Sbírka řešených úloh

Hliníkový kotouč v proměnném magnetickém poli

Úloha číslo: 791

• Nápověda 1

  Uvědomte si, jak bude kotouč reagovat na proměnné magnetické pole, do kterého je vložen.

• Indukované elektrické pole v kotouči

  Proměnné magnetické pole indukuje elektrické pole. Jestliže do tohoto pole vložíme vodivý kotouč, toto elektrické pole má za následek vznik indukovaného elektrického proudu v kotouči, který podle Lenzova zákona svým magnetickým polem působí proti změně, která tento proud vyvolala, tedy proti změnám vnějšího proměnného magnetického pole.

  Indukovaný proud v daném kotouči patří mezi Foucaltovy vířivé proudy.

  Pro určitý časový okamžik můžeme indukované elektrické pole znázornit tak, jak je zakresleno na obrázku:

  

• Nápověda 2

  Kotouč můžeme rozdělit na malé prstence. V každém prstenci určíme velikost indukovaného elektrického pole, pomocí kterého určíme velikost indukovaného proudu v tom daném prstenci. Celkový indukovaný proud protékající kotoučem získáme jako součet proudů v jednotlivých prstencích.

• Nápověda 3

  Podle Ohmova zákona v diferenciálním tvaru je proudová hustota úměrná intenzitě elektrického pole. Elektrické pole v kotouči vzniká elektromagnetickou indukcí, tedy intenzitu indukovaného elektrického pole, resp. indukované napětí odvodíme pomocí Faradayova zákona elektromagnetické indukce.

• Ohmův zákon v dif. tvaru

  Ohmův zákon v diferenciálním tvaru:

  $$j = \gamma E_i,$$

  kde j je proudová hustota náboje, γ měrná elektrická vodivost (tzv. konduktivita) a E_i je intenzita elektrického pole na dané plošce dS.

• Faradayův zákon v integrálním tvaru

  Faradayův zákon v integrálním tvaru můžeme použít k odvození velikosti indukovaného elektrického pole E_i:

  $$\int_\mathrm{c} E_\mathrm{i} \mathrm{d}l = -\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}t},$$

  kde c je uzavřená křivka, l délka této křivky a $\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}t}$ změna magnetického indukčního toku Φ v čase t.

  V tomto výrazu je integrál $\int_\mathrm{c} E_\mathrm{i} \mathrm{d}l$ roven velikosti indukovaného napětí U_i. Tedy můžeme psát:

  $$U_\mathrm{i} = \int_\mathrm{c} E_\mathrm{i} \mathrm{d}l = -\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}t}.$$

• Rozbor

  Velikost amplitudy proudu indukovaného v kotouči odvodíme z časového průběhu indukovaného proudu. Pro odvození rovnice časového průběhu proudu je třeba kotouč rozdělit na elementární prstence a celkový indukovaný proud poté získáme pomocí integrace proudové hustoty přes celou plochu kotouče.

  Amplitudu výkonu tohoto proudu odvodíme pomocí celkového výkonu, který získáme integrací jednotlivých elementů výkonu, které připadají na jednotlivé části prstence.

• Řešení – maximální hodnota proudu

  Celkový indukovaný proud I v kotouči získáme integrací hustoty elektrického proudu j přes plochu, kterou proud prochází:

  $$I = \int_\mathrm{S} j \mathrm{d}S,$$

  kde dS je element plochy obdélníku (poloviny průřezu kotouče). Hustota elektrického proudu j nemusí být na celé ploše S stejná, proto je nutné integrovat.

  Proudovou hustotu j vyjádříme pomocí Ohmova zákona v diferenciálním tvaru:

  $$j = \gamma E_\mathrm{i},$$

  kde γ je měrná elektrická vodivost (tzv. konduktivita) a E_i je intenzita elektrického pole na dané plošce dS.

  Pro intenzitu elektrického pole E_i platí v případě homogenního pole vztah:

  $$E_\mathrm{i}= \frac{U_\mathrm{i}}{d},$$

  kde d je vzdálenost a U_i velikost indukovaného napětí na dané vzdálenosti. V této úloze ale nemáme homogenní pole.

  

  Uvažujeme úzký prstenec o poloměru r a šířce dr a určíme elektrické pole indukované v tomto prstenci. Podle Faradayova zákona elektromagnetické indukce platí:

  $$U_\mathrm{i} = - \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm {d}t},$$

  kde U_i je indukované napětí v prstenci a Φ magnetický indukční tok. Dále můžeme psát:

  $$U_\mathrm{i} = - \frac{\mathrm{d} (B S)}{\mathrm {d}t},$$

  kde B je magnetická indukce a S je plocha prstence. Plocha S uvnitř prstence je konstantní, tedy:

  $$U_\mathrm{i} =- S \frac{\mathrm{d} B}{\mathrm {d}t}=- \pi r^2 \frac{\mathrm{d} B}{\mathrm {d}t}.$$

  Dosadíme ze zadání za magnetickou indukci B = B_m cos ωt a dostaneme:

  $$U_\mathrm{i} = - \pi r^2 \, \frac{\mathrm{d} [B_\mathrm{m} \cos {(\omega t)}]}{\mathrm {d}t} = - \pi r^2 \omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t).$$

  Tím jsme získali indukované napětí v celém prstenci. Protože ale pole podél celého prstence je stejné (situace je symetrická), můžeme velikost intenzity elektrického pole spočítat obdobně ve výše uvedeném případě homogenního pole. Pro intenzitu elektrického pole tedy získáme vztah:

  $$E_\mathrm{i}= \frac{U_\mathrm{i}}{d} = \frac{U_\mathrm{i}}{2 \pi r}= \frac{ \pi r^2 \omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t)}{2 \pi r}=\frac{r}{2}\omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t).$$

  kam jsme za délku d dosadili „délku“ prstence 2πr.

   

  Pomocí výše odvozených vztahů můžeme pro hustotu elektrického proudu j psát:

  $$j = \gamma \frac{ r}{2}\omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t).$$

  

  S využitím faktu, že uvažovaný prstenec má obdélníkový průřez o plošném obsahu dS = h dr, můžeme pro celkový proud indukovaný v kotouči psát:

  $$I = \int_\mathrm{S} j \mathrm{d}S = \int_0^\mathrm{r_0} j h \mathrm{d}r= \int_0^\mathrm{r_0} \gamma \frac{ r}{2}\omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t) h \mathrm{d}r.$$

  Výraz zintegrujeme a upravíme:

  $$I = \frac{ \gamma \omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t) h} {2}\, \int_0^\mathrm{r_0} r \mathrm{d}r= \frac{ \gamma \omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t) h} {2}\, \left[ \frac{r^2}{2}\right]_0^\mathrm{r_0} = \frac{ \gamma \omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t) h} {4}\, r^2_0= \frac{ \gamma \omega B_\mathrm{m} h r^2_0 } {4}\, \sin (\omega t).$$

  Pro časový průběh proudu I platí obecný vztah:

  $$I = I_\mathrm{m} \,\sin (\omega t),$$

  kde I_m je amplituda proudu, která má v tomto případě velikost:

  $$I_\mathrm{m} = \frac{ \gamma \omega B_\mathrm{m} h r^2_0 } {4}.$$

• Řešení – maximální hodnota výkonu

  Celkový výkon P spočítáme podobně jako celkový proud I v předchozím oddíle, tedy integrací příspěvků dP jednotlivých prstenců, na které si celý kotouč rozdělíme.

  Element výkonu dP proudu indukovaného v prstenci určíme ze vztahu:

  $$\mathrm{d}P=\frac{U_\mathrm{i}^2}{\mathrm{d}R},$$

  kde dR je odpor tohoto prstence, který lze vypočítat jako:

  $$\mathrm{d}R=\frac{l}{\gamma \mathrm{d}S} = \frac{2 \pi r}{\gamma h \mathrm{d}r} ,$$

  kde l je délka (= obvod) elementárního prstence, γ je vodivost hliníkového prstence, dS = hdr plošný obsah obdélníkového průřezu prstence, h tloušťka prstence a dr je šířka prstence.

  Pro indukované napětí U_i jsme v předchozím oddíle odvodili vztah:

  $$U_\mathrm{i} = - \pi r^2 \omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t).$$

  Dosadíme do výrazu pro element výkonu dP a upravíme:

  $$\mathrm{d}P=\frac{U_\mathrm{i}^2}{\mathrm{d}R}= \frac{\left[- \pi r^2 \omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t)\right]^2}{\frac{2 \pi r}{\gamma h \mathrm{d}r}}= \frac{\pi}{2} \left[\omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t)\right]^2 \, \gamma h r^3\, \mathrm{d}r.$$

  Integrujeme přes celý kotouč:

  $$P = \int \mathrm{d}P = \int_0^\mathrm{r_0} \frac{\pi}{2} \left[\omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t)\right]^2 \, \gamma h r^3\, \mathrm{d}r=\frac{\pi}{2} \left[\omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t)\right]^2 \, \gamma h \int_0^\mathrm{r_0} r^3\, \mathrm{d}r=$$ $$= \pi \left[\omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t)\right]^2 \, \gamma h \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^\mathrm{r_0}= \frac{\pi}{2} \left[\omega B_\mathrm{m} \sin (\omega t)\right]^2 \, \gamma h \frac{r_0^4}{4}= \frac{ \pi \left[\omega B_\mathrm{m} \right]^2 \, \gamma h r_0^4}{8} \sin^2 (\omega t).$$

  Maximální výkon P_m můžeme vyjádřit pomocí vztahu:

  $$P = P_\mathrm{m} \sin^2\left(\omega t\right),$$ $$P_\mathrm{m}= \frac{ \pi \left[\omega B_\mathrm{m} \right]^2 \, \gamma h r_0^4}{8}.$$

• Zápis a číselné dosazení

  r0 = 40 mm	poloměr hliníkového kotouče
  h = 1 mm	tloušťka hliníkového kotouče
  B = Bmcos(ωt)	závislost magnetické indukce v kotouči na čase
  Bm = 30 mT	maximální hodnota magnetické indukce v kotouči
  ω = 100π rad/s	úhlová frekvence otáčení kotouče
  Im = ? (A)	maximální hodnota indukovaného proudu v kotouči
  Pm = ? (W)	maximální hodnota výkonu v kotouči
  Z tabulek:
  γ = 3,7·107 Ω-1m-1	konduktivita hliníku

  ---

  $$I_\mathrm{m} = \frac{ \gamma \omega B_\mathrm{m} h r^2_0 } {4}= \frac{ 3{,}7 {\cdot} 10^{-7} \cdot 100 \cdot \pi 30 {\cdot} 10^{-3} \cdot 0{,}001 {\cdot} 0{,}04^2} {4}\,\dot=\, 140\,\mathrm A.$$

  $$P_\mathrm{m}= \frac{ \pi [\omega B_\mathrm{m} ]^2 \, \gamma h r_0^4}{8}=\frac{ \pi \cdot[100 \cdot \pi \cdot 30 {\cdot} 10^{-3} ]^2 {\cdot} 3{,}7 {\cdot} 10^{-7} \cdot 0{,}001 {\cdot} 0{,}04^4}{8} \,\dot=\, 330\,\mathrm W.$$

• Odpověď

  Indukovaný proud v kotouči dosahuje maximální hodnoty přibližně 140 A a jeho maximální výkon je asi 330 W.