Sbírka řešených úloh

Transformátor a magnetický indukční tok

Úloha číslo: 179

Na obrázku je znázorněno jádro transformátoru. Na jádru jsou navinuty cívky A a B. Magnetický indukční tok vznikající v kterékoli z těchto cívek nevystupuje z jádra, ale rozvětvuje se v něm tak, že jeho hodnoty v ostatních větvích jádra jsou navzájem stejné. Připojíme-li cívku A ke zdroji střídavého napětí 40 V s frekvencí 50 Hz, indukuje se na cívce B to samé napětí. Jaké napětí se bude indukovat na cívce A, připojíme-li naopak cívku B ke zdroji střídavého napětí 40 V s frekvencí 50 Hz?

• Zápis

  Ze zadání známe:

  Napětí na zdroji střídavého napětí:	U = 40 V
  Frekvenci střídavého napětí:	f = 50 Hz
  Indukované napětí na cívkách:	U1A = U1B = 40 V
  Indukované napětí na cívce B:	U2B = 40 V

  Chceme určit:

  Indukované napětí na cívce A:

  U2A = ? (V)

• Nápověda 1

  Najděte si, jak spolu souvisí magnetický indukční tok, indukované napětí na cívce a počet závitů cívky.

• Nápověda 2

  Uvědomte si, že cívky A a B nemusí mít stejný počet závitů.

• Rozbor

  Magnetický indukční tok se v jádru transformátoru rozděluje takovým způsobem, že připojíme-li cívku A ke zdroji střídavého napětí, bude v cívce B a ve středu transformátoru poloviční magnetický indukční tok než uvnitř cívky A.

  V následujícím odstavci si vyjádříme vztah mezi počty závitů cívek, který budeme pro konečný výpočet potřebovat. Víme, že připojíme-li ke zdroji střídavého napětí cívku A, pak známe napětí na obou cívkách ze zadání. Vyjdeme z Faradayova zákona pro indukované napětí na cívce a ze známého vztahu mezi magnetickými indukčními toky cívek. Vyjádříme tak vztah mezi počtem závitů obou cívek.

  Připojíme-li nyní ke zdroji střídavého napětí cívku B, je vztah mezi magnetickým indukčním tokem cívky A a cívky B opačný než v případě popsaném výše. Navíc již známe poměr mezi počty závitů cívek. Pomocí těchto dvou vztahů vyjádříme napětí na cívce A.

• Řešení

  Pro velikost indukovaného napětí U na cívce podle Faradayova zákona platí

  $$U=N\,\frac{ \Delta \Phi }{\Delta t}.$$

  Pro změnu magnetického indukčního toku Φ_A cívky A platí

  $$\frac{\Delta {\Phi}_\mathrm{A}}{\Delta t}=\frac{U_\mathrm{A}}{N_\mathrm{A}}.$$

  Pro změnu magnetického indukčního toku Φ_B cívky B platí

  $$\frac{\Delta {\Phi}_\mathrm{B}}{\Delta t}=\frac{U_\mathrm{B}}{N_\mathrm{B}}.$$

   

  1) Ke zdroji střídavého napětí 40 V je připojena cívka A.

  Pro magnetický indukční tok cívek podle zadání platí Φ_1A = 2 Φ_1B. Dosadíme do vztahu pro cívku B:

  $$\frac{\Delta {\Phi}_\mathrm{1B}}{\Delta t}=\frac{U_\mathrm{1B}}{N_\mathrm{B}}\ \Rightarrow \ \frac{\Delta {\Phi}_\mathrm{1A}}{\Delta t}=2 \frac{U_\mathrm{1B}}{N_\mathrm{B}}.$$

  Vyjádříme si také změnu magnetického indukčního toku cívky A:

  $$\frac{\Delta {\Phi}_\mathrm{1A}}{\Delta t}=\frac{U_\mathrm{1A}}{N_\mathrm{1A}}.$$

  Porovnáme obě vyjádření pro změnu magnetického indukčního toku cívky A a dostaneme:

  $$\frac{U_\mathrm{1A}}{N_\mathrm{1A}}=2 \frac{U_\mathrm{1B}}{N_\mathrm{1B}}.$$

  Ze zadání víme, že napětí U_1A = U_1B. Vyjádříme si vztah mezi počtem závitů obou cívek:

  $$N_\mathrm{A}=\frac{1}{2}N_\mathrm{B}.$$

   

  2) Ke zdroji střídavého napětí 40 V je připojena cívka B.

  Pro magnetické indukční toky mezi oběma cívkami nyní platí: Φ_2B = 2 Φ_2A. Dosadíme do vztahu pro vyjádření změny magnetického indukčního toku:

  $$\frac{\Delta {\Phi}_\mathrm{2A}}{\Delta t}=\frac{1}{2}\frac{\Delta {\Phi}_\mathrm{2B}}{\Delta t}=\frac{U_\mathrm{2A}}{N_\mathrm{A}}$$ $$\frac{\Delta {\Phi}_\mathrm{2B}}{\Delta t}=\frac{U_\mathrm{2B}}{N_\mathrm{B}}.$$

  Z druhé rovnice dosadíme do první rovnice za změnu magnetického indukčního toku a vyjádříme napětí na cívce A:

  $$\frac{1}{2}\,\frac{U_\mathrm{2B}}{N_\mathrm{B}}=\frac{U_\mathrm{2A}}{N_\mathrm{A}}$$ $$U_\mathrm{2A}=\frac{1}{2}N_\mathrm{A}\,\frac{U_\mathrm{2B}}{N_\mathrm{B}}.$$

  Dosadíme vztah mezi počtem závitů cívek: N_A = 1/2 N_B:

  $$U_\mathrm{2A}=\frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{2}N_\mathrm{B}\right)\,\frac{U_\mathrm{2B}}{N_\mathrm{B}}=\frac{1}{4}\,U_\mathrm{2B}.$$

  ---

  Číselné dosazení:

  $$U_\mathrm{2A}=\frac{1}{4}\cdot 40\,\mathrm V=10\,\mathrm V$$

• Odpověď

  Připojíme-li cívku B ke zdroji střídavého napětí, bude se na cívce A, za podmínek popsaných v zadání, indukovat napětí 10 V.