Ztrátový výkon elektrárny

Úloha číslo: 170

Elektrická energie se přenáší z elektrárny do místa spotřeby dálkovým vedením o odporu 0,2 Ω. Výkon elektrárny je 70 kW a napětí, při kterém se tento výkon přenáší, je

a) 14 kV,
b) 140 V.
Určete pro oba případy ztrátový výkon. Na základě výsledku zdůvodněte, jaké napětí je pro dálkové přenosy energie vhodnější.

  • Zápis

    Ze zadání známe:

    Odpor dálkového vedení:R = 0,2 Ω
    Výkon elektrárny:P = 70 kW = 70000 W
    a) Napětí, při kterém se výkon přenáší:  Ua = 14 kV= 14000 V
    b) Napětí, při kterém se výkon přenáší:  Ub = 140 V

    Chceme určit:

    a) Ztrátový výkon:PZa = ? (W)
    b) Ztrátový výkon:PZb = ? (W)
    Jaké napětí se používá pro dálkové přenosy energie?

  • Nápověda

    Uvědomte si, že zadaná napětí jsou napětí „zdroje“. Elektrické vedení toto napětí pouze přenáší do místa spotřeby.

  • Nápověda - Ztrátový výkon

    Ztrátový výkon je výkon, který se „během cesty od elektrárny ke spotřebiči“ změní v Jouleovo teplo. To je způsobeno odporem vodiče, kterým se elektrický proud z elektrárny vede.

  • Rozbor

    Výkon elektrického proudu je dán součinem proudu a napětí. Měníme-li napětí, při kterém daný výkon přenášíme, musíme měnit i proud, aby výkon zůstal stejný.

    Vzorec pro ztrátový výkon snadno upravíme tak, aby byl funkcí odporu vodiče a proudu, protože neznáme ztrátové napětí (= úbytek napětí na vedení). Tento proud vypočteme pomocí výkonu elektrárny. Vzorec pro výkon jako funkci odporu vodiče a proudu můžeme použít, protože induktance i kapacitance budou mít velmi malou hodnotu vzhledem k odporu vodiče.

  • Řešení

    Výkon elektrárny si můžeme vyjádřit jako

    \[P=UI.\]

    Proud, který protéká elektrárnou, je stejný jako proud, který protéká vodiči.

    Ztrátový výkon ve vodiči si vyjádříme jako

    \[P_\mathrm{Z}=U_\mathrm{Z} I.\]

    Neznáme ztrátové napětí, ale pomocí Ohmova zákona si ho můžeme vyjádřit jako

    \[U_\mathrm{Z}=R\,I\mathrm{,}\]

    kde R je odpor vodiče.

    Dosadíme do vzorce pro ztrátový výkon:

    \[P_\mathrm{Z}=RI^2.\]

    Vyjádříme-li si proud pomocí výkonu elektrárny, dostaneme pro ztrátový výkon vyjádření:

    \[P_\mathrm{Z}=R\,\frac{P^2}{U^2}\,.\]

    a) Dosadíme:

    \[P_\mathrm{Za}=R\,\frac{P^2}{(U_a)^2}=0{,}2\cdot\frac{70000^2}{14000^2}\,\mathrm W=5\,\mathrm W.\]

    b) Dosadíme:

    \[P_\mathrm{Zb}=R\,\frac{P^2}{(U_b)^2}=0{,}2\cdot\frac{70000^2}{140^2}\,\mathrm W=50\,\mathrm kW.\]
  • Odpověď

    Při přenosovém napětí 14 kV je ztrátový výkon 5 W. Při přenosovém napětí 140 V je ztrátový výkon 50 kW.

    Z těchto výsledků je vidět, že pro přenos elektrického výkonu používáme vysoké napětí, abychom zmenšili ztráty na přívodním vedení.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na výklad, vysvětlení smyslu nebo významu, zdůvodnění
Úloha na hodnocení
Pl translation
Zaslat komentář k úloze