Proud indukovaný v kruhové smyčce
Úloha číslo: 2135
Drátěný kruh o odporu \(R\) se otáčí kolem svého průměru v homogenním magnetickém poli o indukci \(B\). Osa otáčení je kolmá na magnetické pole a úhlová rychlost otáčení \(\omega\) je konstantní. Napište průběh indukovaného proudu ve vodiči. Jaký bude časový průběh napětí na smyčce? Určete, jaké maximální okamžité napětí lze na smyčce naměřit.
Napište alespoň tři věci, kterými lze zvýšit napětí na smyčce. Je možné, aby se smyčka otáčela a přitom se na ní neindukovalo napětí?
Nápověda – obrázek
Pro lepší prostorovou orientaci si situaci nakreslíme do kartézských souřadnic.
Nápověda – elektromagnetická indukce
Faradayův zákon elektromagnetické indukce říká: Změní-li se magnetický indukční tok plochou smyčky vymezené vodičem za dobu \(\textrm{d}t\) o \(\textrm{d}\Phi\), vzniká ve vodiči indukované elektromotorické napětí, jenž je dáno vztahem
\[U_\mathrm{i} = - \frac{\textrm{d}\Phi}{\textrm{d}t}.\]Magnetický indukční tok plochou o obsahu S je v případě homogenního pole definován jako \(\Phi=BS\cos\alpha\), kde \(\alpha\) je úhel, který svírá normála plochy s vektorem magnetické indukce \(\vec{B}.\)
Indukuje-li se ve vodiči o odporu R elektromotorické napětí \(U_\mathrm{i}\), pak se indukovaný proud procházející vodičem spočítá pomocí Ohmova zákona:
\[I=\frac{U_\mathrm{i}}{R}.\]Řešení – průběh indukovaného elektromotorického napětí a proudu
Obrázek zachycuje situaci, ve které se kruhová smyčka otáčí konstantní úhlovou rychlostí \(\omega\) okolo svého průměru. Otáčející se smyčka je umístěna v homogenním magnetickém poli \(\vec{B}\), jež má směr kolmý na průměr smyčky tvořící osu otáčení.
K určení indukovaného proudu musíme nejdříve určit indukované elektrické napětí, k čemuž použijeme Faradayův zákon elektromagnetické indukce
\[U_\mathrm{i} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},\tag{1}\]kde pro magnetický indukční tok \(\Phi\) platí \(\Phi=BS\cos\alpha\) a úhel \(\alpha\) je úhel, který svírá normála plochy s vektorem magnetické indukce \(\vec{B}.\)
Abychom nemuseli pracovat s počátečním natočením smyčky vůči vektoru magnetické indukce, předpokládejme, že čas jsme začali měřit ve chvíli, kdy je smyčka kolmá na vektor magnetické indukce:
\[\Phi = BS\cos \omega t.\]Obsah plochy S, jejíž magnetický indukční tok zkoumáme, je v našem případě obsah kružnice o průměru d, můžeme proto magnetický indukční tok vyjádřit jako
\[\Phi = \frac{\pi d^2B}{4}\cos \omega t .\]Nyní dosadíme do rovnice (1)
\[U_\mathrm{i} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = \frac{\pi d^2B\omega}{4}\sin \omega t .\]Když známe průběh indukovaného elektrického napětí, můžeme z Ohmova zákona určit průběh indukovaného proudu:
\[R=\frac{U}{I},\] \[I_\mathrm{i}=\frac{U_\mathrm{i}}{R}=\frac{\pi d^2B\omega}{4R}\sin \omega t .\]Určete, jaké maximální okamžité napětí lze na smyčce naměřit.
Maximální okamžité indukované elektromotorické napětí určíme z jeho časového průběhu:
\[U_\mathrm{i}=\frac{\pi d^2B\omega}{4}\sin \omega t ,\]maximum funkce sinus má hodnotu 1 a nastane tehdy, když je argument funkce roven výrazu \(\alpha(t)=\frac{\pi}{2} + k \pi,\ k\in \mathbb{N}\), neboli když je rovina kružnice rovnoběžná s vektory magnetické indukce. Maximální okamžité indukované elektromotorické napětí je tedy
\[U_\mathrm{i}=\frac{\pi d^2B\omega}{4}.\]Řešení dalších otázek
Napište alespoň tři věci, kterými lze zvýšit napětí na smyčce.
Zvýšení indukovaného elektromotorického napětí docílíme zvýšením veličin, jimž je výraz přímo úměrný, nebo snížením veličin, jimž je výraz nepřímo úměrný. Z výrazu pro elektromotorické napětí
\[U_\mathrm{i}=\frac{\pi d^2B\omega}{4}\sin\omega t \]vidíme, že indukované elektromotorické napětí na smyčce můžeme zvětšit zesílením magnetického pole, rychlejším otáčením smyčky nebo zvětšením plochy smyčky. Plochu smyčky můžeme také zvětšit tím, že uděláme více smyček, efektivně se pak jejich plochy sčítají.
Je možné, aby se smyčka otáčela a přitom se na ní neindukovalo napětí?
Ano je. Je třeba zajistit, aby se při otáčení neměnil magnetický indukční tok, což jde různými způsoby:
- Například pokud by velikost magnetické indukce \(\vec{B}\) byla nulová, tj. vypnutím magnetického pole.
- nebo pro nulovou úhlovou rychlost \(\omega\) také dostáváme nulové indukované elektromotorické napětí. Otázka ale je, jak tyto dvě možnosti splňují zadání, že se smyčka otáčí v magnetickém poli.
- Další možností by bylo, aby magnetické pole rotovalo stejně (se stejnou úhlovou rychlostí a stejným středem otáčení) jako smyčka.
- Nulové by bylo indukované napětí i v případě, pokud by smyčka rotovala kolem osy kolmé na její rovinu a procházející jejím středem.
- A asi nejdůležitější možností jak zajistit, aby bylo indukované elektromotorické napětí nulové, je smyčku umístit tak, aby průměr, kolem kterého smyčka rotuje, byl rovnoběžný s vektorem magnetické indukce \(\vec {B}\), viz obrázek.
