Transformátor

Úloha číslo: 40

Primární vinutí transformátoru má 500 závitů a sekundární vinutí 10 závitů.

a) Jaké je sekundární napětí, je-li sekundární obvod rozpojený a primární napětí je 120 V?

b) Jaký poteče proud v primárním a sekundárním vinutí, je-li sekundární vinutí připojeno k odporové zátěži 15 Ω?

Zápis

Ze zadání známe:

Počet závitů primární cívky:	N₁ = 500
Počet závitů sekundární cívky:	N₂ = 10
a) Primární napětí:	U₁ = 120 V
b) Sekundární vinutí připojeno k odporové zátěži:	R = 15 Ω

Chceme určit:

a) Sekundární napětí:	U₂ = ? (V)
b) Proud v primárním vinutí:	I₁ = ? (A)
Proud v sekundárním vinutí:	I₂ = ? (A)

Nápověda a)
Část a) budeme řešit pomocí vztahu mezi napětím na cívkách transformátoru a počtem jejich závitů.
Nápověda: Transformátor, transformační poměr
Střídavé napětí lze měnit na jiné napětí téže frekvence pomocí transformátoru. Funkce transformátoru je založena na elektromagnetické indukci. Na společném uzavřeném jádře jsou nasazeny dvě cívky. Primární cívka je připojena ke zdroji střídavého napětí. Průchodem proudu primární cívkou se vytvoří v jádře proměnné magnetické pole. Toto proměnné magnetické pole indukuje v závitech sekundární cívky napětí. Protože magnetické pole je pro všechny závity společné, je na každém závitu primární i sekundární cívky stejné napětí U_z.

Napětí na primární cívce je \(U_1=N_1 U_z\),

napětí na sekundární cívce je \(U_2=N_2 U_z\),

kde N₁ a N₂ jsme si označili počet závitů primární a sekundární cívky.

Napětí jednoho závitu:
\[U_\mathrm{z}=\frac{U_2}{N_2}=\frac{U_1}{N_1}.\]
Odtud vyjádříme:
\[\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1}=k.\]
Číslo k nazýváme transformačním poměrem.
Nápověda b)
K řešení části b) využijeme výkon elektrického proudu. Pro ideální transformátor platí, že výkon na primární cívce se rovná výkonu na cívce sekundární. Použijeme také Ohmův zákon.
Rozbor
Pro cívky transformátoru platí, že podíl napětí na obou cívkách je stejný jako podíl počtu jejich závitů. Tento podíl nazýváme transformační poměr.

Je-li sekundární obvod rozpojený, transformuje se z primární cívky napětí na sekundární cívku úměrně transformačnímu poměru. Sekundární napětí vyjádříme z poměru mezi počtem závitů cívek a pomocí napětí na primární cívce.

V ideálním případě platí, že výkon odebíraný ze sekundární cívky je roven výkonu na primární cívce. Výkon sekundární cívky vyjádříme pomocí napětí, které jsme si vypočítali v oddíle a), a odporu, ke kterému je cívka připojena. Výkony na cívkách porovnáme. Protože napětí v obou obvodech známe, vyjádříme primární proud. Sekundární proud určíme z Ohmova zákona.
a) Řešení

K řešení úlohy využijeme toho, že poměr napětí na sekundární a primární cívce je stejný jako poměr počtu jejich závitů:
\[k=\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1}.\]
Vyjádříme neznámé sekundární napětí:

\[U_2=\frac{N_2}{N_1}\,U_1\] .

Číselně dosadíme:
\[U_2=\frac{10}{500}\cdot 120 \,\mathrm{V}=2{,}4 \,\mathrm{V}.\]
b) Řešení

Sekundární proud získáme z Ohmova zákona. V obvodu máme zapojen rezistor o známém odporu a napětí jsme určili v předchozí části:

\[I_2=\frac{U_2}{Z},\]

\[I_2=\frac{U_2}{R}.\]

Při výpočtu primárního proudu budeme předpokládat, že se jedná o ideální transformátor, tj. že nedochází ke ztrátám. Potom pro výkony na cívkách platí

\[P_1=P_2.\]

Pro výkon P₁ platí

\[P_1=U_1\,I_1.\]

Výkon P₂ si můžeme vyjádřit jako

\[P_2=U_2 I_2=\frac{(U_2)^2}{R}.\]

Dosadíme do předchozího vztahu a vyjádříme si hledaný primární proud:

\[U_1 I_1=\frac{(U_2)^2}{R}\]

\[I_1=\frac{(U_2)^2}{U_1 R}.\]

Číselné dosazení:

Primární proud:

\[I_1=\frac{(2{,}4)^2}{120 {\cdot} 15}\,\mathrm{A}=3{,}2 \,\mathrm{mA}\]

Sekundární proud:

\[I_2=\frac{2{,}4}{15}\,\mathrm{A}=0{,}16\,\mathrm{A}\]
Odpověď
Je-li sekundární obvod rozpojený, má sekundární napětí hodnotu 2,4 V.

Připojíme-li sekundární cívku k odporové zátěži, je primární proud 3,2 mA a sekundární proud je 0,16 A.
Odkaz na experiment
Úlohu lze propojit s experimentem Indukované napětí.