Pole kondenzátoru s dvěma dielektriky
Úloha číslo: 241
Prostor mezi deskami deskového kondenzátoru je vyplněn dvěma bloky lineárního dielektrika; každý z nich má šířku a, takže celková vzdálenost elektrod je 2a. Jedno dielektrikum má relativní permitivitu 2, druhé 1,5. Nábojová hustota volného náboje na deskách kondenzátoru je ± σ. Určete
(a) elektrickou indukci pole \(\vec D\) v obou blocích,
(b) elektrickou intenzitu pole \(\vec E\) v obou blocích,
(c) polarizaci \(\vec P\) v obou blocích,
(d) potenciálový rozdíl mezi elektrodami,
(e) rozložení a velikost vázaného náboje.
(f) Znovu vypočtěte intenzitu elektrického pole v každém bloku, tentokrát ze znalosti rozložení veškerého (volného i vázaného) náboje. Potvrďte tak správnost výpočtu v bodě (b).
Nápověda — část (a)
Pro část (a) použijte Gaussovu větu elektrostatiky pro elektrickou indukci a volné náboje. Použijte ji na kvádr, který je v polovině rozťat kladnou elektrodou a neprotíná elektrodu zápornou. Uvažujte, že desky kondenzátoru jsou veliké (takřka nekonečné roviny), takže z důvodu rovinné symetrie bude vektor indukce na desky kondenzátoru kolmý.
Nápověda — části (b) až (d)
Ze spočtené indukce, díky linearitě dielektrika, vypočtěte intenzitu elektrického pole pomocí zadané permitivity. Z intenzity a indukce vypočtěte polarizaci. Znalost intenzity též použijte k výpočtu potenciálového rozdílu mezi deskami (nebo si celou situaci představte jako dva deskové kondenzátory spojené do série).
Nápověda – část (e)
Ze znalosti polarizace určete vázané náboje; dejte pozor, povrchy jsou dva a dva pro každé dielektrikum, tedy celkem čtyři!
Nápověda – část (f)
Pro výpočet pole pomocí volných a vázaných nábojů můžete znovu použít Gaussovu větu elektrostatiky, tentokrát pro elektrickou intenzitu a celkový náboj.
Rozbor
Předpokládejme, že desky kondenzátoru jsou velké (téměř nekonečné roviny). Ze symetrie situace plyne, že elektrická indukce mezi deskami bude mít směr kolmý na desky a bude orientována od kladné k záporné. Pole vně desek je nulové.
To nám umožní aplikovat Gaussovu větu pro elektrickou indukci na kvádr, který je uprostřed rozťat na dvě poloviny kladně nabitou deskou a neprotíná zápornou desku. Odtud určíme velikost elektrické indukce mezi deskami.
Ze znalosti elektrické indukce pak můžeme vypočíst elektrickou intenzitu v obou dielektrikách, díky předpokladu, že obě dielektrika jsou lineární. Ze znalosti intenzity a indukce jednoduše vypočteme polarizaci, znalost polarizace ihned dává přímým výpočtem rozložení vázaného náboje.
Z vypočtené intenzity pole v každém bloku určíme potenciálový rozdíl mezi deskami. Protože všechny body každé elektrody musí mít stejný potenciál, stačí kolmicí spojit dva body obou elektrod a provést integraci intenzity podél této kolmice.
Nebo můžeme bloky dielektrika považovat za dva kondenzátory spojené do série a použít vztah pro napětí v deskovém kondenzátoru.
Známe-li nyní rozložení vázaného i volného náboje, můžeme standardními metodami určit intenzitu pole v jednotlivých oblastech. Například, vzhledem k symetrii situace, můžeme opět použít Gaussovu větu, tentokrát ve verzi s elektrickou intenzitou a celkovým nábojem.
Řešení částí (a) až (d)
(a) Ze symetrie vyplývá, že elektrická indukce bude mít směr od kladně nabité elektrody k záporně nabité. Vztah
\[\oint_\mathrm{S} \vec D\cdot\,d\vec S = Q_{\mathrm{vol}}\]aplikujeme na kvádr, který je uprostřed protnut kladně nabitou elektrodou a neprotíná druhou elektrodu (viz obrázek). „Pole teče“ pouze mezi elektrodami. Tok je tedy nenulový pouze jedinou stěnou S kvádru rovnoběžnou s elektrodou, proto
\[D\cdot S = Q = \sigma S \Rightarrow D = \sigma.\]
(b) Využijeme vztahů pro lineární dielektrikum. V prvním bloku dostaneme
\[E_1 = \frac{D}{\varepsilon_1} = \frac{\sigma}{\varepsilon_1} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},\]v druhém bloku
\[E_2 = \frac{D}{\varepsilon_2} = \frac{\sigma}{\varepsilon_2} = \frac{2\sigma}{3\varepsilon_0}.\]Elektrická intenzita má stejný směr a orientaci jako elektrická indukce.
(c) Polarizace má stejný směr a orientaci jako elektrická intenzita. Pro její velikost máme
\[P = D-\varepsilon_0 E = \varepsilon E- \varepsilon_0 E = \varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E.\]Odtud po dosazení
\[P_1 = \frac{\sigma}{2}, \qquad P_2 = \frac{\sigma}{3}.\](d) Potenciálový rozdíl vypočteme integrací: integrujeme po kolmici k oběma elektrodám, která spojuje její libovolné dva body (například tedy po šipkách naznačujících tloušťku dielektrik a na obrázku):
\[|\Delta\varphi| = \left|\int_{\mathrm{sipky}} \vec E\,\cdot\,d\vec r \right|=.\]Protože pole je v každém bloku homogenní, dostáváme
\[ =\int_0^\mathrm{a} E_1\,dr + \int_a^\mathrm{2a} E_2\,dr = E_1\int_0^\mathrm{a} dr + E_2\int_\mathrm{a}^\mathrm{2a} dr = E_1a+E_2a = \frac{7\sigma a}{6\varepsilon_0}.\]Řešení částí (e) a (f)
(e) Objemový vázaný náboj ρb je nulový, neboť polarizace obou bloků je homogenní, a tudíž
\[\varrho_\mathrm{b} = -\nabla\,\cdot\,\vec P = 0.\]Divergence vektoru polarizace je nulová. Plošný vázaný náboj má hustotu
\[\sigma_\mathrm{b,1} = \vec P_1 \,\cdot\,\vec n = \pm P_1 = \pm \frac{\sigma}{2}\]na krajích prvního bloku, neboť jednotkový vektor \(\vec n\) vnější normály k povrchu a vektor polarizace mají stejný směr a opačnou či stejnou orientaci; přičemž na kraji v blízkosti elektrody má tento náboj zřejmě opačné znaménko, než je náboj elektrody. Obdobně má plošný vázaný náboj hustotu
\[\sigma_\mathrm{b,2} = \vec P_2 \,\cdot\,\vec n = \pm P_2 = \pm \frac{\sigma}{3}\]na krajích druhého bloku (přičemž na kraji v blízkosti elektrody má tento náboj opět opačné znaménko, než je náboj elektrody).
(f) Intenzita pole v okolí velké roviny má velikost
\[E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\]v celém prostoru, vektor intenzity má směr kolmý k rovině, orientace závisí na znaménku náboje desky (při kladném míří od roviny, při záporném k ní).
Připomeňme, že tento fakt vyplyne například použitím Gaussovy věty na stejný kvádr jako v části (a), jen si je třeba uvědomit, že při přítomnosti jediné roviny pole teče oběma podstavami kvádru rovnoběžnými s rovinou (odtud jedna polovina ve výrazu napravo).
Tento vztah použijeme na celkem šest rovin, které nesou rovnoměrně rozložený náboj: dvě elektrody nesoucí volný náboj o hustotě \(\pm\sigma\) a čtyři roviny nesoucí vázaný povrchový náboj o hustotách \(\pm \sigma/2\), \(\pm \sigma/3\). Uvědomte si také, že namísto dielektrik nyní při výpočtu uvažujeme mezi deskami vakuum a roviny s vázanými náboji: ε0 je tedy na místě ve všech vztazích!
Pro prostor prvního dielektrika dostáváme (uvědomte si orientace intenzit polí jednotlivých desek s volným či vázaným nábojem, jak naznačují šipky na obrázku výše):
\[E_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma/2}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma/2}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma/3}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma/3}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.\]Pro prostor druhého dielektrika dostáváme:
\[E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma/2}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma/2}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma/3}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma/3}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{2\sigma}{3\varepsilon_0}.\]To je v souladu s výpočtem v části (b).
Odpověď
(a) Elektrická indukce má velikost D = σ mezi elektrodami, směr kolmý na elektrody a orientaci od kladné elektrody k záporné. Vně kondenzátoru je elektrická indukce nulová.
(b) Elektrická intezita má stejný směr a orientaci jako elektrická indukce. V bloku o relativní permitivitě 2 má velikost E1 = σ/2ε0, v bloku o relativní permitivitě 1,5 má velikost E2 = 2σ/3εq0.
(c) Vektor polarizace má stejný směr a orientaci jako elektrická indukce. V bloku o relativní permitivitě 2 má velikost P1 = σ/2, v bloku o relativní permitivitě 1,5 má velikost P2 = σ/3.
(d) Potenciálový rozdíl mezi elektrodami je
\[|\Delta\varphi| = \frac{7\sigma a}{6\varepsilon_0}.\](e) Hustota objemového vázaného náboje je nulová. Na površích dielektrika s relativní permitivitou 2 je hustota povrchového vázaného náboje ± σ/2, na površích dielektrika s relativní permitivitou 1,5 je hustota povrchového vázaného náboje ±σ/3. Přitom kladný, resp. záporný vázaný náboj se rozmístí v blízkosti záporné, resp. kladné elektrody.
(f) Výpočet dává stejný výsledek jako v části (b).
