Energie pole v dlouhém kabelu a vlastní indukčnost

Úloha číslo: 260

Dlouhý kovový kabel vede jedním směrem proud, který je rovnoměrně rozložený v celém jeho průřezu. Na jeho povrchu je pak tenká izolační vrstva a pokovení, které vede proud nazpět. Určete vlastní indukčnost takového vodiče. Předpokládejte, že pro materiál vodiče je μ ≈ μ0.

  • Rozbor

    Máme určit vlastní indukčnost kabelu. Umíme přitom – například pomocí Ampérova zákona v integrálním tvaru při použití válcové a délkové symetrie – najít průběh magnetického pole vně i uvnitř vodiče.

    Poznámka: Můžete se podívat na úlohu Dutý válcový vodič, kde se počítá obecnější případ, anebo také na úlohu Dlouhý drát z magneticky měkkého materiálu.

    Jestliže známe průběh pole, pak snadno spočteme hustotu energie magnetického pole. Integrací hustoty přes vodič pak dostaneme celkovou energii magnetického pole ve vodiči.

    Energii magnetického pole však můžeme také vyjádřit pomocí indukčnosti a proudu, odkud lehko vypočteme indukčnost kabelu.

  • Nápověda 1

    Určete pole uvnitř dlouhého drátu.

    K tomu použijte Ampérův zákon v integrálním tvaru aplikovaný na kruhové smyčky kolem osy drátu a fakt, že vektor magnetické indukce „rotuje“ kolem osy podobně jako u magnetického pole tenkého drátu. Navíc velikost magnetické indukce závisí pouze na vzdálenosti od osy – na zmíněné kruhové smyčce má tedy konstantní velikost a má směr tečny k této smyčce.

  • Nápověda 2

    Ze znalosti magnetické indukce určete hustotu energie magnetického pole.

    Protože tato hustota bude záviset pouze na vzdálenosti od osy kabelu, vypočtěte energii připadající na délku l integrací přes válcové slupky dV obepínající osu vodiče o vnitřním poloměru r a délce l. Platí

    \[\mathrm{d}V = 2\pi rl\, \mathrm{d}r.\]
  • Řešení – určení magnetického pole

    Viz také úlohy Dutý válcový vodič a Dlouhý drát z magneticky měkkého materiálu.

     

    Magnetické pole uvnitř vodiče (tj. pod izolací) určíme podle Ampérova zákona v integrálním tvaru. Z válcové symetrie vyplývá, že magnetická indukce bude mít cirkulující charakter jako v případě dlouhého tenkého přímého vodiče; otázkou je pouze její velikost v místě daném vzdáleností r od osy vodiče. Podle Ampérova zákona platí, že

    \[\oint_c \vec B\cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0I^, , \]

    kde integrujeme přes kružnici c se středem v ose vodiče a poloměrem r. Proud I' je celkový proud protékající (libovolnou) plochou ohraničenou touto křivkou. Je-li I celkový proud tekoucí vnitřkem kabelu a proud je rovnoměrně rozložen v průřezu vodiče, dostáváme

    \[I^, = jS^, = \frac{I}{S}S^, = \frac{I}{\pi R^2}\pi r^2 = I\frac{r^2}{R^2},\]

    kde R je poloměr kabelového vodiče. Na levé straně Ampérova zákona dostaneme

    \[\oint_c \vec B \cdot \mathrm{d} \vec{l} = 2\pi rB,\]

    protože B má podél kružnice c konstantní velikost a má vždy směr vektoru \(\mathrm{d}\vec l\).

    Porovnáním obou vztahů získáme rovnost

    \[2\pi rB = \mu_0I\frac{r^2}{R^2},\]

    ze které vyjádříme hledanou velikost magnetické indukce B

    \[B = \frac{\mu_0I\,r}{2\pi R^2}.\]

    Vně vodiče se magnetická pole vnitřního a vnějšího vodiče ruší, protože se oba chovají jako tenký vodič v ose (a teče jimi stejně velký proud opačným směrem). Magnetická indukce vně kabelu je tedy nulová.

  • Řešení – výpočet energie a indukčnosti

    Hustotu energie magnetického pole v daném místě uvnitř vodiče můžeme vyjádřit jako

    \[w = \frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_0},\]

    kam za velikost magnetické indukce B dosadíme vztah odvozený v předchozím oddíle

    \[w = \frac{1}{2\mu_0}\left(\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^2}\right)^2 = \frac{\mu_0I^2r^2}{8\pi^2 R^4}.\]

    Celkovou energii E dostaneme integrací přes celý objem vodiče. Budeme integrovat přes válcové slupky o délce l, poloměru r a tloušťce dr

    \[E = \int_V w\,\mathrm{d}V = \int_0^R \frac{\mu_0I^2r^2}{8\pi^2 R^4}\,2\pi rl\,{\rm d}r = \frac{\mu_0I^2l}{4\pi R^4} \int_0^R r^3\,{\rm d}r = \frac{\mu_0I^2l}{4\pi R^4} \frac{R^4}{4} = \frac{\mu_0lI^2}{16\pi}.\]

    Protože pro energii magnetického pole v případě, že materiál vodiče není feromagnetický, platí také vztah

    \[E = \frac{1}{2}LI^2,\ \]

    dostáváme pro vlastní indukčnost L kabelu výraz

    \[L = \frac{2E}{I^2} = \frac{\mu_0l}{8\pi}.\]

    Povšimněme si, že výsledek je nezávislý na poloměru vodiče.

  • Odpověď

    Pro vlastní indukčnost L kabelu platí

    \[L = \frac{\mu_0l}{8\pi}.\]
  • Podobná úloha

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze