Hliníkový kotouč v proměnném magnetickém poli

Úloha číslo: 791

Hliníkový kotouč o poloměru 40 mm a tloušče 1 mm vložíme do proměnného magnetického pole, jehož indukční čáry jsou kolmé k rovině kotouče. Závislost magnetické indukce na čase určuje vztah B = Bm cos (ωt), kde amplituda magnetické indukce Bm je 30 mT a úhlová frekvence ω = 100π rad/s.

Určete amplitudu proudu indukovaného v kotouči a amplitudu jeho výkonu.

Pozn.: Průřez hliníkového kotouče má obdélníkový tvar.

  • Nápověda 1

    Uvědomte si, jak bude kotouč reagovat na proměnné magnetické pole, do kterého je vložen.

  • Nápověda 2

    Kotouč můžeme rozdělit na malé prstence. V každém prstenci určíme velikost indukovaného elektrického pole, pomocí kterého určíme velikost indukovaného proudu v tom daném prstenci. Celkový indukovaný proud protékající kotoučem získáme jako součet proudů v jednotlivých prstencích.

  • Nápověda 3

    Podle Ohmova zákona v diferenciálním tvaru je proudová hustota úměrná intenzitě elektrického pole. Elektrické pole v kotouči vzniká elektromagnetickou indukcí, tedy intenzitu indukovaného elektrického pole, resp. indukované napětí odvodíme pomocí Faradayova zákona elektromagnetické indukce.

  • Rozbor

    Velikost amplitudy proudu indukovaného v kotouči odvodíme z časového průběhu indukovaného proudu. Pro odvození rovnice časového průběhu proudu je třeba kotouč rozdělit na elementární prstence a celkový indukovaný proud poté získáme pomocí integrace proudové hustoty přes celou plochu kotouče.

    Amplitudu výkonu tohoto proudu odvodíme pomocí celkového výkonu, který získáme integrací jednotlivých elementů výkonu, které připadají na jendotlivé části prstence.

  • Řešení – maximální hodnota proudu

    Celkový indukovaný proud I v kotouči získáme integrací hustoty elektrického proudu j přes plochu, kterou proud prochází:

    \[ I = \int_S j \mathrm{d}S, \]

    kde dS je element plochy obdélníku (poloviny průřezu kotouče). Hustota elektrického proudu j nemusí být na celé ploše S stejná, proto je nutné integrovat.

    Proudovou hustotu j vyjádříme pomocí Ohmova zákona v diferenciálním tvaru:

    \[ j = \gamma E_i, \]

    kde γ je měrná elektrická vodivost (tzv. konduktivita) a Ei je intenzita elektrického pole na dané plošce dS.

    Pro intenzitu elektrického pole Ei platí v případě homogenního pole vztah:

    \[ E_i= \frac{U_i}{d},\]

    kde d je vzdálenost a Ui velikost indukovaného napětí na dané vzdálenosti.V této úloze ale nemáme homogenní pole.

    vytknutý element plochy

    Uvažujeme úzký prstenec o poloměru r a šířce dr a určeme elektrické pole indukované v tomto prstenci. Podle Faradayova zákona elektromagnetické indukce platí:

    \[ U_i = - \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm {d}t},\]

    kde Ui je indukované napětí v prstenci a Φ magnetický indukční tok. Dále můžeme psát:

    \[U_i = - \frac{\mathrm{d} (B S)}{\mathrm {d}t}, \]

    kde B je magnetická indkuce a S je plocha prstence. Plocha S uvnitř prstence je konstatní, tedy:

    \[U_i =- S \frac{\mathrm{d} B}{\mathrm {d}t}=- \pi r^2 \frac{\mathrm{d} B}{\mathrm {d}t}. \]

    Dosadíme ze zadání za magnetickou indukci B = Bm cos ωt a dostaneme:

    \[U_i = - \pi r^2 \, \frac{\mathrm{d} [B_m \cos {(\omega t)}]}{\mathrm {d}t} = - \pi r^2 \omega B_m \sin (\omega t). \]

    Tím jsme získali indukované napětí v celém prstenci. Protože ale pole podél celého prstence je stejné (situace je symetrická), můžeme velikost intenzity elektrického pole spočítat obdobně ve výše uvedeném případě homogenního pole. Pro intenzitu elektrického pole tedy získáme vztah:

    \[ E_i= \frac{U_i}{d} = \frac{U_i}{2 \pi r}= \frac{ \pi r^2 \omega B_m \sin (\omega t)}{2 \pi r}=\frac{r}{2}\omega B_m \sin (\omega t).\]

    kam jsme za délku d dosadili „délku“ prstence 2πr.

     

    Pomocí výše odvozených vztahů můžeme pro hustotu elektrického proudu j psát:

    \[ j = \gamma \frac{ r}{2}\omega B_m \sin (\omega t). \]
    vytknutý element plochy

    S využitím faktu, že uvažovaný prstenec má obdélníkový průřez o plošném obsahu dS = h dr, můžeme pro celkový proud indukovaný v kotouči psát:

    \[ I = \int_S j \mathrm{d}S = \int_0^{r_0} j h \mathrm{d}r= \int_0^{r_0} \gamma \frac{ r}{2}\omega B_m \sin (\omega t) h \mathrm{d}r.\]

    Výraz zintegrujeme a upravíme:

    \[ I = \frac{ \gamma \omega B_m \sin (\omega t) h} {2}\, \int_0^{r_0} r \mathrm{d}r= \frac{ \gamma \omega B_m \sin (\omega t) h} {2}\, \left[ \frac{r^2}{2}\right]_0^{r_0} = \frac{ \gamma \omega B_m \sin (\omega t) h} {4}\, r^2_0= \frac{ \gamma \omega B_m h r^2_0 } {4}\, \sin (\omega t). \]

    Pro časový průběh proudu I platí obecný vztah

    \[ I = I_{m} \,\sin (\omega t), \]

    kde Im je amplituda proudu, která má v tomto případě velikost:

    \[I_{m} = \frac{ \gamma \omega B_m h r^2_0 } {4}. \]
  • Řešení – maximální hodnota výkonu

    Celkový výkon P spočítáme podobně jako celkový proud I v předchozím oddíle, tedy integrací příspěvků dP jednotlivých prstenců, na které si celý kotouč rozdělíme.

    Element výkonu dP proudu indukovaného v prstenci určíme ze vztahu:

    \[ \mathrm{d}P=\frac{U_i^2}{\mathrm{d}R},\]

    kde dR je odpor tohoto prstence, který lze vypočítat jako:

    \[ \mathrm{d}R=\frac{l}{\gamma \mathrm{d}S} = \frac{2 \pi r}{\gamma h \mathrm{d}r} , \]

    kde l je délka (= obvod) elementárního prstence, γ je vodivost hliníkového prstence, dS = hdr plošný obsah obdélníkového průřezu prstence, h tloušťka prstence a dr je šíka prstence.

    Pro indukované napětí Ui jsme v předchozím oddíle odvodili vztah:

    \[U_i = - \pi r^2 \omega B_m \sin (\omega t). \]

    Dosadíme do výrazu pro element výkonu dP a upravíme:

    \[ \mathrm{d}P=\frac{U_i^2}{\mathrm{d}R}= \frac{\left[- \pi r^2 \omega B_m \sin (\omega t)\right]^2}{\frac{2 \pi r}{\gamma h \mathrm{d}r}}= \frac{\pi}{2} \left[\omega B_m \sin (\omega t)\right]^2 \, \gamma h r^3\, \mathrm{d}r.\]

    Integrujeme přes celý kotouč:

    \[ P = \int \mathrm{d}P = \int_0^{r_0} \frac{\pi}{2} \left[\omega B_m \sin (\omega t)\right]^2 \, \gamma h r^3\, \mathrm{d}r=\frac{\pi}{2} \left[\omega B_m \sin (\omega t)\right]^2 \, \gamma h \int_0^{r_0} r^3\, \mathrm{d}r= \] \[= \pi \left[\omega B_m \sin (\omega t)\right]^2 \, \gamma h \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{r_0}= \frac{\pi}{2} \left[\omega B_m \sin (\omega t)\right]^2 \, \gamma h \frac{r_0^4}{4}= \frac{ \pi \left[\omega B_m \right]^2 \, \gamma h r_0^4}{8} \sin^2 (\omega t). \]

    Maximální výkon Pm můžeme vyjádřit pomocí vztahu:

    \[ P = P_{m} \sin^2\left(\omega t\right), \] \[ P_{m}= \frac{ \pi \left[\omega B_m \right]^2 \, \gamma h r_0^4}{8}. \]
  • Zápis a číselné dosazení

    r0 = 40 mm poloměr hliníkového kotouče
    h = 1 mm tloušťka hliníkového kotouče
    B = Bmcos(ωt) závislost magnetické indukce v kotouči na čase
    Bm = 30 mT maximální hodnota magnetické indukce v kotouči
    ω = 100π rad/s úhlová frekvence otáčení kotouče
    Im = ? (A) maximální hodnota indukovaného proudu v kotouči
    Pm = ? (W) maximální hodnota výkonu v kotouči
    Z tabulek:

    γ = 3,7·107 Ω-1m-1

    konduktivita hliníku

    \[I_{m} = \frac{ \gamma \omega B_m h r^2_0 } {4}= \frac{ 3{,}7 {\cdot} 10^{-7} \cdot 100 \cdot \pi 30 {\cdot} 10^{-3} \cdot 0{,}001 {\cdot} 0{,}04^2} {4}\,\dot=\, 140\,\mathrm A. \]

    \[ P_{m}= \frac{ \pi [\omega B_m ]^2 \, \gamma h r_0^4}{8}=\frac{ \pi \cdot[100 \cdot \pi \cdot 30 {\cdot} 10^{-3} ]^2 {\cdot} 3{,}7 {\cdot} 10^{-7} \cdot 0{,}001 {\cdot} 0{,}04^4}{8} \,\dot=\, 330\,\mathrm W. \]

  • Odpověď

    Indukovaný proud v kotouči dosahuje maximální hodnoty přibližně 140 A a jeho maximální výkon je asi 330 W.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze