Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Čtyři náboje
Úloha číslo: 271
Dva náboje −Q jsou umístěny v protějších rozích čtverce o straně a, v dalším rohu čtverce je umístěn náboj +Q. Jakou práci je potřeba vykonat na přidání dalšího náboje +Q do posledního rohu čtverce?
Jakou práci je potřeba vykonat na shromáždění všech nábojů do popsané konfigurace?
Obrázek a označení
Jednotlivé náboje očíslujeme a vrcholy čtverce po řadě označíme písmeny. Úlohu budeme počítat obecně a až na konci dosadíme stejnou velikost nábojů a jejich znaménka.
Nápověda: Vykonaná práce
Práce vykonaná elektrickou silou při přenesení náboje v elektrickém poli závisí pouze na velikosti přeneseného náboje a rozdílu potenciálu v počátečním a koncovém bodě.
Při výpočtu práce potřebné na shromáždění všech nábojů, musíme vyjádřit práci, kterou je třeba vykonat na přinesení každého náboje zvlášť do daného vrcholu při vytváření celé konfigurace nábojů a tyto příspěvky pak sečíst.
Nápověda: Potenciál
Celkový potenciál elektrického pole v jednom vrcholu čtverce získáme součtem potenciálů elektrických polí, které vytváří náboje v ostatních vrcholech čtverce.
Pro potenciál bodového náboje platí:
φ=14πε0Qr.Rozbor
Při přenášení náboje v elektrickém poli koná elektrická síla práci, která je rovna rozdílu elektrické potenciální energie v počátečním a koncovém bodě. Do posledního rohu čtverce přenášíme náboj z nekonečna, kde zvolíme elektrickou potenciální energii rovnu nule. Potřebná práce je tedy až na znaménko rovna potenciální energii v koncovém bodě.
Elektrická potenciální energie v daném bodě je přímo úměrná náboji (včetně znaménka) a potenciálu elektrického pole v tomto bodě.
Abychom spočetli celkový potenciál elektrického pole, musíme sečíst potenciály elektrických polí, které vytváří jednotlivé náboje. Potenciál elektrického pole v posledním vrcholu čtverce je tedy dán součtem potenciálů elektrických polí, které vytváří náboje ve třech ostatních vrcholech čtverce.
Potenciál elektrického pole jednoho bodového náboje je přímo úměrný velikosti náboje a nepřímo úměrný jeho vzdálenosti od místa, kde potenciál zjišťujeme.
Abychom vypočítali práci na shromáždění všech nábojů, musíme vyjádřit práce potřebné na přenesení každého jednotlivého náboje. Na pořadí, v jakém budeme náboje přenášet do čtverce, nezáleží. Při výpočtu jednotlivých prací musíme dát pozor, jaké náboje „jsme již shromáždili“ a které tedy vytváří pole ve vrcholu, kam přesouváme další náboj.
Řešení: Práce na přidání posledního náboje Q
Práce vykonaná elektrickou silou při přenesení náboje v elektrickém poli je rovna rozdílu potenciální energie v počátečním bodě 1 a koncovém bodě 2:
We=Ep1−Ep2.Přenášíme-li náboj z nekonečna, kde volíme potenciální energii rovnou nule (Ep1 = 0), pak je práce rovna záporně vzaté potenciální energii v koncovém bodě 2:
We=−Ep2.V našem případě přenášíme náboj z nekonečna do vrcholu čtverce D. Práce je tedy rovna:
We=−EpD.Pokud znaménko mínus vynecháme, vyjádříme práci, kterou vykonala vnější síla přemísťující náboj (viz komentář na konci úlohy):
W=EpD.Potenciální energii vyjádříme pomocí potenciálu a náboje: EpD=Q4φD a dosadíme do vztahu pro výpočet práce:
W=Q4φD.Nyní spočítáme potenciál elektrického pole v bodě D. Elektrické pole vytváří náboje umístěné v ostatních třech vrcholech čtverce. Potenciál celkového elektrického pole v bodě D je roven součtu potenciálů elektrických polí jednotlivých nábojů:
φD=φ1D+φ2D+φ3D,kde φ1D je potenciál pole prvního náboje, φ2D potenciál pole druhého náboje a φ3D potenciál pole třetího náboje v bodě D.
Pro potenciál elektrického pole náboje Q ve vzdálenosti r od náboje platí obecný vztah:
φ=14πϵ0Qr.První a třetí náboj mají od bodu D vzdálenost a. Druhý náboj je od bodu D vzdálen a√2 (a√2 je délka úhlopříčky ve čtverci o straně a). Pro potenciály tedy platí:
φ1D=14πϵ0Q1a,φ2D=14πϵ0Q2a√2,φ3D=14πϵ0Q3a.
Vyjádření jednotlivých potenciálů dosadíme do vzorce (**):
φD=14πϵ0Q1a+14πϵ0Q2a√2+14πϵ0Q3a.Vytkneme konstantu 14πε0:
φD=14πϵ0(Q1a+Q2a√2+Q3a).Vyjádřený potenciál dosadíme do vzorce pro výpočet práce (**):
W=Q44πϵ0(Q1a+Q2a√2+Q3a).Získali jsme obecný vztah pro výpočet práce na přemístění náboje Q4 do vrcholu D. Nyní ještě dosadíme stejnou velikost nábojů a jejich znaménka Q1 = Q3 = − Q a Q2 = Q4 = Q:
W=Q4πϵ0(−Qa+Qa√2+−Qa).Vytkneme Qa a upravíme výraz v závorce:
W=Q24πϵ0a(−1+1√2−1)=Q24πϵ0a(−2+1√2).Vyjádřili jsme práci, kterou vykoná vnější síla při přenesení náboje Q z nekonečna do rohu čtverce.
Jelikož vyšla práce vnější síly záporná, konala ve skutečnosti práci síla elektrická.
Řešení: Práce na shromáždění všech nábojů
Abychom vypočítali celkovou práci na shromáždění všech nábojů, vyjádříme si nejdříve práce, které musí vnější síla vykonat na přidání jednotlivých nábojů postupně do vrcholů čtverce. Z vlastností elektrostatického pole plyne, že na pořadí, v jakém budeme jednotlivé náboje přinášet, nezáleží.
K výpočtu jednotlivých prací využijeme stejného vzorce (*) jako v předchozí části řešení:
W=Qφ,kde Q je velikost přidávaného náboje včetně znaménka a φ je potenciál elektrického pole ve vrcholu čtverce, do kterého náboj přidáváme.
Potenciál elektrického pole vytvořeného jednotlivými náboji vyjádříme ze vztahu:
φ=14πε0Qr,kde r je vzdálenost náboje od místa, kde potenciál zjišťujeme.
Práce na přenesení náboje Q1 do vrcholu A:
Při umístění prvního náboje nemusíme vykonat žádnou práci, protože nemusíme překonávat žádnou elektrickou sílu (zatím zde není žádné elektrické pole):
W1=0.Práce na přenesení náboje Q2 do vrcholu B:
Nyní už musíme překonávat sílu elektrického pole, které vytváří v bodě B náboj Q1. Práci vyjádříme ze vzorce:
W2=Q2φB,kde φ1B je potenciál elektrického pole vytvořeného nábojem Q1 v bodě B.
Náboj Q1 je ve vzdálenosti a od vrcholu. Potenciál ve vrcholu B je tedy roven:
φB=14πε0Q1a.Potenciál dosadíme do vzorce pro práci:
W2=14πε0Q1Q2a.Dosadíme velikosti a znaménka nábojů Q1 = −Q a Q2 = Q:
W2=−14πε0Q2a.Práce vnější síly vyšla záporná, protože kladný náboj je přitahován z „nekonečna“ záporným nábojem umístěným ve vrcholu čtverce. Práci na přenesení druhého náboje tedy vykonala elektrická síla.
Práce na přenesení náboje Q3 do vrcholu C:
Práci vypočítáme opět ze vztahu:
W3=Q3φC.Elektrické pole v bodě C vytváří náboj Q1 ve vzdálenosti a√2 a náboj Q2 ve vzdálenosti a.
Potenciál je tedy roven:
φC=φ1C+φ2C=14πε0Q1a√2+14πε0Q2a, φC=14πε0(Q1a√2+Q2a).Práce je pak rovna:
W3=Q34πε0(Q1a√2+Q2a).Dosadíme velikosti a znaménka nábojů Q1 = Q3 = − Q a Q2 = Q:
W3=−Q4πε0(−Qa√2+Qa)=−14πε0Q2a(1−1√2).Práce na přenesení náboje Q4 do vrcholu D:
Práci na přenesení posledního náboje jsme vypočítali v předchozí části řešení:
W4=Q24πϵ0a(−2+1√2).Celkovou práci, kterou musíme vykonat, abychom shromáždili všechny náboje, získáme součtem jednotlivých prací.
W=W1+W2+W3+W4, W=0+14πε0−Q2a+14πε0Q2a(1√2−1)+Q24πϵ0a(−2+1√2).Vytkneme 14πε0Q2a a sečteme čísla v závorce:
W=14πε0Q2a(−1+1√2−1−2+1√2)=14πε0Q2a(−4+2√2), W=14πε0Q2a(−4+√2).Jelikož vyšla práce vnější síly záporná, konala ve skutečnosti práci síla elektrická.
Odpověď
Na přidání posledního náboje do vrcholu čtverce musí vnější síla vykonat práci
W=Q24πϵ0a(−2+1√2).Na shromáždění všech nábojů musí vnější síla vykonat práci
W=14πε0Q2a(−4+2√2).Jelikož v obou případech vyšla práce vnější síly záporná, konala ve skutečnosti práci síla elektrická.
Komentář: Znaménko práce
Pokud se má náboj přesunout z místa s vyšší elektrickou potenciální energií do místa s nižší elektrickou potenciální energií, koná práci elektrická síla, tj. těleso se bude tímto směrem pohybovat vlivem elektrické síly. Elektrická potenciální energie v tomto případě klesá a dochází ke zvyšování např. kinetické energie elektronu (elektron je urychlován).
V opačném případě koná práci vnější síla, zvyšuje tím elektrickou potenciální energii elektronu. V tomto případě se těleso bude tímto směrem pohybovat pod vlivem vnější síly, která překonává elektrickou sílu.
Je to stejné jako v tíhovém poli. Padá-li těleso dolů, tak se vlastně pohybuje z místa s vyšší tíhovou potenciální energií do místa s nižší tíhovou potenciální energií, a práci koná tíhová síla. Pokud těleso zvedáme do výšky, koná práci vnější síla.
Vyjde-li práce dané síly záporná, znamená to, že situace je ve skutečnosti opačná, než jak jsme předpokládali. Práci tedy koná síla opačného směru.
Výpočet práce přímou integrací
Práci, kterou vykoná elektrická síla, při přenesení náboje z místa a do místa b vypočítáme ze vztahu: We=∫ba→Fv⋅d→r,kde Fv je výsledná elektrická síla, která působí na přenášený náboj.
Vzhledem k tomu, že práce elektrických sil nezávisí na trajektorii, zvolíme si jako trajektorii, po které se bude náboj pohybovat, polopřímku, která míří do středu čtverce (viz obrázek). Označíme si polohový vektor →r (počátek bude mít ve středu čtverce) a vyjádříme výslednou elektrickou sílu →Fv v obecném místě na zvolené trajektorii.
Do obrázku zakreslíme elektrické síly, které působí na náboj Q4.
→Fv=→F1+→F2+→F3=→F13+→F2 Fv=F13−F2Nejdříve vyjádříme velikost síly F2 z Coulombova zákona:
F2=kQ2Q4(r+a√22)2=kQ2(r+a√22)2.Vyjádření velikosti síly F13, což je výslednice sil F1 a F3, bude mít více kroků.
- Vyjádříme síly F1 a F3 opět z Coulombova zákona.
- Výslednici F13 vypočítáme z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníku.
- Vyjádříme vzdálenost x pomocí r.
1) Protože náboje Q1 a Q3 jsou od náboje Q4 ve stejné vzdálenosti a všechny náboje mají stejnou velikost, bude i velikost síly F1 a F3 stejná:
F1=F3=kQ2x2.2) Z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníka platí:
F132F1=rx, F13=2F1rx.Dosadíme velikost síly F1 ze vzorce (1):
F13=2kQ2x2rx=2kQ2rx3.3) Zbývá vyjádřit ze žlutého trojúhelníka vzdálenost x pomocí r. Použijeme Pythagorovu větu.
x=√(a√22)2+r2=√2a24+r2, x=√a22+r2.X dosadíme do vzorce (2):
F13=2kQ2r√(a22+r2)3.Výslednou sílu tedy vypočítáme:
Fv=F13−F2=2kQ2r√(a22+r2)3−kQ2(r+a√22)2.Vyjádřili jsme tedy výslednici elektrické síly, zbývá už „jen“ vypočítat integrál vyjadřující práci. Protože vektor síly →Fv je rovnoběžný s vektorem →r, můžeme skalární součin v integrálu zjednodušit:
We=∫ba→Fv⋅d→r=−∫baFvdr.Mínus je před integrálem proto, že vektory →r a →Fv jsou opačně orientované.
Určíme integrační meze. Náboj přenášíme z nekonečna až do rohu čtverce, kde je r rovno polovině úhlopříčky čtverce r=a√22:
We=−∫a√22∞Fvdr.Dosadíme vyjádření elektrické síly:
We=−∫a√22∞(2kQ2r√(a22+r2)3−kQ2(r+a√22)2)dr.Integrál vypočítáme v následujícím oddíle. Výsledek, který získáme, odpovídá řešení pomocí potenciální energie, tj.
We=−kQ2a(−2+1√2).Jiný způsob výpočtu práce na seskupení nábojů
Práci, kterou vykoná vnější síla na shromáždění všech nábojů, můžeme spočítat také pomocí potenciální energie celé soustavy.
W=Ep.Stačí tedy vyjádřit potenciální energii soustavy.
Dvojice nábojů Q1 a Q2, které jsou od sebe vzdáleny r, má potenciální energii:
Ep12=14πε0Q1Q2r.Pokud máme více nábojů, získáme potenciální energii celé soustavy součtem potenciálních energií všech dvojic nábojů. V našem případě máme 4 náboje, ze kterých můžeme vytvořit 6 různých dvojic:
Ep=Ep12+Ep13+Ep14+Ep23+Ep24+Ep34.Dosadíme potenciální energii jednotlivých dvojic a rovnou vytkneme konstantu 14πε0:
Ep=14πε0(Q1Q2a+Q1Q3a√2+Q1Q4a+Q2Q3a+Q2Q4a√2+Q3Q4a).
Doplníme velikosti a znaménka nábojů Q1 = Q3 = − Q, Q2 = Q4 = Q:
Ep=14πε0(−Q2a+Q2a√2−Q2a−Q2a+Q2a√2−Q2a).Postupně upravíme výraz v závorce:
Ep=14πε0Q2a(−1+1√2−1−1+1√2−1), Ep=14πε0Q2a(−4+2√2).Práce vnější síly je tedy rovna
W=14πε0Q2a(−4+2√2),což odpovídá výsledku získanému sčítáním práce při postupném přidávání jednotlivých nábojů.