Sbírka řešených úloh

Energie kondenzátorů

Úloha číslo: 176

• Nápověda: Energie kondenzátorů

  Celkovou energii soustavy kondenzátorů získáme sečtením energií jednotlivých kondenzátorů v soustavě.

• Nápověda: Jak souvisí kilowatthodina s joulem

  \[1 \mathrm{J}\,=\,\frac{1}{3{,}6{\cdot} 10^6} \,\mathrm{\,kW\,h}\]

• Rozbor

  Celkovou energii soustavy kondenzátorů získáme sečtením energií všech kondenzátorů v soustavě. Energie jednoho kondenzátoru je přímo úměrná kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí, ke kterému je kondenzátor připojen.

  Vypočítaná energie je v joulech. Ceny za elektrickou energii jsou ale uváděny v kilowatthodinách (případně megawatthodinách), proto je třeba vypočítanou energii na tyto jednotky převést. Převodní vztah získáme ze vzorce, který dává do souvislosti práci (v joulech) a výkon (ve wattech). Výkon je práce provedená za určitý čas. Přepíšeme-li tento vztah v jednotkách veličin, zjistíme, že watty jsou jouly za sekundu.

  Pokud máme energii vyjádřenou v kilowatthodinách, můžeme již dopočítat cenu této energie, protože cenu jedné kilowatthodiny známe.

• Výpočet energie kondenzátorů

  Abychom mohli spočítat, kolik bude stát nabití kondenzátorů, musíme zjistit jakou celkovou energii tato soustava kondenzátorů má.

  Celkovou energii získáme sečtením energií všech zapojených kondenzátorů:

  \[E_\mathrm{C}\,=\,E_1+E_2+ \,\dots\, +E_\mathrm{N}.\]

  Protože všechny kondenzátory jsou stejné a jsou připojeny ke stejnému napětí, bude také jejich energie stejná: \(E_1\,=\,E_2\,=\, \,\dots\, \,=\,E_N\,=\,E\).

  Celkovou energie tedy získáme jako

  \[E_\mathrm{C}\,=\,NE\,,\]

  kde E je energie jednoho kondenzátoru.

  Energie kondenzátoru závisí na kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí, ke kterému je kondenzátor připojen. Protože jsou kondenzátory zapojeny paralelně, je na všech stejné napětí. Toto napětí je rovno celkovému napětí bloku kondenzátorů:

  \[E\,=\,\frac{1}{2} CU^2. \]

  Tento vztah dosadíme do vzorce pro výpočet celkové energie:

  \[E_\mathrm{C}\,=\,\frac{1}{2} NCU^2.\]

  Tuto energii chceme kondenzátorům dodat. Cena energie je uváděna v kilowatthodinách. My jsme si spočítali energii v joulech, proto ji musíme převést.

  Vztah mezi joulem a kilowatthodinou odvodíme v další části úlohy.

• Zápis a číselný výpočet energie

  N = 2 000	počet kondenzátorů
  C = 5 µF = 5·10-6 F
  U = 50 000 V =  5·104 V
  EC = ? (J)

  ---

  \[E_\mathrm{C}\,=\,\frac{1}{2} NCU^2\] \[E_\mathrm{C}\,=\,\frac{1}{2} \cdot\,2\,000 \,\cdot 5{\cdot} 10^{-6}\cdot\,\left(5{\cdot}10^4\right)^2\,\mathrm{J}\,=\,1{,}25{\cdot}10^7\,\mathrm{J}\]

• Převedení joulů na kilowatthodiny a výpočet ceny

  V části Výpočet energie kondenzátoru jsme spočítali energii, kterou chceme kondenzátorům dodat. V této části řešení spočítáme, kolik nás bude tato energie stát. Cena energie je uváděna v kilowatthodinách. My jsme ale spočítali energii v joulech, proto ji musíme převést.

  Nyní tedy odvodíme vztah mezi kilowatthodinou a joulem:

  \[1\,\mathrm{kW\,h}=\,1000\,W\cdot \,3600s\,=\,3{,}6{\cdot} 10^6 \,\mathrm{Ws}.\]

  Ze vztahu pro výpočet práce pomocí výkonu W = Pt víme, že wattsekundy jsou jouly. A tedy

  \[1\,\mathrm{kW\,h} \,=\, 3{,}6{\cdot} 10^6 \,\mathrm{J}\,.\]

  Vyjádříme joul a máme převodní vztah mezi kilowatthodinou a joulem:

  \[1 \mathrm{J}\,=\,\frac{1}{3{,}6{\cdot} 10^6} \,\mathrm{\,kW\,h}.\]

  Energii kondenzátorů jsme spočítali v předchozí části: \[E\,=\,1{,}25{\cdot} 10^7 \mathrm{J}\,\] a nyní ji převedeme na kilowatthodiny:

  \[E\,=\, \frac{1{,}25{\cdot} 10^7}{3{,}6{\cdot} 10^6} \,\mathrm{\,kW\,h}\,=\,3{,}5\,\mathrm{\,kW\,h}.\]

  Zbývá už jen dopočítat, kolik bude stát nabití kondenzátorů na tuto energii.

  Jedna kilowatthodina stojí 3,32 Kč a tedy 3,5 kilowatthodiny bude stát 11,62 Kč.

• Odpověď

  2 000 kondenzátorů bude mít při napětí 50 000 V energii

  \[E_\mathrm{C}\,=\,\frac{1}{2} NCU^2\,=\,1{,}25{\cdot}10^7\,\mathrm{J}.\]

  Nabití těchto kondenzátorů bude stát 11,62 Kč.