Celková admitance v obvodu

Úloha číslo: 606

Vypočítejte admitanci a efektivní hodnotu proudu v obvodu, který je tvořen paralelním zapojením reálné cívky s indukčností 254 mH a odporem 60 Ω, rezistoru o odporu 50 Ω a ideálního kondenzátoru s kapacitou 127 μF. Střídavé napětí zdroje má efektivní hodnotu 100 V a frekvence napětí je 50 Hz.

schéma pro zadání
  • Zápis

    RL = 60 Ω odpor cívky
    L = 254 mH indukčnost cívky
    R = 50 Ω odpor rezistoru
    C = 127 μF kapacita kondenzátoru
    U = 100 V efektivní hodnota napětí
    f = 50 Hz frekvence napětí zdroje
    Y = ? (S) celková admitance obvodu
    I = ? (A) efektivní hodnota proudu
  • Nápověda – co je to admitance

    Admitance Y obvodu vyjadřuje zdánlivou vodivost obvodu a fázový posun mezi napětím a proudem při průběhu harmonického střídavého napětí. Získáme ji jako převrácenou hodnotu impedance Z obvodu.

    Jednotkou admitance je stejně jako u vodivosti v případě stejnosměrného proudu siemens (značíme S, [Y] = S).

    Admitanci zavádíme pro snazší výpočty u paralelních obvodů. Protože zatímco v sériových obvodech získáme celkovou impedanci jako součet impedancí dílčích (jedná se o vektorový součet), tak naopak v paralelních obvodech získáme celkovou admitanci jako součet dílčích admitancí (opět vektorový součet) a Ohmův zákon potom nabývá tvaru:

    \[ I = U Y .\]
  • Rozbor

    Jelikož je obvod paralelní, tak celkovou admitanci obvodu získáme jako součet dílčích admitancí reálné cívky, rezistoru a kondenzátoru.

    Efektivní hodnotu proudu získáme pomocí Ohmova zákona pro střídavý proud, ve kterém vystupuje admitance.

  • Řešení pomocí komplexní symboliky

    Pozn.: Komplexní jednotku budeme označovat j. Komplexní veličiny budeme značit pruhem.

    Celkovou admitanci Y obvodu získáme jako součet admitancí jednotlivých větví, které lze vyjádřit jako převrácené hodnoty jejich impedancí.

    1) Admitance reálné cívky \(\bar{Y}_L\):

    Pro impedanci cívky \(\bar{Z}_L \) platí:

    \[ \bar{Z}_L = R_L + X_L\mathrm{j} = R_L + \omega L\, \mathrm{j}= R_L + 2 \pi f L\, \mathrm{j},\]

    kde RL je odpor cívky, XL  induktance cívky a ω úhlová frekvence napětí v obvodu. Admitanci cívky \(\bar{Y}_L\) získáme jako převrácenou hodnotu její impedance \(\bar{Z}_L \):

    \[ \bar{Y}_L = \frac{1}{\bar{Z}_L} = \frac{1}{R_L + 2 \pi f L\,\mathrm{j}} =\] \[=\frac{1}{R_L + 2 \pi f L\, \mathrm{j}}\ \frac{ R_L - 2 \pi f L\, \mathrm{j}}{R_L - 2 \pi f L \,\mathrm{j}} = \frac{ R_L - 2 \pi f L\, \mathrm{j}}{R_L^2 + (2 \pi f L)^2}=\frac{ R_L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2 }- \frac{2 \pi f L}{R_L^2 + (2 \pi f L)^2} \mathrm{j}.\]

    2) Pro impedanci rezistoru \( \bar{Z}_R \) platí:

    \[ \bar{Z}_R = R, \]

    kde R je jeho odpor. Admitanci rezistoru \( \bar{Y}_R \) získáme jako převrácenou hodnotu jeho impedance \( \bar{Z}_R \):

    \[ \bar{Y}_R = \frac{1}{\bar{Z}_R} =\frac{1}{R}.\]

    3) Impedance kondenzátoru \( \bar{Z}_C \) se rovná jeho kapacitanci XC, pro kterou platí:

    \[ \bar{Z}_C =- X_C \mathrm{j} = - \frac{\mathrm{j}}{\omega C}= - \frac{\mathrm{j}}{2 \pi f C},\]

    kde ω je úhlová frekvence. Admitanci kondenzátoru \( \bar{Y}_C \) získáme také jako převrácenou hodnotu jeho impedance \( \bar{Z}_C \):

    \[ \bar{Y}_C = \frac{1}{\bar{Z}_C} = \frac{1}{- \frac{\mathrm{j}}{2 \pi f C} } = 2 \pi f C\, \mathrm{j}. \]

     

    Celkovou admitanci \(\bar{Y}\) získáme jako součet admitancí jednotlivých větví:

    \[\bar{Y} = \bar{Y}_L + \bar{Y}_R + \bar{Y}_C =\] \[= \frac{ R_L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2 }- \frac{2 \pi f L}{R_L^2 + (2 \pi f L)^2} \mathrm{j} + \frac{1}{R} + 2 \pi f C\, \mathrm{j}=\] \[= (\frac{ R_L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2}+ \frac{1}{R}) +(2 \pi f C-\frac{2 \pi f L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2} )\,\mathrm{j}.\]

    Velikost celkové admitance Y určíme jako absolutní hodnotu komplexní admitance:

    \[Y = |\bar{Y}|= | (\frac{ R_L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2}+ \frac{1}{R}) +(2 \pi f C-\frac{2 \pi f L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2} )\,\mathrm{j}|= \] \[ = \sqrt{ ( \frac{1}{R}+\frac{ R_L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2})^2 +(2 \pi f C-\frac{2 \pi f L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2} )^2}. \]

    Dosadíme číselně do vztahu pro admitanci Y:

    \[Y = \sqrt{ (\frac{ R_L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2}+ \frac{1}{R})^2 +(2 \pi f C-\frac{2 \pi f L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2} )^2}= \] \[=\sqrt{( \frac{ 60 }{60^2 + (2\cdot \pi \cdot 50 {\cdot} 254 \cdot 10^{-3})^2} + \frac{1}{50})^2 + ( 2 \cdot\pi \cdot 50 {\cdot} 127 \cdot 10^{-6} - \frac{2 \cdot \pi \cdot 50 {\cdot} 254 \cdot 10^{-3} }{60^2 + (2\cdot \pi \cdot 50 {\cdot} 254 \cdot 10^{-3})^2})^2} \,\mathrm S \,\dot=\] \[\dot= \,\sqrt{(\frac{ 60 }{60^2 + 80^2} + 0{,}02 )^2 + ( 0{,}04-\frac{ 80 }{60^2 + 80^2})^2}\,\mathrm S = \sqrt{0{,}026^2 + 0{,}032^2}\,\mathrm S \,\dot=\, 41{\cdot} 10^{-3} \,\mathrm S= 41\,\mathrm{mS}.\]

    Efektivní hodnotu proudu I v obvodu určíme pomocí Ohmova zákona pro střídavý proud. Použijeme variantu, ve které vystupují efektivní hodnoty napětí U a proudu I a velikost celkové impedance Z, resp. admitance Y:

    \[ I = \frac{U}{Z} = U Y. \]

    Dosadíme za admitanci:

    \[ I = U Y = U\,|\bar{Y}| \,\dot{=}\, 100 {\cdot} 41\cdot 10^{-3} \,\mathrm A = 4{,}1\,\mathrm A. \]
  • Řešení pomocí fázorů

    Protože se jedná o paralelní obvod, celkovou admitanci Y obvodu získáme jako fázorový součet admitancí jednotlivých větví obvodu, tj. reálné cívky, rezistoru a kondenzátoru. Vše si znázorníme pomocí diagramu pro admitance, ve kterém zohledníme také fázový posun mezi napětím a proudem na jednotlivých součástkách.

     

    a) Admitance reálné cívky YL:

    Admitanci reálné cívky YL získáme jako převrácenou hodnotu její impedance ZL.

    Impedanci reálné cívky ZL získáme z diagramu pro sériové zapojení induktance cívky XL a odporu cívky RL.

    diagram pro impedance reálné cívky

    Impedanci reálné cívky ZL vyjádříme z diagramu a dosadíme číselné hodnoty:

    \[ Z_L = \sqrt{ R_L^2 + Z_L^2 }= \sqrt{ R_L^2 + (\omega L)^2 }= \sqrt{ R_L^2 + (2 \pi f L)^2 }= \] \[ = \sqrt{60^2 + (2\cdot \pi \cdot 50 {\cdot} 254 \cdot 10^{-3})^2 }\,\mathrm \Omega\dot= \sqrt {60^2 + 80^2}= 100\,\mathrm \Omega. \]

    Admitanci reálné cívky YL dostaneme jako převrácenou hodnotu impedance ZL:

    \[ Y_L = \frac{1}{Z_L} = \frac{1}{100} \,\mathrm S = 0{,}01 \,\mathrm S. \]

    Fázový posun φ mezi napětím a proudem vyjádříme ze stejného diagramu jako celkovou impedanci:

    \[ \mathrm{tg}\,\varphi = \frac{X_L}{R_L}=\frac{\omega L}{R_L}=\frac{2 \pi f L}{R_L}=\frac{2\cdot \pi \cdot 50 {\cdot} 254 \cdot 10^{-3}}{60}\,\dot=\, \frac{80}{60}\,\dot=\,1{,}3 \qquad \Rightarrow \qquad \varphi = 53 ^\circ. \]

    Také si uvědomíme, že na cívce předbíhá napětí proud.

    b) Admitance rezistoru YR:

    Admitanci rezistoru YR získáme jako převrácenou hodnotu odporu rezistoru R:

    \[ Y_R = \frac{1}{R} = \frac{1}{50}\,\mathrm S = 0{,}02 \,\mathrm S \]

    Na rezistoru je napětí a proud ve fázi.

    c) Admitance kondenzátoru YC:

    Admitanci kondenzátoru YC získáme jako převrácenou hodnotu impedance, resp. kapacitance kondenzátoru XC:

    \[ Y_C = \frac{1}{X_C} = \frac{1}{\frac{1}{\omega C}}= \frac{1}{\frac{1}{2 \pi f C}}=2 \pi f C= 2 \cdot \pi \cdot 50 {\cdot} 127\cdot 10^{-6}\,\mathrm S \,\dot=\, 0{,}04 \,\mathrm S \]

    Na kondenzátoru předbíhá proud napětí.

     

    Celkovou admitanci Y získáme z fázorového diagramu. Protože se jedná o paralelní zapojení, je napětí na všech součástkách připojených v obvodu stejné, ale proudy se liší a mohou být vůči sobě i fázově posunuty. Proto je v následujícím diagramu zakresleno jediné napětí, ale tři různé proudy danými větvemi zapojení.

    fázorový diagram

    Pozn.: Velikosti fázorů v tomto i v následujících diagramech nejsou z důvodu názornosti obrázků v poměru k zadaným hodnotám.

    Protože z Ohmova zákona platí:

    \[ I = \frac{U}{Z}= \frac{U}{\frac{1}{Y}}= U Y \]

    a pro paralelní obvod je napětí na všech součástkách stejné, můžeme si fázorový diagram překreslit na diagram pro admitance:

    diagram pro admitance

    Celkovou admitanci obvodu získáme součtem všech tří admitancí, proto si nejprve rozložíme admitanci cívky YL do svislého a vodorovného směru:

    rozklad admitance cívky do svislého a vodorovného směru

    Pozn.: Tento krok není nutný, ale ulehčí nám výpočet, protože nebude třeba použít ko\sinovou větu, ale vystačíme si s jednodušší větou Pythagorovou.

    Nyní budeme admitance sčítat jako vektory:

    výsledek - celková admitance obvodu

    Vyjádříme z diagramu celkovou admitanci Y:

    \[ Y = \sqrt{ (Y_R + Y_L\,\cos\,\varphi)^2 + (Y_C - Y_L\,\sin\,\varphi)^2 } .\]

    Dosadíme číselné hodnoty admitancí a vypočteme:

    \[ Y = \sqrt{ (0{,}02 + 0{,}01 \cdot \cos\,53^\circ )^2 + (0{,}04 - 0{,}01\cdot \sin\,53^\circ)^2 }\,\mathrm S = 0{,}041\,\mathrm S = 41{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm S=41\,\mathrm{mS} .\]

    Efektivní hodnotu proudu I v obvodu určíme pomocí Ohmova zákona pro střídavý proud, ve kterém vystupuje celková admitance obvodu Y:

    \[ I = \frac{U}{Z}= \frac{U}{\frac{1}{Y}}= U Y, \]

    kde U je efektivní hodnota napětí. Dosadíme číselně:

    \[ I = 100 {\cdot} 0{,}041 \,\mathrm A = 4{,}1\,\mathrm A. \]
  • Odpověď

    Celková admitance obvodu má hodnotu přibližně 41 mS a efektivní hodnota proudu je asi 4,1 A.

  • Porovnání výsledků získaných pomocí řešení s komplexní symbolikou a řešení pomocí diagramu pro admitance

    Celková impedance odvozená pomocí komplexní symboliky:

    \[Y_K = \sqrt{ ( \frac{1}{R}+\frac{ R_L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2})^2 +(2 \pi f C-\frac{2 \pi f L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2} )^2}. \]

    Celková impedance odvozená pomocí diagramu pro admitance:

    \[ Y_F = \sqrt{ (\frac{1}{R} + Y_L\cos{\varphi})^2 + (2 \pi f C- Y_L\sin{\varphi})^2 } .\]

    Při porovnání výše uvedených vztahů dojdeme k závěru, že pokud mají být vztahy rovnocenné je třeba dokázat, že platí:

    \[ \frac{ R_L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2} = Y_L\cos{\varphi},\] \[ \frac{2 \pi f L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2}= Y_L\sin{\varphi}.\]
    diagram pro impedance reálné cívky

    Nejprve dokážeme, že:

    \[ \frac{ R_L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2} = Y_L\cos{\varphi}.\]

    Z diagramu pro admitance platí:

    \[ \sin{\varphi} = \frac{X_L}{Z_L}, \] \[ \cos{\varphi} = \frac{R_L}{Z_L}. \]

    Admitanci cívky YL lze vyjádřit ve tvaru:

    \[ Y_L = \frac{1}{Z_L} = \frac{1}{\sqrt{R_L^2+X_L^2}}.\]

    Nyní dosadíme do výrazu s kosínem:

    \[ Y_L\cos{\varphi} = \frac{1}{Z_L}\cos{\varphi}=\frac{R_L}{Z_L^2}=\frac{R_L}{R_L^2+X_L^2}=\frac{R_L}{R_L^2+(2\pi f L)^2}\]

    a vidíme, že jsme dokázali požadovanou rovnost.


    Nyní dokážeme druhou rovnost:

    \[ \frac{2 \pi f L }{R_L^2 + (2 \pi f L)^2}= Y_L\sin{\varphi}.\]

    Potřebné vztahy máme již vyjádené výše, dosadíme je do výrazu se sínem:

    \[Y_L\sin{\varphi} = \frac{1}{Z_L}\sin{\varphi}=\frac{X_L}{Z_L^2}=\frac{X_L}{R_L^2+X_L^2}=\frac{2 \pi f L}{R_L^2+(2\pi f L)^2}\]

    a opět dostáváme hledanou rovnost.


    Závěr: Dokázali jsme, že řešení pomocí komplexní symboliky a řešení pomocí diagramů pro admitance jsou stejná.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze