Čtyři náboje

Úloha číslo: 271

Dva náboje −Q jsou umístěny v protějších rozích čtverce o straně a, v dalším rohu čtverce je umístěn náboj +Q. Jakou práci je potřeba vykonat na přidání dalšího náboje +Q do posledního rohu čtverce?

Jakou práci je potřeba vykonat na shromáždění všech nábojů do popsané konfigurace?

  • Obrázek a označení

    Přenesení čtvrtého náboje do rohu čtverce

    Jednotlivé náboje očíslujeme a vrcholy čtverce po řadě označíme písmeny. Úlohu budeme počítat obecně a až na konci dosadíme stejnou velikost nábojů a jejich znaménka.

  • Nápověda: Vykonaná práce

    Práce vykonaná elektrickou silou při přenesení náboje v elektrickém poli závisí pouze na velikosti přeneseného náboje a rozdílu potenciálu v počátečním a koncovém bodě.

    Při výpočtu práce potřebné na shromáždění všech nábojů, musíme vyjádřit práci, kterou je třeba vykonat na přinesení každého náboje zvlášť do daného vrcholu při vytváření celé konfigurace nábojů a tyto příspěvky pak sečíst.

  • Nápověda: Potenciál

    Celkový potenciál elektrického pole v jednom vrcholu čtverce získáme součtem potenciálů elektrických polí, které vytváří náboje v ostatních vrcholech čtverce.

    Pro potenciál bodového náboje platí:

    \[\varphi\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \,\frac{Q}{r}\,.\]
  • Rozbor

    Při přenášení náboje v elektrickém poli koná elektrická síla práci, která je rovna rozdílu elektrické potenciální energie v počátečním a koncovém bodě. Do posledního rohu čtverce přenášíme náboj z nekonečna, kde zvolíme elektrickou potenciální energii rovnu nule. Potřebná práce je tedy až na znaménko rovna potenciální energii v koncovém bodě.

    Elektrická potenciální energie v daném bodě je přímo úměrná náboji (včetně znaménka) a potenciálu elektrického pole v tomto bodě.

    Abychom spočetli celkový potenciál elektrického pole, musíme sečíst potenciály elektrických polí, které vytváří jednotlivé náboje. Potenciál elektrického pole v posledním vrcholu čtverce je tedy dám součtem potenciálů elektrických polí, které vytváří náboje ve třech ostatních vrcholech čtverce.

    Potenciál elektrického pole jednoho bodového nábojem je přímo úměrný velikosti náboje a nepřímo úměrný jeho vzdálenosti od místa, kde potenciál zjišťujeme.

    Abychom vypočítali práci na shromáždění všech nábojů, musíme vyjádřit práce potřebné na přinesení každého jednotlivého náboje. Na pořadí, v jakém budeme náboje přinášet do čtverce, nezáleží. Při výpočtu jednotlivých prací musíme dát pozor, jaké náboje „jsme již shromáždili“ a tedy vytváří pole ve vrcholu, kam přesouváme další náboj.

  • Řešení: Práce na přidání posledního náboje Q

    Práce vykonaná elektrickou silou při přenesení náboje v elektrickém poli je rovna rozdílu potenciální energie v počátečním bodě 1 a koncovém bodě 2.

    \[W_e\,=\, E_{p1} - E_{p2}\]

    Přenášíme-li náboj z nekonečna, kde volíme potenciální energii rovnou nule (Ep1 = 0), pak je práce rovna záporně vzaté potenciální energii v bodě koncovém bodě 2.

    \[W_e\,=\,-E_{p2}\]

    V našem případě přenášíme náboj z nekonečna do vrcholu čtverce D. Práce je tedy rovna:

    \[W_e\,=\, -E_{pD}\]

    Pokud znaménko mínus vynecháme, vyjádříme práci, kterou vykonala vnější síla přemísťující náboj (viz komentář na konci úlohy).

    \[W\,=\, E_{pD}\]

    Potenciální energii vyjádříme pomocí potenciálu a náboje \[E_{pD}\,=\,Q_4 \varphi_D\] a dosadíme do vztahu pro výpočet práce:

    \[W\,=\,Q_4 \varphi_D\,.\tag{*}\]

    Nyní spočítáme potenciál elektrického pole v bodě D. Elektrické pole vytváří náboje umístěné v ostatních třech vrcholech čtverce. Potenciál celkového elektrického pole v bodě D je roven součtu potenciálů elektrických polí jednotlivých nábojů.

    \[\varphi_D\,=\,\varphi_{1D} + \varphi_{2D} + \varphi_{3D}\,,\tag{**}\]

    kde φ1D je potenciál pole prvního náboje, φ2D potenciál pole druhého náboje a φ3D potenciál pole třetího náboje v bodě D.

    Pro potenciál elektrického pole náboje Q ve vzdálenosti r od náboje platí obecný vztah:

    \[\varphi\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r}\,.\]

    První a třetí náboj mají od bodu D vzdálenost a. Druhý náboj je od bodu D vzdálen a√2 (a√2 je délka úhlopříčky ve čtverci o straně a). Pro potenciály tedy platí:

    \(\varphi_{1D}\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\,\frac{Q_1}{a}\,, \hspace{30px} \varphi_{2D}\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\,\frac{Q_2}{a \sqrt{2}}\,, \hspace{30px} \varphi_{3D}\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\,\frac{Q_3}{a}\).

    Vyjádření jednotlivých potenciálů dosadíme do vzorce (**).

    \[\varphi_D\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\,\frac{Q_1}{a} \,+\, \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\,\frac{Q_2}{a \sqrt{2}}\, +\, \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\,\frac{Q_3}{a}\]

    Vytkneme konstantu \( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\).

    \[\varphi_D\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\, \left(\frac{Q_1}{a} \,+\, \frac{Q_2}{a \sqrt{2}}\, +\, \frac{Q_3}{a}\right)\]

    Vyjádřený potenciál dosadíme do vzorce pro výpočet práce (**).

    \[W\,=\, \frac{Q_4}{4 \pi \epsilon_0}\, \left(\frac{Q_1}{a} \,+\, \frac{Q_2}{a \sqrt{2}}\, +\, \frac{Q_3}{a}\right)\]

    Získali jsme obecný vztah pro výpočet práce na přemístění náboje Q4 do vrcholu D. Nyní ještě dosadíme stejnou velikost nábojů a jejich znaménka. Q1 = Q3 = − Q a Q2 = Q4 = Q.

    \[W\,=\, \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0}\, \left(\frac{-Q}{a} \,+\, \frac{Q}{a \sqrt{2}}\, +\, \frac{-Q}{a}\right)\]

    Vytkneme \(\frac{Q}{a}\) a upravíme výraz v závorce.

    \[W\,=\, \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 a}\, \left(-1 \,+\, \frac{1}{\sqrt{2}}\, -1\right)\,=\, \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 a}\, \left(-2 \,+\, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

    Vyjádřili jsme práci, kterou vykoná vnější síla při přenesení náboje Q z nekonečna do rohu čtverce.

    Jelikož vyšla práce vnější síly záporná, konala ve skutečnosti práci síla elektrická.

  • Řešení: Práce na shromáždění všech nábojů

    Abychom vypočítali celkovou práci na shromáždění všech nábojů, vyjádříme si nejdříve práce, které musí vnější síla vykonat na přidání jednotlivých nábojů postupně do vrcholů čtverce. Z vlastností elektrostatického pole plyne, že na pořadí, v jakém budeme jednotlivé náboje přinášet, nezáleží.

    K výpočtu jednotlivých prací využijeme stejného vzorce (*), jako v předchozí části řešení.

    \[W\,=\, Q \varphi\,,\]

    kde Q je velikost přidávaného náboje včetně znaménka a φ je potenciál elektrického pole ve vrcholu čtverce, do kterého náboj přidáváme.

    Potenciál elektrického pole vytvořeného jednotlivými náboji vyjádříme ze vztahu:

    \[\varphi\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q}{r}\,,\]

    kde r je vzdálenost náboje od místa, kde potenciál zjišťujeme.

    Práce na přenesení náboje Q1 do vrcholu A:

    Při umístění prvního náboje nemusíme vykonat žádnou práci, protože nemusíme překonávat žádnou elektrickou sílu (Zatím zde není žádné elektrické pole).

    \[W_1\,=\,0\]

    Práce na přenesení náboje Q2 do vrcholu B:

    Nyní už musíme překonávat sílu elektrického pole, které vytváří v bodě B náboj Q1. Práci vyjádříme ze vzorce:

    \[W_2\,=\, Q_2 \varphi_B\,,\]

    kde φ1B je potenciál elektrického pole vytvořeného nábojem Q1 v bodě B.

    Náboj Q1 je ve vzdálenosti a od vrcholu. Potenciál ve vrcholu B je tedy roven:

    \[\varphi_B\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q_1}{a}\,.\]

    Potenciál dosadíme do vzorce pro práci.

    \[W_2\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q_1 Q_2}{a}\]

    Dosadíme velikosti a znaménka nábojů Q1 = −Q a Q2 = Q.

    \[W_2\,=\, - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{ Q^2}{a}\]

    Práce vnější síly vyšla záporná, protože kladný náboj je přitahován z „nekonečna“ záporným nábojem umístěným ve vrcholu čtverce. Práci na přenesení druhého náboje tedy vykonala elektrická síla.

    Práce na přenesení náboje Q3 do vrcholu C:

    Práci vypočítáme opět ze vztahu:

    \[W_3\,=\, Q_3 \varphi_C\,,\]

    Elektrické pole v bodě C vytváří náboj Q1 ve vzdálenosti a√2 a náboj Q2 ve vzdálenosti a.

    Potenciál je tedy roven:

    \[\varphi_C\,=\,\varphi_{1C} \,+\,\varphi_{2C}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q_1}{a \sqrt{2}}\,+\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q_2}{a}\,,\] \[\varphi_C\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \left(\frac{Q_1}{a \sqrt{2}}\,+\frac{Q_2}{a}\right)\,.\]

    Práce je pak rovna:

    \[W_3\,=\, \frac{Q_3}{4 \pi \varepsilon_0}\, \left(\frac{Q_1}{a \sqrt{2}}\,+\frac{Q_2}{a}\right)\,.\]

    Dosadíme velikosti a znaménka nábojů Q1 = Q3 = − Q a Q2 = Q.

    \[W_3\,=\, \frac{-Q}{4 \pi \varepsilon_0}\, \left( \frac{-Q}{a \sqrt{2}}\,+\frac{Q}{a}\right)\,=\,- \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 }\,\frac{Q^2}{a} \, \left( 1-\frac{1}{ \sqrt{2}}\right)\]

    Práce na přenesení náboje Q4 do vrcholu D:

    Práci na přenesení posledního náboje jsme vypočítali v předchozí části řešení.

    \[W_4\,=\, \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 a}\, \left(-2 \,+\, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

    Celkovou práci, kterou musíme vykonat, abychom shromáždili všechny náboje, získáme součtem jednotlivých prací.

    \[W\,=\,W_1+W_2+W_3+W_4\] \[W\,=\,0\,+\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{- Q^2}{a}+ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 }\,\frac{Q^2}{a} \, \left(\frac{1}{ \sqrt{2}}\,-1\right)+\frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 a}\, \left(-2 \,+\, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

    Vytkneme \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{ Q^2}{a}\) a sečteme čísla v závorce.

    \[W\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q^2}{a}\left(-1 + \frac{1}{ \sqrt{2}}\,-1 -2 \,+\, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q^2}{a}\left(-4 \,+\, \frac{2}{\sqrt{2}}\right)\] \[W\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q^2}{a}\left(-4 \,+\,\sqrt{2}\right)\]

    Jelikož vyšla práce vnější síly záporná, konala ve skutečnosti práci síla elektrická.

  • Odpověď

    Na přidání posledního náboje do vrcholu čtverce musí vnější síla vykonat práci

    \[W\,=\, \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 a}\, \left(-2 \,+\, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\,.\]

    Na shromáždění všech nábojů musí vnější síla vykonat práci

    \[W\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q^2}{a}\left(-4 \,+\, \frac{2}{\sqrt{2}}\right)\,.\]

    Jelikož v obou případech vyšla práce vnější síly záporná, konala ve skutečnosti práci síla elektrická.

  • Komentář: Znaménko práce

    Pokud se má náboj přesunout z místa s vyšší elektrickou potenciální energií do místa s nižší elektrickou potenciální energií, koná práci elektrická síla, tj. těleso se bude tímto směrem pohybovat vlivem elektrické síly. Elektrická potenciální energie v tomto případě klesá a dochází ke zvyšování např. kinetické energie elektronu (elektron je urychlován).

    V opačném případě koná práci vnější síla, zvyšuje tím elektrickou potenciální energii elektronu. V tomto případě se těleso bude tímto směrem pohybovat pod vlivem vnější síly, která překonává elektrickou sílu.

    Je to stejné jako v tíhovém poli. Padá-li těleso dolů, tak se vlastně pohybuje z místa s vyšší tíhovou potenciální energií do místa s nižší tíhovou potenciální energií, koná práci tíhová síla. Pokud těleso zvedáme do výšky, koná práci vnější síla.

    Vyjde-li práce dané síly záporná, znamená to, že situace je ve skutečnosti opačná, než jak jsme předpokládali. Práci tedy koná síla opačného směru.

  • Výpočet práce přímou integrací

    Práci, kterou vykoná elektrická síla, při přenesení náboje z místa a do místa b vypočítáme ze vztahu: \[W_e\,=\, \int_a^b \vec{F}_v \cdot \mathrm{d}\vec{r}\,,\]

    kde Fv je výsledná elektrická síla, která působí na přenášený náboj.

    Vzhledem k tomu, že práce elektrických sil nezávisí na trajektorii, zvolíme si jako trajektorii, po které se bude náboj pohybovat polopřímku, která míří do středu čtverce (viz obrázek). Označíme si polohový vektor \(\vec{r}\) (počátek bude mít ve středu čtverce) a vyjádříme výslednou elektrickou sílu \(\vec{F}_v\) v obecném místě na zvolené trajektorii.

    Do obrázku zakreslíme elektrické síly, které působí na náboj Q4.

    Jednotlivé síly působící na náboj
    Výsledná síla působící na náboj
    \[\vec{F}_v\,=\,\vec{F}_1\,+\,\vec{F}_2\,+\,\vec{F}_3\,=\,\vec{F}_{13}\,+\,\vec{F}_2\] \[F_v\,=\,F_{13}\,-\,F_2\]

    Nejdříve vyjádříme velikost síly F2 z Coulombova zákona.

    \[F_2\,=\,k\,\frac{Q_2 Q_4}{\left( r+ \frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2}\,=\,k\,\frac{Q^2}{\left( r+ \frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2}\]

    Vyjádření velikosti síly F13, což je výslednice sil F1 a F3, bude mít více kroků.

    1. Vyjádříme síly F1 a F3 opět z Coulombova zákona.
    2. Výslednici F13 vypočítáme z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníku.
    3. Vyjádříme vzdálenost x pomocí r.

    1) Protože náboje Q1 a Q3 jsou od náboje Q4 ve stejné vzdálenosti a všechny náboje mají stejnou velikost, bude i velikost síly F1 a F3 stejná.

    \[F_1\,=\,F_3\,=\,k\, \frac{Q^2}{x^2}\tag{1}\]

    2) Z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníka platí:

    \[\frac{\frac{F_{13}}{2}}{F_1}\,=\,\frac{r}{x}\] \[F_{13}\,=\,\frac{2 F_1 r}{x}\]

    Dosadíme velikost síly F1 ze vzorce (1).

    \[F_{13}\,=\,\frac{2 k\, \frac{Q^2}{x^2} r}{x}\,=\,\frac{2 k Q^2 r}{x^3}\tag{2}\]

    3) Zbývá vyjádřit ze žlutého trojúhelníka vzdálenost x pomocí r. Použijeme Pythagorovu větu.

    \[ x\,=\,\sqrt{\left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 +r^2}\,=\,\sqrt{\frac{2a^2}{4} +r^2}\] \[ x\,=\,\sqrt{\frac{a^2}{2} +r^2}\]

    x dosadíme do vzorce (2).

    \[F_{13}\,=\,\frac{2 k Q^2 r}{\sqrt{\left(\frac{a^2}{2} +r^2\right)^3}}\]

    Výslednou sílu tedy vypočítáme:

    \[F_v\,=\,F_{13}\,-\,F_2\,=\,\frac{2 k Q^2 r}{\sqrt{\left(\frac{a^2}{2} +r^2\right)^3}}\,-\, k\,\frac{Q^2}{\left( r+ \frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2} \,.\]

    Vyjádřili jsme tedy výslednici elektrické síly, zbývá už „jen“ vypočítat integrál vyjadřující práci. Protože vektor síly \(\vec{F}_v\) je rovnoběžný s vektorem \(\vec{r}\) můžeme skalární součin v integrálu zjednodušit.

    \[W_e\,=\, \int_a^b \vec{F}_v \cdot \mathrm{d}\vec{r}\,=\,-\int_a^b F_v \mathrm{d}r\]

    Mínus je před integrálem proto, že vektory \(\vec{r}\) a \(\vec{F}_v\) jsou opačně orientované.

    Určíme integrační meze. Náboj přenášíme z nekonečna až do rohu čtverce, kde je r rovno polovině úhlopříčky čtverce \(r\,=\, \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

    \[W_e\,=\, -\int_\infty^{\frac{a \sqrt{2}}{{2}}} F_v \mathrm{d}r\]

    Dosadíme vyjádření elektrické síly.

    \[W_e\,=\, -\int_\infty^{\frac{a \sqrt{2}}{{2}}} \left( \frac{2 k Q^2 r}{\sqrt{\left(\frac{a^2}{2} +r^2\right)^3}}\,-\, k\,\frac{Q^2}{\left( r+ \frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2} \right) \mathrm{d}r\]

    Integrál vypočítáme v následujícím oddíle. Výsledek, který získáme, odpovídá řešení pomocí potenciální energie, tj.

    \[W_e\,=\,-\, \frac{k Q^2}{a} \left( -2 + \,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\,.\]
  • Jiný způsob výpočtu práce na seskupení nábojů

    Práci, kterou vykoná vnější síla, na shromáždění všech nábojů můžeme spočítat také pomocí potenciální energie celé soustavy.

    \[W\,=\,E_p\]

    Stačí tedy vyjádřit potenciální energii soustavy.

    Dvojice nábojů Q1 a Q2, které jsou od sebe vzdáleny r, má potenciální energii

    \[E_{p12}\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \, \frac{Q_1 Q_2}{r}\,.\]

    Pokud máme více nábojů, získáme potenciální energii celé soustavy součtem potenciálních energií všech dvojic nábojů. V našem případě máme 4 náboje, ze kterých můžeme vytvořit 6 různých dvojic.

    \[E_p\,=\, E_{p12}\,+\,E_{p13}\,+\,E_{p14}\,+\,E_{p23}\,+\,E_{p24}\,+\,E_{p34}\]

    Dosadíme potenciální energii jednotlivých dvojic a rovnou vytkneme konstantu \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\).

    \[E_p\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\, \frac{Q_1 Q_2}{a} \,+ \, \frac{Q_1 Q_3}{a\sqrt{2}}\,+\, \frac{Q_1 Q_4}{a}\,+\, \frac{Q_2 Q_3}{a}\,+ \, \frac{Q_2 Q_4}{a\sqrt{2}}\,+\, \frac{Q_3 Q_4}{a} \right)\]

    Doplníme velikosti a znaménka nábojů Q1 = Q3 = − Q, Q2 = Q4 = Q.

    \[E_p\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \,\left( -\, \frac{Q^2}{a}\, +\, \frac{Q^2}{a\sqrt{2}}\, -\, \frac{Q^2}{a}\, -\, \frac{Q^2}{a}\, +\, \frac{Q^2}{a\sqrt{2}}\, -\, \frac{Q^2}{a} \right)\]

    Postupně upravíme výraz v závorce.

    \[E_p\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \,\frac{Q^2}{a}\left( -\, 1\, +\, \frac{1}{\sqrt{2}}\, -\, 1\, -\, 1\, +\, \frac{1}{\sqrt{2}}\, -\, 1 \right)\] \[E_p\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \,\frac{Q^2}{a}\left(-4\,+\, \frac{2}{\sqrt{2}} \right)\]

    Práce vnější síly je tedy rovna:

    \[W\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \,\frac{Q^2}{a}\left(-4\,+\, \frac{2}{\sqrt{2}} \right)\,,\]

    což odpovídá výsledku získanému sčítáním práce při postupné přidávání jednotlivých nábojů.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Griffiths D. J. (1999). Introduction to Electrodynamics. New Jersey:
Prentice Hall, Upper Saddle River. 
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Griffiths D. J. (1999). Introduction to Electrodynamics. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze