Vlastní indukce solenoidu
Úloha číslo: 63
Dlouhý válcový solenoid se 100 závity na 1 cm má poloměr 1,6 cm. Předpokládejte, že magnetické pole uvnitř solenoidu je rovnoběžné s jeho osou a je homogenní.
a) Jaká je indukčnost solenoidu připadající na 1 metr jeho délky?
b) Jaké elektromotorické napětí se indukuje na 1 metr délky solenoidu, je-li změna proudu 13 As-1?
Nápověda
Promyslete si, jak vypadá vztah pro elektromagnetické napětí indukované v cívce. Na jakých veličinách a jak závisí indukčnost cívky?
Rozbor
V celé úloze budeme pracovat s počtem závitů cívky N/m. Snadnou úvahou dopočítáme, že jestliže na 1 cm je 100 závitů, tak na jeden metr jich je 10 000. Můžeme si také představovat, že se jedná o cívku dlouhou 1 m s 10 000 závity.
a) Indukčnost cívky je definována jako
\[L=\frac{\Phi}{I}.\]Celkový magnetický tok je dán součinem počtu závitů (v našem případě počtu závitů na 1 metr) a magnetického toku jedním závitem, při jehož výpočtu využijeme vztah pro magnetickou indukci uvnitř solenoidu.
b) Proud tekoucí jedním závitem cívky vytváří uvnitř závitu magnetický indukční tok, který je přímo úměrný proudu. Všech N závitů cívky vytváří celkový tok NΦ. Elektromagnetické napětí, které se v cívce indukuje, určíme jako podíl celkového toku a změny času. Za celkový tok dosadíme ze vzorce pro indukčnost cívky.
Řešení
a) Indukčnost solenoidu je definována jako konstanta úměrnosti mezi celkovým magnetickým tokem závity cívky a protékajícím proudem:
\[N\Phi = LI,\]kde N je počet závitů na jeden metr, tedy N = 10 000. Magnetický indukční tok Φ je tok jedním závitem. Jelikož je magnetické pole homogenní, platí pro něj:
\[\Phi = BS\cos\,\alpha.\]Magnetická indukce B je všude kolmá na průřez, cos α = 1, kde α je úhel mezi magnetickou indukcí B a kolmicí na plochu, tedy α = 0°. Solenoid má kruhový průřez a pro jeho plochu tedy platí:
\[S=\pi R^{2}.\]Za magnetickou indukci B dosadíme vztah pro magnetickou indukci uvnitř cívky:
\[B = \mu_0 NI.\]Po dosazení jednotlivých vztahů do prvního vztahu dostáváme:
\[N\mu_0 NI\pi R^{2}=LI.\]Vyjádříme neznámou indukčnost L:
\[L=\mu_0 \pi N^{2}R^{2}.\]b) Pro elektromagnetické napětí indukované v cívce platí vztah:
\[|U_\mathrm{i}| =\left| \frac {\mathrm{d}(N\Phi)}{\mathrm{d} t} \right|.\]Pro indukčnost L jednoho metru cívky platí:
\[N \Phi = L I.\]Za výraz NΦ dosadíme ze vzorce pro indukčnost cívky, tím dostaneme ve vzorci změnu proudu za čas, kterou známe ze zadání:
\[|U_\mathrm{i}| =L \frac {\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}.\]Zápis a číselné dosazení
\(n = 10\,000\,\mathrm{m^{-1}}\) hustota závitů solenoidu \(r=1{,}6\,\mathrm{cm} = 0{,}016\,\mathrm{m}\) poloměr solenoidu \(\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = 13\,\mathrm{As^{-1}}\) změna proudu \(L = \mathrm{?}\,\mathrm{(H)}\) indukčnost solenoidu \(U_\mathrm{i} = \mathrm{?}\,\mathrm{(V)}\) elektromotorické napětí solenoidu
\[L=\mu_0 \pi n^{2}R^{2}=4 \pi \cdot10^{-7}\cdot \pi \cdot 10^{8} \cdot 0{,}016^{2}\,\mathrm{H} = 0{,}1\,\mathrm{H} \] \[|U_\mathrm{i}| =L \, \frac {d I}{d t}= 0{,}1 {\cdot} 13 \,\mathrm{V}=1{,}3\,\mathrm{V}\]Odpověď
Jeden metr solenoidu má indukčnost L = 0,1 H.
V solenoidu se v každém metru indukuje napětí Ui = 1,3 V.
