Nekonečná síť rezistorů

Úloha číslo: 665

Na obrázku je nakreslena nekonečná rezistorová síť s rezistory o odporech R1 a R2. Určete celkový odpor sítě.

Nekonečná rezistorová síť
  • Nápověda 1

    Zamyslete se, jak se změní celkový odpor sítě, jestliže k ní přidáme ještě jeden „kousek“ (tedy jeden sériově a jeden paralelně zapojený rezistor) nebo ho naopak ubereme.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, jaká pravidla platí pro počítání celkového odporu sériově a paralelně zapojených rezistorů.

  • Nápověda 3

    Při řešení úlohy bude potřeba vyřešit kvadratickou rovnici. Uvědomte si, nebo vyhledejte, jak se kvadratická rovnice řeší.

  • Rozbor

    V této úloze je pro nás velmi důležitou skutečností, že uvažovaná síť rezistorů je nekonečná.

    Nekonečná rezistorová síť

    Přidáme-li tedy k této síti ještě jeden člen, což je v našem případě jeden sériově a jeden paralelně zapojený rezistor, celkový odpor se nezmění. To nám umožní celé zapojení překreslit do velmi jednoduché náhradní sítě, jejíž odpor musí být roven celkovému odporu původní nekonečné sítě RAB.

    Překreslení sítě

    Pomocí pravidel pro výpočet celkového odporu pro paralelně a sériově zapojené rezistory nyní můžeme odpor sítě RAB vypočítat.

  • Řešení

    Rezistorová síť ze zadání úlohy je nekonečná. Přidáme-li tedy k této síti ještě jeden člen (jeden sériově a jeden paralelně zapojený rezistor), celkový odpor se nezmění. Celé zapojení tedy můžeme překreslit do sítě, jejíž odpor musí být roven celkovému odporu původní nekonečné sítě RAB.

    Náhradní zobrazení rezistorové síě

    Pomocí pravidel pro výpočet celkového odporu pro paralelně a sériově zapojené rezistory nyní vypočítáme odpor sítě RAB.

    Celkový odpor paralelně zapojených rezistorů R2 a RAB označíme Rp (v obrázku vyznačen červeně).

    Označení odporu paralelní části sítě

    Pro odpor Rp tedy platí:

    \[ \frac{1}{R_p}\,=\,\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_\mathrm{AB}}\,=\,\frac{R_\mathrm{AB}+R_2}{R_2R_\mathrm{AB}} \] \[ R_p\,=\,\frac{R_2R_\mathrm{AB}}{R_\mathrm{AB}+R_2}\,. \]

    Celkový odpor nekonečné rezistorové sítě RAB se rovná součtu odporů R1 a Rp (tyto rezistory jsou zapojeny sériově):

    \[ R_\mathrm{AB}\,=\,R_1\,+\,R_p\,=\,R_1\,+\,\frac{R_2R_\mathrm{AB}}{R_\mathrm{AB}+R_2} \] \[ R_\mathrm{AB}\,=\,\frac{R_1\left(R_\mathrm{AB}+R_2\right)+R_2R_\mathrm{AB}}{R_\mathrm{AB}+R_2}\,. \]

    Nyní za pomoci matematických úprav vypočítáme odpor RAB:

    \[ R_\mathrm{AB}\left(R_\mathrm{AB}+R_2\right)\,=\,R_1\left(R_\mathrm{AB}+R_2\right)+R_2R_\mathrm{AB} \] \[ R_\mathrm{AB}^2\,+\,R_2R_\mathrm{AB}\,=\,R_1R_\mathrm{AB}\,+\,R_1R_2\,+\,R_2R_\mathrm{AB} \] \[ R_\mathrm{AB}^2\,=\,R_1R_\mathrm{AB}\,+\,R_1R_2 \] \[ R_\mathrm{AB}^2\,-\,R_1R_\mathrm{AB}\,-\,R_1R_2\,=\,0\,. \]

    Získali jsme tedy kvadratickou rovnici pro neznámou RAB. Vyřešením této rovnice již určíme celkový odpor nekonečné sítě:

    \[ R_\mathrm{AB}\,=\,\frac{R_1\,+\sqrt{R_1^2+4R_1R_2}}{2}\,=\,\frac{R_1\,+\,\sqrt{R_1^2\left(1+\frac{4R_2}{R_1}\right)}}{2} \] \[ R_\mathrm{AB}\,=\,\frac{R_1\,+\,R_1\sqrt{1+\frac{4R_2}{R_1}}}{2} \] \[ R_\mathrm{AB}\,=\,\frac{R_1}{2}\left(1\,+\,\sqrt{1+\frac{4R_2}{R_1}}\right). \]

    Druhé řešení kvadratické rovnice vychází záporně, což je pro nás nepřijatelné.

  • Odpověď

    Odpor nekonečné sítě rezistorů je dán vztahem

    \[ R_\mathrm{AB}\,=\,\frac{R_1}{2}\left(1\,+\,\sqrt{1+\frac{4R_2}{R_1}}\right). \]
  • Odkazy na podobné úlohy

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha na konkretizaci
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze