Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Čtyři náboje

Úloha číslo: 271

Dva náboje −Q jsou umístěny v protějších rozích čtverce o straně a, v dalším rohu čtverce je umístěn náboj +Q. Jakou práci je potřeba vykonat na přidání dalšího náboje +Q do posledního rohu čtverce?

Jakou práci je potřeba vykonat na shromáždění všech nábojů do popsané konfigurace?

  • Obrázek a označení

    Přenesení čtvrtého náboje do rohu čtverce

    Jednotlivé náboje očíslujeme a vrcholy čtverce po řadě označíme písmeny. Úlohu budeme počítat obecně a až na konci dosadíme stejnou velikost nábojů a jejich znaménka.

  • Nápověda: Vykonaná práce

    Práce vykonaná elektrickou silou při přenesení náboje v elektrickém poli závisí pouze na velikosti přeneseného náboje a rozdílu potenciálu v počátečním a koncovém bodě.

    Při výpočtu práce potřebné na shromáždění všech nábojů, musíme vyjádřit práci, kterou je třeba vykonat na přinesení každého náboje zvlášť do daného vrcholu při vytváření celé konfigurace nábojů a tyto příspěvky pak sečíst.

  • Nápověda: Potenciál

    Celkový potenciál elektrického pole v jednom vrcholu čtverce získáme součtem potenciálů elektrických polí, které vytváří náboje v ostatních vrcholech čtverce.

    Pro potenciál bodového náboje platí:

    φ=14πε0Qr.
  • Rozbor

    Při přenášení náboje v elektrickém poli koná elektrická síla práci, která je rovna rozdílu elektrické potenciální energie v počátečním a koncovém bodě. Do posledního rohu čtverce přenášíme náboj z nekonečna, kde zvolíme elektrickou potenciální energii rovnu nule. Potřebná práce je tedy až na znaménko rovna potenciální energii v koncovém bodě.

    Elektrická potenciální energie v daném bodě je přímo úměrná náboji (včetně znaménka) a potenciálu elektrického pole v tomto bodě.

    Abychom spočetli celkový potenciál elektrického pole, musíme sečíst potenciály elektrických polí, které vytváří jednotlivé náboje. Potenciál elektrického pole v posledním vrcholu čtverce je tedy dán součtem potenciálů elektrických polí, které vytváří náboje ve třech ostatních vrcholech čtverce.

    Potenciál elektrického pole jednoho bodového náboje je přímo úměrný velikosti náboje a nepřímo úměrný jeho vzdálenosti od místa, kde potenciál zjišťujeme.

    Abychom vypočítali práci na shromáždění všech nábojů, musíme vyjádřit práce potřebné na přenesení každého jednotlivého náboje. Na pořadí, v jakém budeme náboje přenášet do čtverce, nezáleží. Při výpočtu jednotlivých prací musíme dát pozor, jaké náboje „jsme již shromáždili“ a které tedy vytváří pole ve vrcholu, kam přesouváme další náboj.

  • Řešení: Práce na přidání posledního náboje Q

    Práce vykonaná elektrickou silou při přenesení náboje v elektrickém poli je rovna rozdílu potenciální energie v počátečním bodě 1 a koncovém bodě 2:

    We=Ep1Ep2.

    Přenášíme-li náboj z nekonečna, kde volíme potenciální energii rovnou nule (Ep1 = 0), pak je práce rovna záporně vzaté potenciální energii v koncovém bodě 2:

    We=Ep2.

    V našem případě přenášíme náboj z nekonečna do vrcholu čtverce D. Práce je tedy rovna:

    We=EpD.

    Pokud znaménko mínus vynecháme, vyjádříme práci, kterou vykonala vnější síla přemísťující náboj (viz komentář na konci úlohy):

    W=EpD.

    Potenciální energii vyjádříme pomocí potenciálu a náboje: EpD=Q4φD a dosadíme do vztahu pro výpočet práce:

    W=Q4φD.

    Nyní spočítáme potenciál elektrického pole v bodě D. Elektrické pole vytváří náboje umístěné v ostatních třech vrcholech čtverce. Potenciál celkového elektrického pole v bodě D je roven součtu potenciálů elektrických polí jednotlivých nábojů:

    φD=φ1D+φ2D+φ3D,

    kde φ1D je potenciál pole prvního náboje, φ2D potenciál pole druhého náboje a φ3D potenciál pole třetího náboje v bodě D.

    Pro potenciál elektrického pole náboje Q ve vzdálenosti r od náboje platí obecný vztah:

    φ=14πϵ0Qr.

    První a třetí náboj mají od bodu D vzdálenost a. Druhý náboj je od bodu D vzdálen a√2 (a√2 je délka úhlopříčky ve čtverci o straně a). Pro potenciály tedy platí:

    φ1D=14πϵ0Q1a,φ2D=14πϵ0Q2a2,φ3D=14πϵ0Q3a.

    Vyjádření jednotlivých potenciálů dosadíme do vzorce (**):

    φD=14πϵ0Q1a+14πϵ0Q2a2+14πϵ0Q3a.

    Vytkneme konstantu 14πε0:

    φD=14πϵ0(Q1a+Q2a2+Q3a).

    Vyjádřený potenciál dosadíme do vzorce pro výpočet práce (**):

    W=Q44πϵ0(Q1a+Q2a2+Q3a).

    Získali jsme obecný vztah pro výpočet práce na přemístění náboje Q4 do vrcholu D. Nyní ještě dosadíme stejnou velikost nábojů a jejich znaménka Q1 = Q3 = − Q a Q2 = Q4 = Q:

    W=Q4πϵ0(Qa+Qa2+Qa).

    Vytkneme Qa a upravíme výraz v závorce:

    W=Q24πϵ0a(1+121)=Q24πϵ0a(2+12).

    Vyjádřili jsme práci, kterou vykoná vnější síla při přenesení náboje Q z nekonečna do rohu čtverce.

    Jelikož vyšla práce vnější síly záporná, konala ve skutečnosti práci síla elektrická.

  • Řešení: Práce na shromáždění všech nábojů

    Abychom vypočítali celkovou práci na shromáždění všech nábojů, vyjádříme si nejdříve práce, které musí vnější síla vykonat na přidání jednotlivých nábojů postupně do vrcholů čtverce. Z vlastností elektrostatického pole plyne, že na pořadí, v jakém budeme jednotlivé náboje přinášet, nezáleží.

    K výpočtu jednotlivých prací využijeme stejného vzorce (*) jako v předchozí části řešení:

    W=Qφ,

    kde Q je velikost přidávaného náboje včetně znaménka a φ je potenciál elektrického pole ve vrcholu čtverce, do kterého náboj přidáváme.

    Potenciál elektrického pole vytvořeného jednotlivými náboji vyjádříme ze vztahu:

    φ=14πε0Qr,

    kde r je vzdálenost náboje od místa, kde potenciál zjišťujeme.

    Práce na přenesení náboje Q1 do vrcholu A:

    Při umístění prvního náboje nemusíme vykonat žádnou práci, protože nemusíme překonávat žádnou elektrickou sílu (zatím zde není žádné elektrické pole):

    W1=0.

    Práce na přenesení náboje Q2 do vrcholu B:

    Nyní už musíme překonávat sílu elektrického pole, které vytváří v bodě B náboj Q1. Práci vyjádříme ze vzorce:

    W2=Q2φB,

    kde φ1B je potenciál elektrického pole vytvořeného nábojem Q1 v bodě B.

    Náboj Q1 je ve vzdálenosti a od vrcholu. Potenciál ve vrcholu B je tedy roven:

    φB=14πε0Q1a.

    Potenciál dosadíme do vzorce pro práci:

    W2=14πε0Q1Q2a.

    Dosadíme velikosti a znaménka nábojů Q1 = −Q a Q2 = Q:

    W2=14πε0Q2a.

    Práce vnější síly vyšla záporná, protože kladný náboj je přitahován z „nekonečna“ záporným nábojem umístěným ve vrcholu čtverce. Práci na přenesení druhého náboje tedy vykonala elektrická síla.

    Práce na přenesení náboje Q3 do vrcholu C:

    Práci vypočítáme opět ze vztahu:

    W3=Q3φC.

    Elektrické pole v bodě C vytváří náboj Q1 ve vzdálenosti a√2 a náboj Q2 ve vzdálenosti a.

    Potenciál je tedy roven:

    φC=φ1C+φ2C=14πε0Q1a2+14πε0Q2a, φC=14πε0(Q1a2+Q2a).

    Práce je pak rovna:

    W3=Q34πε0(Q1a2+Q2a).

    Dosadíme velikosti a znaménka nábojů Q1 = Q3 = − Q a Q2 = Q:

    W3=Q4πε0(Qa2+Qa)=14πε0Q2a(112).

    Práce na přenesení náboje Q4 do vrcholu D:

    Práci na přenesení posledního náboje jsme vypočítali v předchozí části řešení:

    W4=Q24πϵ0a(2+12).

    Celkovou práci, kterou musíme vykonat, abychom shromáždili všechny náboje, získáme součtem jednotlivých prací.

    W=W1+W2+W3+W4, W=0+14πε0Q2a+14πε0Q2a(121)+Q24πϵ0a(2+12).

    Vytkneme 14πε0Q2a a sečteme čísla v závorce:

    W=14πε0Q2a(1+1212+12)=14πε0Q2a(4+22), W=14πε0Q2a(4+2).

    Jelikož vyšla práce vnější síly záporná, konala ve skutečnosti práci síla elektrická.

  • Odpověď

    Na přidání posledního náboje do vrcholu čtverce musí vnější síla vykonat práci

    W=Q24πϵ0a(2+12).

    Na shromáždění všech nábojů musí vnější síla vykonat práci

    W=14πε0Q2a(4+22).

    Jelikož v obou případech vyšla práce vnější síly záporná, konala ve skutečnosti práci síla elektrická.

  • Komentář: Znaménko práce

    Pokud se má náboj přesunout z místa s vyšší elektrickou potenciální energií do místa s nižší elektrickou potenciální energií, koná práci elektrická síla, tj. těleso se bude tímto směrem pohybovat vlivem elektrické síly. Elektrická potenciální energie v tomto případě klesá a dochází ke zvyšování např. kinetické energie elektronu (elektron je urychlován).

    V opačném případě koná práci vnější síla, zvyšuje tím elektrickou potenciální energii elektronu. V tomto případě se těleso bude tímto směrem pohybovat pod vlivem vnější síly, která překonává elektrickou sílu.

    Je to stejné jako v tíhovém poli. Padá-li těleso dolů, tak se vlastně pohybuje z místa s vyšší tíhovou potenciální energií do místa s nižší tíhovou potenciální energií, a práci koná tíhová síla. Pokud těleso zvedáme do výšky, koná práci vnější síla.

    Vyjde-li práce dané síly záporná, znamená to, že situace je ve skutečnosti opačná, než jak jsme předpokládali. Práci tedy koná síla opačného směru.

  • Výpočet práce přímou integrací

    Práci, kterou vykoná elektrická síla, při přenesení náboje z místa a do místa b vypočítáme ze vztahu: We=baFvdr,

    kde Fv je výsledná elektrická síla, která působí na přenášený náboj.

    Vzhledem k tomu, že práce elektrických sil nezávisí na trajektorii, zvolíme si jako trajektorii, po které se bude náboj pohybovat, polopřímku, která míří do středu čtverce (viz obrázek). Označíme si polohový vektor r (počátek bude mít ve středu čtverce) a vyjádříme výslednou elektrickou sílu Fv v obecném místě na zvolené trajektorii.

    Do obrázku zakreslíme elektrické síly, které působí na náboj Q4.

    Jednotlivé síly působící na náboj
    Výsledná síla působící na náboj
    Fv=F1+F2+F3=F13+F2 Fv=F13F2

    Nejdříve vyjádříme velikost síly F2 z Coulombova zákona:

    F2=kQ2Q4(r+a22)2=kQ2(r+a22)2.

    Vyjádření velikosti síly F13, což je výslednice sil F1 a F3, bude mít více kroků.

    1. Vyjádříme síly F1 a F3 opět z Coulombova zákona.
    2. Výslednici F13 vypočítáme z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníku.
    3. Vyjádříme vzdálenost x pomocí r.

    1) Protože náboje Q1 a Q3 jsou od náboje Q4 ve stejné vzdálenosti a všechny náboje mají stejnou velikost, bude i velikost síly F1 a F3 stejná:

    F1=F3=kQ2x2.

    2) Z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníka platí:

    F132F1=rx, F13=2F1rx.

    Dosadíme velikost síly F1 ze vzorce (1):

    F13=2kQ2x2rx=2kQ2rx3.

    3) Zbývá vyjádřit ze žlutého trojúhelníka vzdálenost x pomocí r. Použijeme Pythagorovu větu.

    x=(a22)2+r2=2a24+r2, x=a22+r2.

    X dosadíme do vzorce (2):

    F13=2kQ2r(a22+r2)3.

    Výslednou sílu tedy vypočítáme:

    Fv=F13F2=2kQ2r(a22+r2)3kQ2(r+a22)2.

    Vyjádřili jsme tedy výslednici elektrické síly, zbývá už „jen“ vypočítat integrál vyjadřující práci. Protože vektor síly Fv je rovnoběžný s vektorem r, můžeme skalární součin v integrálu zjednodušit:

    We=baFvdr=baFvdr.

    Mínus je před integrálem proto, že vektory r a Fv jsou opačně orientované.

    Určíme integrační meze. Náboj přenášíme z nekonečna až do rohu čtverce, kde je r rovno polovině úhlopříčky čtverce r=a22:

    We=a22Fvdr.

    Dosadíme vyjádření elektrické síly:

    We=a22(2kQ2r(a22+r2)3kQ2(r+a22)2)dr.

    Integrál vypočítáme v následujícím oddíle. Výsledek, který získáme, odpovídá řešení pomocí potenciální energie, tj.

    We=kQ2a(2+12).
  • Jiný způsob výpočtu práce na seskupení nábojů

    Práci, kterou vykoná vnější síla na shromáždění všech nábojů, můžeme spočítat také pomocí potenciální energie celé soustavy.

    W=Ep.

    Stačí tedy vyjádřit potenciální energii soustavy.

    Dvojice nábojů Q1 a Q2, které jsou od sebe vzdáleny r, má potenciální energii:

    Ep12=14πε0Q1Q2r.

    Pokud máme více nábojů, získáme potenciální energii celé soustavy součtem potenciálních energií všech dvojic nábojů. V našem případě máme 4 náboje, ze kterých můžeme vytvořit 6 různých dvojic:

    Ep=Ep12+Ep13+Ep14+Ep23+Ep24+Ep34.

    Dosadíme potenciální energii jednotlivých dvojic a rovnou vytkneme konstantu 14πε0:

    Ep=14πε0(Q1Q2a+Q1Q3a2+Q1Q4a+Q2Q3a+Q2Q4a2+Q3Q4a).

    Doplníme velikosti a znaménka nábojů Q1 = Q3 = − Q, Q2 = Q4 = Q:

    Ep=14πε0(Q2a+Q2a2Q2aQ2a+Q2a2Q2a).

    Postupně upravíme výraz v závorce:

    Ep=14πε0Q2a(1+1211+121), Ep=14πε0Q2a(4+22).

    Práce vnější síly je tedy rovna

    W=14πε0Q2a(4+22),

    což odpovídá výsledku získanému sčítáním práce při postupném přidávání jednotlivých nábojů.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Griffiths D. J. (1999). Introduction to Electrodynamics. New Jersey:
Prentice Hall, Upper Saddle River. 
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Griffiths D. J. (1999). Introduction to Electrodynamics. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze