Kuličky na niti ponořené do benzenu

Úloha číslo: 26

Dvě kuličky, které jsou nabity stejným elektrickým nábojem, jsou zavěšeny na stejně dlouhých nitích, které spolu svírají úhel 2α.

Vypočtěte hustotu látky, ze které jsou kuličky vyrobeny, jestliže se při ponoření kuliček do benzenu úhel nezměnil.

Poznámka: Hustota benzenu ρb = 879 kg m−3 a jeho relativní permitivita εr = 2,3.

  • Nápověda 1

    Jaké síly na kuličky působí a co pro tyto síly musí platit?

    Nakreslete si obrázek.

  • Nápověda 2

    Které síly se změní, ponoříme-li kuličky do benzenu? Přibudou nějaké nové síly?

  • Obrázek

    Kuličky na vzduchu
    Kuličky v benzenu
  • Rozbor

    Na vzduchu na každou nabitou kuličku zavěšenou na vlákně působí tíhová síla, tahová síla vlákna a odpudivá elektrická síla. Obě kuličky jsou v klidu, proto výslednice všech tří sil musí být nulová.

    Ponoříme-li kuličky do benzenu, některé působící síly se změní, ale výslednice sil musí být opět rovna nule.

    Odpudivá elektrická síla se εr-krát zmenší a změní se také tahová síla vlákna. Tíhová síla zůstane stejná. Navíc přibude vztlaková síla.

    V obou případech si z vhodného pravoúhlého trojúhelníka můžeme vyjádřit tangens úhlu α, oba vztahy porovnat a vyjádřit odtud neznámou hustotu.

    Kuličky na vzduchu
    Kuličky v benzenu
  • Řešení

    Na vzduchu působí na každou kuličku tíhová síla \(\vec{F}_G\) a tahová síla vlákna \(\vec{F}_t\). Protože jsou kuličky nabité, odpuzují se navzájem elektrickou silou \(\vec{F}_e\).

    Pro velikost sil platí:

    \[F_G\,=\,mg\] \[F_e\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q^2}{r^2}\,,\]

    kde r je vzdálenost kuliček.

    Vzhledem k tomu, že jsou kuličky v klidu, je výslednice těchto tří sil rovna nule.

    Z „fialového“ pravoúhlého trojúhelníka můžeme vyjádřit tangens úhlu α:

    \[\mathrm{tg}\, \alpha=\frac{F_e}{F_G}\,=\,\frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q^2}{r^2}}{mg}\] \[\mathrm{tg}\, \alpha\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \,\frac{Q^2}{mgr^2}\tag{*}\]

    Ponoříme-li kuličky do benzenu, přibude navíc čtvrtá síla - vztlaková síla \(\vec{F}_{VZ}\). Tíhová síla zůstane stále stejná, ale odpudivá elektrická síla \(\vec{F}_e\) se εr-krát zmenší. Změní se také tahová síla vlákna.

    \[F_G\,=\,mg\] \[F_e\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}\, \frac{Q^2}{r^2} \] \[F_{VZ}\,=\,V \varrho_b g\]

    Výslednice všech čtyř sil musí být opět nulová.

    Opět si vyjádříme tg α, tentokrát ze „zeleného“ trojúhelníka

    \[\mathrm{tg}\, \alpha\,=\,\frac{F_e}{F_G-F_{VZ}}\,=\,\frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}\, \frac{Q^2}{r^2}}{mg-V \varrho_b g} \] \[\mathrm{tg}\, \alpha\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}\, \frac{Q^2}{r^2\left(mg-V \varrho_b g \right)}\tag{**}\]

    Nyní oba vztahy (*) a (**) pro tangens úhlu α porovnáme:

    \[\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \,\frac{Q^2}{mgr^2} \,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}\, \frac{Q^2}{r^2g\left(m-V \varrho_b \right)}\]

    Obě strany rovnice vynásobíme \(4 \pi \varepsilon_0 gr^2\) a vydělíme Q2

    \[\frac{1}{m} \,=\,\frac{1}{ \varepsilon_r}\, \frac{1}{m-V \varrho_b }\,.\]

    Za hmotnost kuličky m můžeme dosadit m = V ρ a dostaneme:

    \[\frac{1}{V\varrho}\, =\,\frac{1}{ \varepsilon_r}\, \frac{1}{V\varrho-V \varrho_b }\]

    Z této rovnice vyjádříme neznámou hustotu kuličky ρ.

    \[\frac{1}{\varrho}\,=\,\frac{1}{ \varepsilon_r}\, \frac{1}{\varrho-\varrho_b }\] \[\varrho\,=\,\varepsilon_r \left(\varrho-\varrho_b \right)\]

    Závorku roznásobíme a členy s neznámou převedeme na levou stranu.

    \[\varepsilon_r \varrho-\varrho\,=\,\varepsilon_r \varrho_b\] \[\varrho \left(\varepsilon_r -1\right)\,=\,\varepsilon_r \varrho_b\] \[\varrho\,=\,\frac{\varrho_b \varepsilon_r }{\varepsilon_r -1}\]
  • Zápis a číselné dosazení

    ρb = 879 kg m−3 hustota benzenu
    εr = 2,3 relativní permitivita benzenu
    ρ = ?  ( kg m−3)hustota kuliček

    \[\varrho\,=\,\frac{\varrho_b \varepsilon_r }{\varepsilon_r -1}\,=\,\frac{2{,}3 \,\cdot\, 879}{2{,}3-1}\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\dot=\,1\,600\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\]

    Podíváme-li se do tabulek, zjistíme, že kuličky jsou nejspíš vyrobeny z nějaké umělé hmoty.

  • Odpověď

    Kuličky jsou vyrobeny z látky o hustotě \(\varrho=\frac{\varrho_b \varepsilon_r }{\varepsilon_r -1}\dot=1\, 600\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\).

  • Odkaz na jednodušší úlohu

    Úloha, ve které jsou kuličky zavěšené pouze na vzduchu, má název Zavěšené nabité kuličky.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Kružík, M. (1984). Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol
(8. vydání). Praha: SPN. 
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007).
×Původní zdroj: Kružík, M. (1984). Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol (8. vydání). Praha: SPN.
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007).
Zaslat komentář k úloze