Sbírka řešených úloh

Zavěšená vodivá tyč

Úloha číslo: 2332

Vodivá tyč o délkové hustotě \(\lambda\) (v kg/m) je zavěšena na dvou vodivých nehmotných vláknech tak, že je ponořena do homogenního magnetického pole \(B\), které míří z nárysny (viz obrázek). Jaký je směr a velikost proudu v tyči, pokud na závěsy nepůsobí žádná síla?

 

• Nápověda

  Na vše působí tíhová síla. Jaká další síla působí na vodič s proudem v magnetickém poli? Jaký směr musí mít tato síla?

• Řešení nápovědy

  Na přímý vodič délky \(l\) s proudem \(I\) nacházející se v homogenním magnetickém poli o indukcí \(B\) působí magnetická síla o velikosti

  \[F_\mathrm{m}=BIl \sin \beta,\]

  kde \(\beta\) je úhel, který svírá vektor magnetické indukce s vodičem.

  Směr působení magnetické síly popisuje Flemingovo pravidlo levé ruky: „Přiložíme-li k vodiči levou ruku tak, aby natažené prsty ukazovaly směr proudu a magnetické indukční čáry vstupovaly do dlaně, ukazuje odtažený palec směr a orientaci vektoru magnetické síly, která působí na vodič.“

  

  Obrázek převzat z úlohy 479.

  Vysokoškolská poznámka

  Flemingovo pravidlo vlastně jen slovně vyjadřuje směr síly, který jasně vyplývá ze vztahu pro sílu, pokud předchozí vztah zapíšeme vektorově:

  \[\vec{F_\mathrm{m}}=I\vec{l}\times\vec{B},\]

  kde \(\vec{l}\) je vektor ve směru proudu.

  Směr magnetické síly je potom dán směrem výsledku vektorového součinu.

• Řešení

  Aby na závěsy nepůsobila žádná síla, musí být tíhová síla a magnetická síla působící na tyč v rovnováze. Musí mít stejnou velikost:

  \[F_\mathrm{m}=F_\mathrm{G}.\]

  Velikost magnetické síly vyjádříme pomocí vzorce uvedeného v řešení nápovědy:

  \[BIl\sin\beta = m g.\]

  Úhel \(\beta\) je úhel, který svírá vektor magnetické indukce a vodič, v našem případě \(\beta=90° \implies \sin \beta=1\). Hmotnost vyjádříme pomocí délkové hustoty:

  \[BIl=l\lambda g.\]

  Po vyjádření proudu získáme

  \[I=\frac{\lambda g}{B}.\]

  Aby magnetická síla vyrovnala tíhovou sílu, musí působit opačným směrem než tíhová síla, tedy směrem nahoru. Směr proudu určíme pomocí Flemingova pravidla levé ruky. Palec ukazuje směr síly, do dlaně vstupují magnetické indukční čáry a prsty ukazují směr proudu. Proud tedy teče ve směru chodu hodinových ručiček, jak je naznačeno na obrázku.

  

• Odpověď

  Na závěsy nebude působit žádná síla, pokud bude vodičem protékat proud velikosti \(I=\frac{\lambda g}{B}\) ve směru chodu hodinových ručiček (viz obrázek).