Vodič v magnetickém poli

Úloha číslo: 41

Vodič délky 5 cm o hmotnosti 50 g je zavěšen na tenkých vodičích. Jestliže jím prochází proud 10 A, vychýlí se v homogenním magnetickém poli o úhel 14° vzhledem ke svislému směru. Odvoďte vztah pro magnetickou indukci.

vodič v magnetickém poli
  • Nápověda

    Uvědomte si, jaké síly působí na vodič s proudem v magnetickém poli. Nakreslete si je do obrázku a určete jejich výslednici.

  • Rozbor

    Nejprve si musíme uvědomit, jaké síly působí na vodič s proudem. Jelikož se vodič nachází v magnetickém poli, působí na něj magnetická síla. Směr síly, určený podle Flemingova pravidla levé ruky, míří doprava. Dále na vodič působí tíhová síla směrem dolů. Výslednice těchto sil udává skutečnou polohu vodiče (viz obrázek).

    Z trojúhelníku s úhlem α určíme pomocí funkce tangens vztah mezi silami a z něho velikost magnetické síly.

    Nakonec určíme magnetickou indukci z velikosti magnetické síly.

    Flemingovo pravidlo levé ruky

    Přiložíme-li k vodiči levou ruku tak, aby natažené prsty ukazovaly směr proudu a magnetické indukční čáry vstupovaly do dlaně, ukazuje odtažený palec směr a orientaci vektoru magnetické síly, která působí na vodič.

    působení sil s výslednicí
  • Řešení

    Na vodič bude působit tíhová síla \(\vec{F}_\mathrm{G}\) a magnetická síla \(\vec{F}_\mathrm{m}\).

    Z trojúhelníku s úhlem α určíme pomocí funkce tangens vztah mezi velikostmi sil FG a Fm.

    \[\mathrm{tg}\alpha=\frac{F_\mathrm{m}}{F_\mathrm{G}}\]

    Vyjádříme si magnetickou sílu Fm

    \[F_\mathrm{m}=F_\mathrm{G} \mathrm{tg}\alpha\tag{1}\]

    Na přímý vodič délky l s proudem I nacházející se v magnetickém poli s indukcí B působí magnetická síla Fm o velikosti

    \[F_\mathrm{m}=BIlsin\beta,\]

    kde β je úhel, který svírá vektor \(\vec{B}\) s vodičem, v našem případě (viz obrázek) platí:

    \[\beta=90^o\,\,\,\Rightarrow\,\,\,sin\beta =1\]

    Vyjádřenou magnetickou sílu \(F_m\) dosadíme do rovnice (1):

    \[BIlsin\beta = F_\mathrm{G} \mathrm{tg}\alpha\mathrm{.}\]

    Z rovnice vyjádříme velikost magnetické indukce \(B.\)

    \[B=\frac{F_\mathrm{G} \mathrm{tg}\alpha}{Il}\]

    Nakonec dosadíme vztah pro velikost tíhové síly FG = mg.

    \[B=\frac{mg \mathrm{tg}\alpha}{Il}\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(l\,=\,5\,\mathrm{cm}=\,0{,}05\,\mathrm{m}\) délka vodiče
    \(m\,=\,50\,\mathrm{g}=\,0{,}05\,\mathrm{kg}\,\,\,\) hmotnost vodiče
    \(I\,=\,10\,\mathrm{A}\) proud tekoucí vodičem
    \(\alpha\,=\,14^{\circ}\) úhel vychýlení vodiče
    \(g\,=\,10\,\mathrm{ms}^{-2}\) tíhové zrychlení
    \(B\,=\,?\,\mathrm{(T)}\) výsledná magnetická indukce

    \[B\,=\,\frac{mg\mathrm{tg}\alpha}{Il}\,=\,\frac{0{,}05{\cdot}10\cdot \mathrm{tg}\, 14^{o}}{10{\cdot}0{,}05}\,\mathrm{T}\, \dot{=}\,0{,}25\,\mathrm{T}\]
  • Odpověď

    Vztah pro magnetickou indukci má tvar

    \[B=\frac{mg\mathrm{tg}\,\alpha}{Il}.\]

    Pro uvedené hodnoty vychází

    \[B\, \dot{=}\,0{,}25\,\mathrm{T}.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Zaslat komentář k úloze