Energie kondenzátorů

Úloha číslo: 176

Blok paralelně zapojených kondenzátorů o kapacitách 5 µF se používá k akumulování elektrické energie.

Jakou energii má blok 2 000 kondenzátorů, jestliže je nabijeme na napětí 50 000 V?

Kolik stojí nabití těchto kondenzátorů za předpokladu, že cena 1 kW h je 3,32 Kč?

Ztráty při nabíjení neuvažujte.

  • Nápověda: Energie kondenzátorů

    Celkovou energii soustavy kondenzátorů získáme sečtením energií jednotlivých kondenzátorů v soustavě.

  • Nápověda: Jak souvisí kilowatthodina s joulem

    \[1 \mathrm{J}\,=\,\frac{1}{3{,}6{\cdot} 10^6} \,\mathrm{\,kW\,h}\]
  • Rozbor

    Celkovou energii soustavy kondenzátorů získáme sečtením energií všech kondenzátorů v soustavě. Energie jednoho kondenzátoru je přímo úměrná kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí, ke kterému je kondenzátor připojen.

    Vypočítaná energie je v joulech. Ceny za elektrickou energii jsou ale uváděny v kilowatthodinách (případně megawatthodinách), proto je třeba vypočítanou energii na tyto jednotky převést. Převodní vztah získáme ze vzorce, který dává do souvislosti práci (v joulech) a výkon (ve wattech). Výkon je práce provedená za určitý čas. Přepíšeme-li tento vztah v jednotkách veličin, zjistíme, že watty jsou jouly za sekundu.

    Pokud máme energii vyjádřenou v kilowatthodinách, můžeme již dopočítat cenu této energie, protože cenu jedné kilowatthodiny známe.

  • Výpočet energie kondenzátorů

    Abychom mohli spočítat, kolik bude stát nabití kondenzátorů, musíme zjistit jakou celkovou energii tato soustava kondenzátorů má.

    Celkovou energii získáme sečtením energií všech zapojených kondenzátorů.

    \[E_C\,=\,E_1+E_2+ \,\dots\, +E_N\]

    Protože všechny kondenzátory jsou stejné a jsou připojeny ke stejnému napětí, bude také jejich energie stejná \(E_1\,=\,E_2\,=\, \,\dots\, \,=\,E_N\,=\,E\).

    Celkovou energie tedy získáme jako:

    \[E_C\,=\,NE\,,\]

    kde E je energie jednoho kondenzátoru.

    Energie kondenzátoru závisí na kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí, ke kterému je kondenzátor připojen. Protože jsou kondenzátory zapojeny paralelně, je na všech stejné napětí. Toto napětí je rovno celkovému napětí bloku kondenzátorů.

    \[E\,=\,\frac{1}{2} CU^2 \]

    Tento vztah dosadíme do vzorce pro výpočet celkové energie.

    \[E_C\,=\,\frac{1}{2} NCU^2\]

    Tuto energii chceme kondenzátorům dodat. Cena energie je uváděna v kilowatthodinách. My jsme ji spočítali energii v joulech, proto ji musíme převést.

    Vztah mezi joulem a kilowatthodinou odvodíme v další části úlohy.

  • Zápis a číselný výpočet energie

    N = 2 000

    počet kondenzátorů

    C = 5 µF = 5·10-6 F

    U = 50 000 V =  5·104 V

    EC = ? (J)


    \[E_C\,=\,\frac{1}{2} NCU^2\] \[E_C\,=\,\frac{1}{2} \cdot\,2\,000 \,\cdot 5{\cdot} 10^{-6}\cdot\,\left(5{\cdot}10^4\right)^2\,\mathrm{J}\,=\,1{,}25{\cdot}10^7\,\mathrm{J}\]
  • Převedení joulů na kilowatthodiny a výpočet ceny

    V části Výpočet energie kondenzátoru jsme spočítali energii, kterou chceme kondenzátorům dodat. V této části řešení spočítáme, kolik nás bude tato energie stát. Cena energie je uváděna v kilowatthodinách. My jsme ale spočítali energii v joulech, proto ji musíme převést.

    Nyní tedy odvodíme vztah mezi kilowatthodinou a joulem.

    \[1\,\mathrm{kW\,h}=\,1000\,W\cdot \,3600s\,=\,3{,}6{\cdot} 10^6 \,\mathrm{Ws}\]

    Ze vztahu pro výpočet práce pomocí výkonu W = Pt víme, že wattsekundy jsou jouly. A tedy

    \[1\,\mathrm{kW\,h} \,=\, 3{,}6{\cdot} 10^6 \,\mathrm{J}\,.\]

    Vyjádříme joul a máme převodní vztah mezi kilowatthodinou a joulem.

    \[1 \mathrm{J}\,=\,\frac{1}{3{,}6{\cdot} 10^6} \,\mathrm{\,kW\,h}\]

    Energii kondenzátorů jsme spočítali v předchozí části \[E\,=\,1{,}25{\cdot} 10^7 \mathrm{J}\,.\] a nyní ji převedeme na kilowatthodiny.

    \[E\,=\, \frac{1{,}25{\cdot} 10^7}{3{,}6{\cdot} 10^6} \,\mathrm{\,kW\,h}\,=\,3{,}5\,\mathrm{\,kW\,h}\]

    Zbývá už jen dopočítat kolik bude stát nabití kondenzátorů na tuto energii.

    Jedna kilowatthodina stojí 3,32 Kč a tedy 3,5 kilowatthodiny bude stát 11,62 Kč.

  • Odpověď

    2 000 kondenzátorů bude mít při napětí 50 000 V energii

    \[E_C\,=\,\frac{1}{2} NCU^2\,=\,1{,}25{\cdot}10^7\,\mathrm{J}.\]

    Nabití těchto kondenzátorů bude stát 11,62 Kč.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Původní zdroj: Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2006). Fyzika, Část 3,
Elektřina a magnetismus (2. dotisk 1. českého vydání). Brno: VUTIUM. 
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2006). Fyzika, Část 3, Elektřina a magnetismus (2. dotisk 1. českého vydání). Brno: VUTIUM.
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze