Vzájemné silové působení dvou vodičů s proudem

Úloha číslo: 479

Dvěma rovnoběžnými vodiči ve vzájemné vzdálenosti 10 cm procházejí proudy 10 A a 20 A. Určete velikost a směr magnetické síly, která působí na 1 m délky vodičů, jestliže oba proudy mají a) stejný směr, b) opačný směr.

  • Nápověda

    Nakreslete si magnetická pole, která ve svém okolí vytváří přímé vodiče s proudem.

    Protože se jeden z vodičů nachází v magnetickém poli druhého vodiče, bude na něj působit magnetická síla, jejíž velikost bude úměrná velikosti magnetického pole od druhého vodiče, proudu prvním vodičem a délce vodiče. Směr této síly určíte pomocí Flemingova pravidla levé ruky.

  • Rozbor

    V okolí obou vodičů, kterými prochází elektrické proudy, se vytváří magnetická pole charakterizovaná magnetickou indukcí. Nakreslíme si tato pole a směry vektorů magnetické indukce určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky.

    Každý z vodičů se nachází v magnetickém poli vytvořeném druhým vodičem. Protože vodiči prochází elektrické proudy a nacházejí se v magnetickém poli, působí na ně magnetické síly. Velikost magnetických sil závisí na velikosti magnetického pole, ve kterém se vodič nachází, na proudu procházejícím vodičem, délce vodiče a na poloze vodiče vůči vektoru magnetické indukce. Protože vodiče, jimiž prochází elektrické proudy a v jejichž okolí se vytváří magnetická pole, jsou rovnoběžné, vektor magnetické indukce je vždy kolmý na směr proudu ve vodiči (viz vysvětlení v oddíle Nápověda).

    Magnetické pole, ve kterém se jeden z vodičů nachází, je magnetické pole vytvořené druhým vodičem. Do vztahu pro velikost magnetické síly dosadíme velikost magnetické indukce od dlouhého přímého vodiče (v tomto případ toho druhého), kde vzdálenost, ve které magnetickou indukci určujeme, se rovná vzdálenosti obou vodičů.

    Toto platí analogicky i pro druhý vodič, který se nachází v magnetickém poli prvního vodiče, ten na něj tedy také působí magnetickou silou.

    Směr sil, kterými na sebe oba vodiče navzájem působí, určíme pomocí Flemingova pravidla levé ruky.

  • Řešení a) Souhlasný směr proudu

    V okolí obou vodičů, kterými prochází elektrické proudy, se vytváří magnetická pole, charakterizovaná magnetickou indukcí. Směry vektorů magnetických indukcí určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky.

    2 rovnoběžné vodiče s proudem

    První vodič s proudem se nachází v magnetickém poli vytvořeném druhým vodičem. Na první vodič tedy působí magnetická síla, pro jejíž velikost platí

    \[F_2=B_2I_1l\tag{1}\]

    kde B2 je velikost magnetické indukce magnetického pole vytvořeného druhým vodičem v místě prvního vodiče, I1 je velikost proudu, který prochází prvním vodičem.

    Pro velikost vektoru magnetické indukce B2 platí vztah

    \[B_2= \frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_2}{R}\]

    kde R je vzdálenost místa, ve kterém velikost magnetické indukce určujeme. V našem případě je to v místě, kde se nachází druhý vodič. Vzdálenost R tedy odpovídá vzdálenosti vodičů.

    Vztah pro velikost magnetické indukce B2 dosadíme do rovnice pro velikost magnetické síly F2 a upravíme

    \[F_2=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1I_2}{R}l. \]

    Získali jsme tak vztah pro velikost magnetické síly F2, kterou působí druhý vodič s proudem na první.

    Směr magnetické síly určíme pomocí Flemingova pravidla levé ruky. V našem případě má magnetická síla \(\vec{F}_2\), kterou působí druhý vodič na první, směr doprava.

    2 rovnoběžné vodiče s proudem

    Poznámka: Na obrázku je pro přehlednost znázorněno pouze magnetické pole vytvořené druhým vodičem, protože díky němu působí druhý vodič na první magnetickou silou \(\vec{F}_2\).

     

    Stejně i na druhý vodič, který se nachází v magnetickém poli prvního vodiče, působí magnetická síla. Pro její velikost platí

    \[F_1=B_1I_2l,\]

    kde B1 je velikost magnetické indukce magnetického pole vytvořeného prvním vodičem a I2 je velikost proudu procházející druhým vodičem.

    Pro velikost vektoru magnetické indukce B1 platí vztah

    \[B_1= \frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1}{R},\]

    který dosadíme do rovnice pro velikost magnetické síly F1

    \[F_1=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1I_2}{R}l.\]

    Směr vektoru magnetické síly \(\vec{F}_1\) určíme také pomocí Flemingova pravidla levé ruky. Síla, kterou působí první vodič na druhý, má v našem případě směr doleva.

    2 rovnoběžné vodiče s proudem

     

    Síly \(\vec{F}_1\) a \(\vec{F}_2\), kterými na sebe navzájem působí vodiče s proudem, mají stejnou velikost. Označme si tuto společnou hodnotu F

    \[F_1=F_2=F=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1I_2}{R}l.\]

    Vodiče s proudem tedy na sebe působí silami o stejné velikosti, ale opačného směru. Pokud si uvědomíme znění 3. Newtonova zákona (zákon akce a reakce), tak jsme k tomuto závěru mohli dospět přímo a nemuseli jsme určovat směr a velikost druhé síly.

    Pokud vodiči prochází elektrické proudy ve stejném směru, tak se vodiče přitahují.

    2 rovnoběžné vodiče s proudem
  • Řešení b) Nesouhlasný směr proudu

    V okolí vodičů, jimiž prochází elektrické proudy, se vytvoří magnetická pole, charakterizovaná magnetickou indukcí, jejíž směry určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky.

    2 rovnoběžné vodiče s proudem

    Při změně směrů proudů ve vodičích se změní pouze směry magnetických indukcí a směry působících sil. Velikosti magnetických sil působících na vodiče však budou stejné jako v případě, kdy vodiči procházely proudy v souhlasném směru. Pro velikost magnetické síly působící na každý z vodičů platí vztah odvozený v Řešení a)

    \[F=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1I_2}{R}l.\]

    Směr magnetické síly působící na první vodič určíme pomocí Flemingova pravidla levé ruky. V našem případě má magnetická síla, kterou působí druhý vodič na první, směr doleva.

    2 rovnoběžné vodiče s proudem

    Směr magnetické síly působící na druhý vodič určíme také pomocí Flemingova pravidla levé ruky. Síla, kterou působí první vodič na druhý, má v našem případě směr doprava.

    2 rovnoběžné vodiče s proudem

    Vodiče tedy na sebe působí stejně velkými silami, které mají opačný směr, což souhlasí se 3. Newtonovým zákonem (zákon akce a reakce).

    Pokud vodiči prochází proudy v různých směrech, vodiče se odpuzují.

    2 rovnoběžné vodiče s proudem
  • Shrnutí

    Pokud rovnoběžnými vodiči prochází elektrické proudy, velikosti sil, kterými na sebe vodiče vzájemně působí, jsou stejné a platí pro ně vztah

    \[F=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1I_2}{R}l.\]

    Směry proudů ve vodičích ovlivní pouze směry magnetických sil. A to tak, že pokud vodiči prochází elektrické proudy stejným směrem, vodiče se navzájem přitahují. Pokud vodiči procházejí opačně orientované proudy, vodiče se odpuzují.

    2 rovnoběžné vodiče s proudem
  • Zápis a číselné dosazení

    \(I_1\,=10\,\mathrm{A}\) proud tekoucí prvním vodičem
    \(I_2\,=20\,\mathrm{A}\) proud tekoucí druhým vodičem
    \(R\,=\,10\,\mathrm{cm}=0{,}10\,\mathrm{m}\) vzdálenost vodičů
    \(l\,=\,1\,\mathrm{m}\) délka vodiče
    \(F\,=\,?\) síla, která působí na vodič délky l
    Z tabulek:
    \(\mu_o=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{Hm^{-1}}\) permeabilita vakua

    \[F=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1I_2}{R}\,l=\frac{4\cdot\pi \cdot 10^{-7}}{2\cdot\pi}\cdot\,\frac{10{\cdot} 20}{0{,}1}\cdot1\,\mathrm{N}=4{\cdot} 10^{-4}\,\mathrm{N}=0{,}4\,\mathrm{mN}\]
  • Odpověď

    Velikost sil, kterými na sebe oba vodiče vzájemně působí, nezáleží na směru proudů ve vodičích a má pro oba případy velikost 0,4 mN.

    Pokud vodiči prochází elektrické proudy stejným směrem, vodiče se vzájemně přitahují.

    V případě, že vodiči prochází proudy v opačných směrech, vodiče se odpuzují.

  • Komentář – Definice ampéru

    Na základě získaného vztahu pro velikost magnetické síly, kterou na sebe navzájem vodiče působí je definovaná jednotka proudu ampér, která je jednou ze sedmi základních jednotek soustavy SI.

    Definice ampéru

    Jeden ampér je stály proud, který při průchodu dvěma přímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného průřezu umístěnými ve vakuu ve vzdálenosti 1 m od sebe vyvolá mezi vodiči sílu o velikosti 2·10-7 N na 1 m délky vodiče.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha s vysvětlením teorie
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze