Elektrický náboj procházející vodičem

Úloha číslo: 1024

Jaký elektrický náboj projde vodičem za čas 10 s, jestliže:

a) je proud stálý 5 A,

b) proud rovnoměrně roste od 0 A do 3 A.

Zápis

t = 10 s	doba, za kterou proud prošel vodičem
I = 5 A	stálý proud
I₁ = 0 A	počáteční proud
I₂ = 3 A	konečný proud
Q = ? (C)	prošlý náboj

Nápověda a)
Jaký vztah mají proud, prošlý náboj a čas?
Řešení nápovědy
Pro konstantní proud I platí \[I=\frac{Q}{t},\] kde Q je náboj, který prošel vodičem za dobu t.
Řešení a)
Prochází-li vodičem stálý proud, náboj spočteme podle vztahu \[I=\frac{Q}{t}.\] Odtud vyjádříme náboj Q: \[Q=It=5{\cdot} 10\, \mathrm C= 50\,\mathrm C.\]
Nápověda b)
V tomto případě není proud konstantní. Zkuste si nakreslit graf závislosti proudu na čase a zamyslet se nad tím, zda se z něj dá určit náboj.
Řešení nápovědy
Tentokrát není proud procházející vodičem konstantní, ale je závislý na čase. V případě nekonstantního proudu lze určit celkový prošlý náboj v době od t₁ do t₂ pomocí integrace:
\[Q=\int_{t_1}^{t_2} I(t)\,\mathrm dt.\]
Rovnoměrný růst proudu znamená lineární závislost proudu na čase, což můžeme znázornit následujícím grafem.

Integrací vlastně počítáme plochu pod grafem. Teď dokážeme, že plocha pod grafem je opravdu rovna celkovému náboji. Když budeme chtít spočítat náboj za malý časový úsek dt, použijeme vzorec pro výpočet náboje při konstantním proudu Q = I dt. Celý graf si můžeme rozdělit na mnoho úseků o stejné tloušťce dt, plocha pod grafem je pak součtem nábojů Q v jednotlivých úsecích. Když budeme dt zmenšovat, ze sumy se stane integrál. Plochu pod grafem v tomto případě tvoří pravoúhlý lichoběžník (viz růžová oblast v obrázku níže).

Z obrázku vidíme, že obsahy modře obtažených trojúhelníků jsou stejné a obsah lichoběžníku můžeme počítat jako obsah obdélníku. Horní strana obdélníku je právě v polovině rostoucí části grafu. Z toho zjišťujeme, že při lineární závislosti proudu na čase vodičem projde stejný náboj, jako kdyby jím protékal stálý proud I_p, jehož velikost je průměrem počáteční I₁ a koncové I₂ hodnoty. Pro celkový prošlý náboj Q tedy můžeme psát
\[ Q=I_\mathrm{p} t = \frac{I_1 + I_2}{2}t, \]
kde t je doba, která uplyne mezi časy t₁ a t₂.
Řešení b)
Při rovnoměrném růstu proudu pro celkový prošlý náboj platí \[ Q=I_{\mathrm{p}} t = \frac{I_1 + I_2}{2}t=\frac{0+3}{2}\cdot10\,\mathrm C= 15\,\mathrm C, \] kde I_p je průměr hodnot počátečního I₁ a koncového proudu I₂.
Komentář – řešení integrací
Úlohu můžeme také řešit metodou vhodnou pro libovolný průběh proudu I(t), tj. pomocí integrace \[Q=\int_{t_1}^{t_2} I(t)\, \mathrm dt,\] kde Q je celkový prošlý náboj v době t, tedy od času t₁ do času t₂.

Potřebujeme vyjádřit závislost proudu I(t) na čase t. Víme, že závislost je lineární, tedy splňuje předpis \[I=at+b,\] kde a, b jsou konstanty, které určíme ze zadaných hodnot. Odpovídající si hodnoty dosadíme do předpisu a získáme soustavu rovnic, ze které tyto konstanty dopočítáme: \[I_1=at_1+b,\] \[I_2=at_2+b.\] Po dosazení hodnot v základních jednotkách získáváme rovnice \[0=a\cdot 0+b,\] \[3=a\cdot 10+b.\] Z první rovnice vidíme, že b = 0. Za b dosadíme do druhé rovnice a dopočítáme a = 0,3. Konstanty dosadíme do přepisu lineární funkce: \[I=0{,}3t+0.\] Nyní spočítáme integrál (výpočet je také v základních jednotkách):
\[[Q]=\int_{0}^{10} 0{,}3t\,\mathrm dt=0{,}3\int_{0}^{10} t\,\mathrm dt=0{,}3\,\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{10}=0{,}3 \cdot \left[\frac{10^2-0^2}{2}\right]=15\] \[Q= 15\,\mathrm C.\]
Důkaz, že lze počítat s průměrným proudem
Pro úplnost nyní dokážeme, že i z integrace nakonec vyjde průměr hodnot proudu, který v této úloze uvádíme jako hlavní řešení.
Spočteme integrál s obecnou závislostí: \[Q=\int_{t_1}^{t_2} I(t)\, \mathrm dt=\int_{t_1}^{t_2} at+b\, \mathrm dt=\left[a\frac{t^2}{2}+bt \right]_{t_1}^{t_2}=a\frac{\left(t_2-t_1\right)^2}{2}+b\left(t_2-t_1\right)=\frac{a\left(t_2-t_1\right)^2+2b\left(t_2-t_1\right)}{2}\] \[Q=\frac{a\left(t_2-t_1\right)+2b}{2}\left(t_2-t_1\right).\] Teď dosadíme do vztahu pro celkový náboj, ve kterém vystupuje průměrný proud I_p (viz řešení výše), za t rovnou dosadíme rozdíl hodnot t₂ a t₁: \[Q=\frac{I_1+I_2}{2}\left(t_2-t_1\right)=\frac{at_1+b+at_2+b}{2}\left(t_2-t_1\right)=\frac{a\left(t_2-t_1\right)+2b}{2}\left(t_2-t_1\right). \] Z toho už vidíme, že v případě lineární závislosti proudu na čase, se celkový náboj Q skutečně rovná tomu, jako kdyby vodičem tekl proud rovnající se průměru proudů na začátku a na konci.
Odpověď
Při stálém proudu 5 A projde vodičem za 10 s náboj 50 C. Při rovnoměrném růstu proudu z nulové hodnoty na hodnotu 3 A projde vodičem za stejný čas náboj 15 C.
Odkaz na podobnou úlohu
Náboj procházející vodičem