Výkon elektrického proudu

Úloha číslo: 42

Ke zdroji s konstantním elektromotorickým napětím je sériově připojen rezistor R1 o odporu 5 Ω. Poté tento rezistor nahradíme rezistorem R2 o odporu 0,2 Ω.

Jaký je vnitřní odpor zdroje, jestliže výkon proudu v rezistorech je v obou obvodech stejný?

Obvody s konstantním výkonem v rezistorech
  • Nápověda 1

    Uvědomte si nebo vyhledejte, jaký je rozdíl mezi reálným a ideálním zdrojem napětí.

  • Nápověda 2: výkon elektrického proudu v rezistoru

    Uvědomte si, že v obou zapojeních se shoduje výkon elektrického proudu v rezistorech. Tento výkon je roven součinu napětí na rezistoru a proudu, který tímto rezistorem prochází.

  • Rozbor

    Protože v našem obvodu je zapojen reálný zdroj, napětí na rezistoru bude rovno rozdílu elektromotorického napětí a napětí na vnitřním odporu zdroje.

    Proud procházející rezistorem vypočítáme z Ohmova zákona pro uzavřený obvod. Ten říká, že proud v uzavřeném obvodu se rovná podílu elektromotorického napětí zdroje a součtu odporů vnější a vnitřní části obvodu (tj. součet odporu R1 (nebo R2) a vnitřního odporu zdroje).

    Abychom vypočítali vnitřní odpor zdroje, vyjádříme si pro oba obvody výkon elektrického proudu v rezistoru. Ze zadání úlohy víme, že se tyto výkony rovnají. Jejich porovnáním získáme hledaný vnitřní odpor zdroje.

  • Řešení

    Výkon elektrického proudu na připojeném rezistoru vypočítáme ze vztahu

    \[P\,=\,UI\,=\,\left(U_e-R_iI\right)I\,,\]

    kde Ue je elektromotorické napětí,  Ri je vnitřní odpor zdroje a I je proud protékající obvodem.

    Jestliže je výkon proudu P pro oba rezistory stejný, pak platí, že

    \[P_1\,=\,U_eI_1-R_iI_1^2\] \[P_2\,=\,U_eI_2-R_iI_2^2\] \[P_1\,=\,P_2\,,\]

    a tedy

    \[U_eI_1-R_iI_1^2\,=\,U_eI_2-R_iI_2^2\,.\]

    Z této rovnice si vyjádříme vnitřní odpor Ri:

    \[U_e\left(I_1-I_2\right)\,=\,R_i\left(I_1^2-I_2^2\right)\] \[R_i\,=\,\frac{U_e\left(I_1-I_2\right)}{I_1^2-I_2^2} \,=\,\frac{U_e\left(I_1-I_2\right)}{\left(I_1-I_2\right)\left(I_1+I_2\right)} \,=\,\frac{U_e}{I_1+I_2}\,.\tag{1}\]

    Z Ohmova zákona pro uzavřený obvod víme, že

    \[I\,=\,\frac{U_e}{R+R_i}\,.\]

    V našem případě to znamená:

    \[I_1\,=\,\frac{U_e}{R_1+R_i}\hspace{20px} I_2\,=\,\frac{U_e}{R_2+R_i}\,.\tag{1. a 2. obvod}\]

    Takto vyjádřené neznámé proudy I1, I2 dosadíme do rovnice (1) a upravíme:

    \[R_i\,=\,\frac{U_e}{\frac{U_e}{R_1+R_i}+\frac{U_e}{R_2+R_i}} \,=\,\frac{1}{\frac{1}{R_1+R_i}+\frac{1}{R_2+R_i}}\] \[ R_i\,=\,\frac{\left(R_1+R_i\right)\left(R_2+R_i\right)} {\left(R_2+R_i\right)+\left(R_1+R_i\right)}\,.\]

    V této rovnici nám zbyla jediná neznámá Ri, kterou vyjádříme:

    \[R_i\left(R_1+R_2+2R_i\right)\,=\,R_1R_2+R_iR_1+R_iR_2+R_i^2\] \[2R_i^2\,=\,R_1R_2+R_i^2\] \[R_i^2\,=\,R_1R_2\] \[R_i\,=\,\sqrt{R_1R_2}\,.\]
  • Odpověď

    Je-li výkon proudu pro dva rezistory o odporu R1 = 5 ΩR2 = 0,2 Ω ve vnější části obvodu stejný, pak vnitřní odpor zdroje je \(R_i\,=\,\sqrt{R_1R_2}\,=\,\sqrt{5 {\cdot} 0{,}2}\,\mathrm{\Omega}\,=\,1\,\mathrm{\Omega}\).

  • Odkaz na podobnou úlohu

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010).
Zaslat komentář k úloze