Transformátor a magnetický indukční tok

Úloha číslo: 179

transformátor

Na obrázku je znázorněno jádro transformátoru. Na jádru jsou navinuty cívky A a B. Magnetický indukční tok vznikající v kterékoli z těchto cívek nevystupuje z jádra, ale rozvětvuje se v něm tak, že jeho hodnoty v ostatních větvích jádra jsou navzájem stejné. Připojíme-li cívku A ke zdroji střídavého napětí 40 V s frekvencí 50 Hz, indukuje se na cívce B to samé napětí. Jaké napětí se bude indukovat na cívce A, připojíme-li naopak cívku B ke zdroji střídavého napětí 40 V s frekvencí 50 Hz?

  • Zápis

    Ze zadání známe:

    Napětí na zdroji střídavého napětí:  U = 40 V
    Frekvenci střídavého napětí:f = 50 Hz
    Indukované napětí na cívkách:U1A = U1B = 40 V
    Indukované napětí na cívce B:U2B = 40 V

    Chceme určit:

    Indukované napětí na cívce A:U2A = ? (V)

  • Nápověda 1

    Najděte si, jak spolu souvisí magnetický indukční tok, indukované napětí na cívce a počet závitů cívky.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, že cívky A a B nemusí mít stejný počet závitů.

  • Rozbor

    Magnetický indukční tok se v jádru transformátoru rozděluje takovým způsobem, že připojíme-li cívku A ke zdroji střídavého napětí, bude v cívce B a ve středu transformátoru poloviční magnetický indukční tok než uvnitř cívky A.

    V následujícím odstavci si vyjádříme vztah mezi počty závitů cívek, který budeme pro konečný výpočet potřebovat. Víme, že připojíme-li ke zdroji střídavého napětí cívku A, pak známe napětí na obou cívkách ze zadání. Vyjdeme z Faradayova zákona pro indukované napětí na cívce a ze známého vztahu mezi magnetickými indukčními toky cívek. Vyjádříme tak vztah mezi počtem závitů obou cívek.

    Připojíme-li nyní ke zdroji střídavého napětí cívku B, je vztah mezi magnetickým indukčním tokem cívky A a cívky B opačný než v případě popsaném výše. Navíc již známe poměr mezi počty závitů cívek. Pomocí těchto dvou vztahů vyjádříme napětí na cívce A.

  • Řešení

    Pro velikost indukovaného napětí U na cívce podle Faradayova zákona platí:

    \[U=N\,\frac{ \Delta \Phi }{\Delta t}.\]

    Pro změnu magnetického indukčního toku ΦA cívky A platí:

    \[\frac{\Delta {\Phi}_A}{\Delta t}=\frac{U_A}{N_A}.\]

    Pro změnu magnetického indukčního toku ΦB cívky B platí:

    \[\frac{\Delta {\Phi}_B}{\Delta t}=\frac{U_B}{N_B}.\]

     

    1) Ke zdroji střídavého napětí 40 V je připojena cívka A.

    Pro magnetický indukční tok cívek podle zadání platí: Φ1A = 2 Φ1B. Dosadíme do vztahu pro cívku B:

    \[\frac{\Delta {\Phi}_{1B}}{\Delta t}=\frac{U_{1B}}{N_B}\ \Rightarrow \ \frac{\Delta {\Phi}_{1A}}{\Delta t}=2 \frac{U_{1B}}{N_B}.\]

    Vyjádříme si také změnu magnetického indukčního toku cívky A:

    \[\frac{\Delta {\Phi}_{1A}}{\Delta t}=\frac{U_{1A}}{N_{1A}}.\]

    Porovnáme obě vyjádření pro změnu magnetického indukčního toku cívky A a dostaneme:

    \[\frac{U_{1A}}{N_{1A}}=2 \frac{U_{1B}}{N_{1B}}.\]

    Ze zadání víme, že napětí U1A = U1B. Vyjádříme si vztah mezi počtem závitů obou cívek:

    \[N_A=\frac{1}{2}N_B.\]

     

    2) Ke zdroji střídavého napětí 40 V je připojena cívka B.

    Pro magnetické indukční toky mezi oběma cívkami nyní platí: Φ2B = 2 Φ2A. Dosadíme do vztahu pro vyjádření změny magnetického indukčního toku:

    \[\frac{\Delta {\Phi}_{2A}}{\Delta t}=\frac{1}{2}\frac{\Delta {\Phi}_{2B}}{\Delta t}=\frac{U_{2A}}{N_A}\] \[\frac{\Delta {\Phi}_{2B}}{\Delta t}=\frac{U_{2B}}{N_B}.\]

    Z druhé rovnice dosadíme do první rovnice za změnu magnetického indukčního toku a vyjádříme napětí na cívce A:

    \[\frac{1}{2}\,\frac{U_{2B}}{N_B}=\frac{U_{2A}}{N_A}\] \[U_{2A}=\frac{1}{2}N_{A}\,\frac{U_{2B}}{N_B}.\]

    Dosadíme vztah mezi počtem závitů cívek: NA = 1/2 NB:

    \[U_{2A}=\frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{2}N_B\right)\,\frac{U_{2B}}{N_B}=\frac{1}{4}\,U_{2B}.\]

    Číselné dosazení:

    \[U_{2A}=\frac{1}{4}\cdot 40\,\mathrm V=10\,\mathrm V\]
  • Odpověď

    Připojíme-li cívku B ke zdroji střídavého napětí, bude se na cívce A, za podmínek popsaných v zadání, indukovat napětí 10 V.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze