Okamžité hodnoty napětí a proudu v sériovém RLC obvodu

Úloha číslo: 77

Sériový obvod střídavého proudu je tvořen rezistorem o odporu 90 Ω, cívkou o indukčnosti 1,3 H a kondenzátorem o kapacitě 10 μF. Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí o amplitudě 100 V a frekvenci 50 Hz. Napište rovnice pro okamžité hodnoty napětí a proudu v obvodu, jestliže počáteční fáze proudu je nulová.

schéma zapojení
  • Zápis

    Ze zadání si vypíšeme veličiny, které známe:

    Amplituda zdroje střídavého napětí v obvodu    Um = 100 V
    Frekvence zdroje střídavého napětí   f  = 50 Hz
    Odpor rezistoru R = 90 Ω
    Indukčnost cívky L = 1,3 H
    Kapacita kondenzátoru C = 10 μF
    Počáteční fáze proudu φ0i = 0

    Veličiny, které chceme určit:

    Okamžitá hodnota proudu  i(t) = ? (A)
    Okamžitá hodnota napětí  u(t) = ? (V)

  • Nápověda 1

    Průběh střídavého proudu a střídavého napětí lze popsat pomocí funkce sinus.

    Vyhledejte si rovnice, kterými popisujeme okamžité hodnoty střídavého napětí a proudu.

  • Nápověda 2

    Pro vyčíslení hledaných rovnic potřebujeme znát amplitudu proudu Im a fázový posun mezi napětím a proudem φ0u. K jejich určení použijeme Ohmův zákon pro střídavý proud.

    V úloze Sériový RLC obvod najdete podrobné vysvětlení výpočtu proudu a odvození fázového posunu.

  • Vyjádření amplitudy proudu Im

    Použijeme Ohmův zákon pro obvod se střídavým proudem:

    \[I_m=\frac{U_m}{Z}=\frac{U_m}{\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}}=\frac{U_m}{\sqrt{R^2+\left(2 \pi f L - \frac{1}{2 \pi f C}\right)^2}} \]

    Číselné vyjádření:

    \[I_m=\frac{100}{\sqrt{90^2+\left(2 \pi \cdot 50 {\cdot} 1{,}3 - \frac{1}{2 \pi \cdot 50 {\cdot} 10 \cdot 10^{-6}}\right)^2}} \, \mathrm{A} \] \[I_m \,\dot{=}\, 0{,}79 \, \mathrm{A}\]
  • Vyjádření fázového posunu mezi napětím a proudem φ0u

    Použijeme vzorec pro vyjádření fázového posunu pomocí impedancí jednotlivých prvků.

    \[ \mathrm{tg\,} \varphi_{0u} = \frac{X_L - X_C}{R}= \frac{\omega L- \frac{1}{ \omega C}}{R}= \frac{2 \pi f L- \frac{1}{ 2 \pi f C}}{R} \] \[\varphi_{0u} = \mathrm{arctg\,}\left(\frac{2 \pi f L- \frac{1}{ 2 \pi f C}}{R}\right)\]

    Číselné řešení:

    \[\varphi_{0u} = \mathrm{arctg\,}\left(\frac{2 \pi f L- \frac{1}{ 2 \pi f C}}{R}\right)= \mathrm{arctg\,}\left(\frac{2\pi \cdot 50 {\cdot} 1{,}3 - \frac{1}{ 2 \pi \cdot 50 {\cdot} 10 \cdot 10^{-6}}}{90}\right)\] \[\varphi_{0u} \,\dot{=}\, 45 ^{\circ} = \frac{\pi}{4} \]
  • Okamžité hodnoty střídavého proudu a napětí

    Okamžitá hodnota střídavého proudu:

    Fázový posun proudu je nulový, amplitudu proudu Im jsme vypočítali.

    \[ i(t)=I_m \, \sin(\omega t + \varphi_{0i})=I_m\, \sin( 2 \pi f t + \varphi_{0i} ) \] \[ i(t)\,\dot{=}\,0{,}79 \cdot \sin(2 \pi 50 t)\,\mathrm A =0{,}79 \cdot \sin(100 \pi t)\,\mathrm A\]

     

    Okamžitá hodnota střídavého napětí:

    Amplitudu napětí Um známe, fázový posun jsme spočítali.

    \[ u(t)=U_m \, \sin(\omega t + \varphi_{0u})=U_m \, \sin( 2 \pi f t + \varphi_{0u} ) \] \[u(t)\,\dot{=}\,100 \cdot \sin( 2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4} )\,\mathrm V = 100\cdot \sin( 100 \pi t + \frac{\pi}{4} )\,\mathrm V\]

     

    Do vztahů dosazujeme číselné hodnoty času vyjádřené v sekundách.

  • Odpověď

    Rovnice pro okamžité hodnoty napětí a proudu v sériovém RLC obvodu se střídavým proudem mají přibližně tvar:

    \[ i(t)=0{,}79 \cdot \sin\left({100 \pi t}\right)\,\mathrm A\] \[u(t)=100 \cdot \sin\left( 100 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)\,\mathrm V \]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze