vzniká záporný náboj, druhý konec je kladný. To způsobuje, že ve vodiči vzniká indukované elektrické pole, tj. že mezi konci vodiče je indukované napětí. Důležité je, že velikost magnetické síly, která působí na elektrony, je stejná jako velikost elektrické síly \(\vec{F}_\mathrm{e}\), která působí v indukovaném elektrickém poli vodiče, a obě síly mají opačnou orientaci.

• Odkaz na podobné úlohy

  Pohybující se kovová tyč v blízkosti vodiče, jímž prochází proud

  Závit v magnetickém poli