Určení znaménka dvou bodových nábojů II

Úloha číslo: 1019

Dva bodové náboje Q1, Q2 jsou umístěny ve vzdálenosti l od sebe. Na obrázku je závislost Ex na x. Určete znaménka a poměr velikostí nábojů, víte-li, že intenzita je nulová v bodě ve vzdálenosti x1 od náboje Q1. Dále určete vzdálenost x2, v níž je velikost intenzity maximální.

Poznámka: \(E_x > 0\), je-li orientována vpravo, a \(E_x < 0\), je-li orientována vlevo.

Graf závislosti
  • Nápověda

    Jaká je závislost intenzity na vzdálenosti od bodového náboje?

    Co vám o daném náboji řekne jeho intenzita?

  • Rozbor

    Víme, že náboj je kladný, směřuje-li vektor intenzity od něj, a záporný, směřuje-li tento vektor k němu. Podle toho a poznámky v zadání určíme znaménko náboje Q2.

    V bodě ve vzdálenosti x1 od náboje Q1 je celková intenzita rovna nule. To znamená, že velikosti intenzit od obou nábojů se v tomto bodě rovnají.

    K určení vzdálenosti, kde je intenzita maximální, použijeme funkční závislost velikosti celkové intenzity na vzdálenosti od náboje Q1. Poté určíme extrém této funkce.

  • Řešení

    Víme, že náboj je kladný, směřuje-li vektor intenzity od něj, a záporný, směřuje-li tento vektor k němu. Z grafu vidíme, že intenzita směřuje k náboji Q2, a proto je náboj Q2 záporný.

    O něco složitější je určení znaménka druhého náboje, protože neznáme průběh intenzity v jeho okolí. Kdyby měl tento náboj stejné znaménko jako Q2, měly by intenzity elektrických polí obou nábojů vpravo od náboje Q1 stejný směr. V takovém případě by však v žádném bodě ležícím napravo od náboje Q1 nemohla být celková intenzita elektrického pole nulová, což podle grafu v zadání zjevně je. Náboj Q1 tedy musí být kladný.

    V bodě ve vzdálenosti x1 od náboje Q1 je celková intenzita rovna nule. To znamená, že velikost intenzity obou nábojů je v tomto bodě stejná \[ E_1=E_2.\] Dosadíme vztah pro intenzitu uvedený v nápovědě

    \[ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{x^2_1}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{(x_1-l)^2} \] a vyjádříme poměr velikostí obou nábojů \[ \frac{Q_1}{Q_2}=\left(\frac{x_1}{x_1-l}\right)^2. \]

    Nyní nám již zbývá pouze určit, v kterém bodě bude intenzita maximální. Proto určíme závislost velikosti celkové intenzity E na vzdálenosti x od náboje Q1. Vzhledem k tomu, že náboje mají opačné znaménko a bod, ve kterém intenzitu počítáme leží na jejich spojnici, velikost celkové intenzity E určíme jako rozdíl velikostí intenzit od prvního náboje E1 a od druhého náboje E2 (toto platí vpravo od druhého náboje, tj. pro x > l, což je oblast, ve které hledáme maximum).

    \[ E=E_1-E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{x^2}-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{(x-l)^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left [\frac{Q_1}{x^2}-\frac{Q_2}{(x-l)^2}\right ]. \]

    Hledáme maximum této funkce, to znamená, že ji zderivujeme a derivaci položíme rovnu nule.

    \[ \frac{\mathrm dE}{\mathrm dx}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{-2Q_1}{x^3}-\frac{-2Q_2}{(x-l)^3}\right]=0.\]

    Nyní výraz upravíme a dostáváme rovnici \[\frac{Q_1}{x^3}=\frac{Q_2}{(x-l)^3}.\] Odtud vyjádříme vzdálenost x. \[\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{(x-l)^3}{x^3}\] \[\frac{x-l}{x}=\sqrt[3]{\frac{Q_2}{Q_1}}\] \[1-\frac{l}{x}=\sqrt[3]{\frac{Q_2}{Q_1}}\] \[-\frac{l}{x}=\sqrt[3]{\frac{Q_2}{Q_1}}-1\] \[x=\frac{l}{1-\sqrt[3]{\frac{Q_1}{Q_2}}}\]

    Určili jsme vzdálenost x, která už je hledanou vzdáleností x2.

  • Odpověď

    Náboj Q2 je záporný a Q1 kladný.

    Poměr velikostí nábojů je \(\frac{Q_1}{Q_2}=\left(\frac{x_1}{x_1-l}\right)^2\).

    Vzdálenost, ve které je intenzita maximální je dána vztahem \[x_2=\frac{l}{1-\sqrt[3]{\frac{Q_1}{Q_2}}}. \]

  • Průběh elektrické intenzity podél osy x

    Graf elektrické intenzity

    Graf celkové intenzity je sestrojen tak, že v průsečíku os se nachází náboj Q1 a v bodě L desetkrát menší náboj Q2. Body X1 (průsečík grafu s osou x) a X2 (lokální maximum) znázorňují vzdálenosti uvedené v zadání. Část grafu, která je vpravo od bodu L odpovídá grafu v zadání, který je sestrojen v jiném měřítku, proto by se na první pohled mohlo zdát, že si grafy neodpovídají. Šipky v grafu znázorňuji směr, ale ne velikost, elektrických intenzit obou nábojů v jednotlivých úsecích. Modré šipky znázorňují intenzitu náboje Q1 a zelené intenzitu náboje Q2.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na analýzu
Zaslat komentář k úloze