Kulička ztratí náboj

Úloha číslo: 717

Dvě malé vodivé kuličky jsou zavěšeny na velmi dlouhých nevodivých vláknech. Kuličky jsou nabity stejnými elektrickými náboji a jejich středy jsou od sebe vzdáleny 4 cm. Co se stane, když jedna z kuliček ztratí náboj?

  • Nápověda 1

    Jaké síly působí na nabité kuličky?

    Která ze sil přestane působit, jestliže jedna kulička ztratí náboj?

  • Nápověda 2

    Jestliže jedna kulička ztratí náboj, přestane působit elektrostatická síla a kuličky se srazí. Co se stane s nábojem při dotyku kuliček?

  • Rozbor

    Protože jsou kuličky nabité stejným nábojem, působí na ně kromě tíhové síly, také elektrostatická odpudivá síla. Velikost této síly je dána Coulombovým zákonem.

    Po ztrátě náboje přestane mezi kuličkami působit elektrostatická odpudivá síla, což způsobí, že se kuličky srazí. Kuličky jsou vodivé, a tak se při této srážce vyrovná na nich náboj. Protože platí zákon zachování náboje, náboj Q z nabité kuličky se rovnoměrně rozdělí na obě kuličky. Každá kulička bude tedy nabita nábojem \(\frac{Q}{2}\).

    Opět mezi nimi tedy začne působit elektrostatická odpudivá síla, jenž způsobí oddálení kuliček. Vzhledem ke zmenšení náboje se však kuličky oddálí do menší vzdálenosti, než v jaké se nacházely na počátku.

    Obrázek situace

    K výpočtu vzdálenost využijeme goniometrických funkcí a podobnosti trojúhelníků.

    Síly působící na kuličku před ztrátou náboje

    Z červeného trojúhelníku vyjádříme pomocí funkce tangens vztah mezi úhlem alpha a oběma silami. Protože pro malé úhly je funkce tangens stejná jako funkce sinus, vyjádříme využijeme v modrém trojúhelníku funkci sinus a oba vztahy porovnáme.

    Stejný postup provedeme i pro situaci po srážce. Porovnáním získaných vzorců získáme vztah pro výpočet vzdálenosti.

  • Řešení

    Síly působící na kuličku před ztrátou náboje

    Před ztrátou náboje platí z červeného trojúhelníka vztah:

    \[\mathrm{tg}\alpha\,=\,\frac{F_{e1}}{F_G}\,.\]

    Dosadíme vyjádření elektrické síly z Coulombova zákona a tíhové síly.

    \[\mathrm{tg}\alpha\,=\,\frac{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q^2}{r_1^2}}{mg}\,=\,\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0mgr_1^2}\]
    Síly působící na kuličku po ztrátě náboje

    Po ztrátě náboje se obě kuličky dotknou a náboj Q se rovnoměrně rozdělí na obě kuličky. Každá bude tedy nabita nábojem \(\frac{Q}{2}\). Vlákno bude nyní svírat se svislým směrem úhel β.

    Ze žlutého trojúhelníka bude platit vztah:

    \[\mathrm{tg}\beta\,=\,\frac{F_{e2}}{F_G}\,=\,\frac{\left(\frac{Q}{2}\right)^2}{4\pi\varepsilon_0mgr_2^2}\,=\,\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0mgr_2^2}\,,\]

    kde r2 je nová vzdálenost kuliček.

     

    Protože jsou kuličky zavěšeny na velmi dlouhých vláknech, jsou úhly α a β velmi malé. Pro malé úhly platí přibližný vztah sinα ≈ tgα (viz poslední oddíl úlohy). Z tohoto důvodu můžeme s využitím modrého trojúhelníku psát:

    \[\mathrm{tg}\alpha\,\dot=\,\sin\alpha=\,\frac{r_1}{2l}\] \[\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0mgr_1^2}\,\dot=\,\frac{r_1}{2l}\hspace{40px}|\cdot r_1^2\] \[\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0mg}\,\dot=\,\frac{r_1^3}{2l}\tag{1}\]

    Stejný postup uplatníme i pro úhel β.

    \[\mathrm{tg}\beta\,\dot=\,\sin\beta\] \[\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0mgr_2^2}\,\dot=\,\frac{r_2}{2l}\hspace{40px}|\cdot 4 r_2^2\] \[\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0mg}\,\dot=\,\frac{4 r_2^3}{2l}\tag{2}\]

    Porovnáním vztahů (1) a (2) získáváme:

    \[\frac{r_1^3}{2l}\dot=\,\frac{4 r_2^3}{2l}\,.\] Nyní už vyjádříme vzdálenost r2 kuliček po dotyku. \[r_1^3\dot=\,4 r_2^3\] \[\frac{r_1^3}{4}\dot=\, r_2^3\] \[r_2\,\dot=\,\frac{r_1}{\sqrt[3]{4}}\]
  • Zápis a číselný výpočet

    r1 = 4 cm počáteční vzdálenost kuliček
    r2 = ? cm vzdálenost kuliček po dotyku

    \[r_2\,\dot=\,\frac{r_1}{\sqrt[3]{4}}\,\dot=\,\frac{4}{\sqrt[3]{4}}\,\dot=\,2{,}5\,\mathrm{cm}\]

    Pozn.: V této úloze není třeba převádět jednotky, jelikož výsledek získáváme pouze vydělením číslem. Jednotka výsledku tedy zůstává stejná jako jednotka u dosazené veličiny.

  • Odpověď

    Kuličky se po vzájemném dotyku způsobeném ztrátou náboje jedné z nich oddálí do vzdálenosti \(r_2\,\dot=\,\frac{r_1}{\sqrt[3]{4}}\,\dot=\,2{,}5\,\mathrm{cm}.\)

  • Funkce sinus a tangens pro malé úhly

    Pro malé úhly jsou hodnoty funkce sinus téměř shodné s hodnotami funkce tangens. sinα ≈ tgα

    Dobře je to vidět, jestliže zakreslíme průběhy obou funkcí do jednoho grafu. Pro malé úhly (oblast označená červeně) se obě funkce překrývají.

    Průběh funkce sinus a tangens

    Pro tuto oblast malých úhlů dokonce platí, že průběh funkce sinus a tangens je stejný s průběhem funkce f(x) = x. Je třeba dávat pozor na jednotky, protože tato vlastnost platí pouze pokud velikost úhlu dosazujeme v radiánech!

    Porovnání s funkcí x
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha na syntézu
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze