Měnící se magnetický tok solenoidem
Úloha číslo: 477
Určete, kolik závitů musí mít solenoid, aby se v něm indukovalo napětí 30 V, změní-li se v jeho dutině magnetický indukční tok z 50 mWb na 20 mWb za čas 0,10 s.
Nápověda
Při určení počtu závitů solenoidu vyjděte z Faradayova zákona elektromagnetické indukce, který říká, že velikost elektromotorického napětí, které se v solenoidu indukuje, je úměrné změně magnetického indukčního toku solenoidem za daný čas. Indukované napětí je také úměrné počtu závitů solenoidu.
Rozbor
Elektromotorické napětí, které se indukuje v jednom závitu solenoidu, je rovno časové změně magnetického indukčního toku. Pokud nás zajímá velikost indukovaného napětí v celém solenoidu, vynásobíme vztah celkovým počtem závitů.
Změnu magnetického toku za čas určíme jako rozdíl dvou hodnot magnetických toků.Řešení
Při určování počtu závitů solenoidu vyjdeme z Faradayova zákona elektromagnetické indukce. Matematický zápis tohoto vztahu má tvar
\[|U_\mathrm{i}|=N|\frac{\mathrm{\Delta}\Phi}{\mathrm{\Delta} t}|,\tag{1}\]kde za ΔΦ dosadíme velikost rozdílu magnetických toků:
\[|\mathrm{\Delta}\Phi |= |\Phi_2 - \Phi_1|.\]Výraz dosadíme do rovnice (1):
\[|U_\mathrm{i}|=N\frac{|\Phi_2 - \Phi_1|}{\mathrm{\Delta}t}\]a vyjádříme počet závitů N:
\[N=\frac{|U_\mathrm{i}|}{|\Phi_2 - \Phi_1|}\,\mathrm{\Delta}t.\]Poznámka: Indukované napětí i rozdíl magnetických toků píšeme do absolutních hodnot, protože nás zajímá pouze jejich velikost.
Zápis a číselné dosazení
\(U_\mathrm{i}=30\,\mathrm{V}\) velikost indukovaného napětí v solenoidu \(\Phi_1=\,50\,\mathrm{mWb}=\,50{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{Wb}\) počáteční magnetický indukční tok \(\Phi_2=\,20\,\mathrm{mWb}=\,20{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{Wb}\) konečný magnetický indukční tok \(\mathrm{\Delta}t=\,0{,}10\,\mathrm{s}\) doba, po kterou změna magnetického indukčního toku probíhá \(N=\,?\) počet závitů cívky
\[N=\frac{|U_\mathrm{i}|}{|\Phi_2 - \Phi_1|}\,\mathrm{\Delta}t=\frac{30}{|20{\cdot}10^{-3} - 50{\cdot}10^{-3}|}\cdot0{,}10=100\]Odpověď
Aby se v solenoidu indukovalo napětí 30 V, změní-li se magnetický indukční tok za čas 0,10 s, musí mít solenoid 100 závitů.
