Pole nabité válcové plochy
Úloha číslo: 445
Nekonečně dlouhá tenká válcová plocha o poloměru R je nabita nábojem s plošnou hustotou σ.
1) Najděte vztah pro intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti z od osy válcové plochy.
2) Určete také potenciál ve vzdálenosti z od osy válce.
Uvažujte pole uvnitř i vně válcové plochy, tzn. najděte průběh elektrické intenzity a potenciálu pro z v intervalu „od nuly až do nekonečna“.
Nápověda: Intenzita elektrického pole
Protože k řešení úlohy se hodí využít Gaussovu větu, je třeba si rozmyslet, jakou Gaussovu plochu zvolíme.
Vhodnou Gaussovou plochou je povrch válce o poloměru z, jehož osa splývá s osou nabité válcové plochy. V takovém případě je díky symetrii rozložení náboje vektor elektrické intenzity ve všech místech kolmý na plášť válce a rovnoběžný s podstavami. (Viz oddíl Jak volit Gaussovu plochu? v úloze Pole rovnoměrně nabité koule.)
Úlohu rozdělíme na dva případy:
- Poloměr Gaussova válce je větší než poloměr nabité válcové plochy.
- Poloměr Gaussova válce je menší než poloměr nabité válcové plochy.
Nápověda: Elektrický potenciál
Potenciál je potenciální energie vztažená na jednotkový náboj
\[\varphi\,=\, \frac{E_\mathrm{p}}{Q}\]a potenciální energie je rovna záporně vzaté práci, kterou musí vykonat elektrická síla, aby přenesla náboj z místa s nulovou potenciální energií (v našem případě z povrchu válcové plochy) do daného místa:
\[E_\mathrm{p}(z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_\mathrm{R} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Obě strany rovnice vydělíme nábojem Q:
\[\varphi\,=\, - \int^\mathrm{z}_\mathrm{R} \frac{\vec{F}} {Q}\cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Jestliže sílu \(\vec{F}\) vydělíme nábojem Q, získáme intenzitu elektrického pole \(\vec{E}\):
\[\varphi\,=\, - \int^\mathrm{z}_\mathrm{R} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Rozbor
Úlohu si rozdělíme na dvě části. Budeme zkoumat zvlášť pole uvnitř nabité válcové plochy a zvlášť pole vně válcové plochy.
Vzhledem k symetrickému rozložení náboje je nejjednodušším způsobem nalezení intenzity elektrického pole v tomto případě využití Gaussovy věty. Gaussova věta vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity uzavřenou plochou a celkovým nábojem, který se nachází uvnitř této plochy.
Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od osy válcové plochy směrem ven a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od osy válcové plochy. Důvodem je symetrické rozložení náboje na povrchu válcové plochy. Pro zdůvodnění nám může pomoci následující představa. Náboj je na povrchu rozložen rovnoměrně, a proto nepoznáme žádný rozdíl, pokud válcovou plochu otočíme libovolně kolem její osy. Pole kolem válcové plochy musí zůstat stále stejné, a proto i vektory intenzity musím mít v daném místě při různých natočeních válcové plochy stále stejný směr a velikost.
Gaussovou plochou zvolíme povrch válce, jehož osa splývá s osou nabité válcové plochy. V tomto případě je vektor elektrické intenzity kolmý na plášť válce a zároveň rovnoběžný s podstavami válce. Tím se nám zjednoduší výpočet toku intenzity.
Počítáme-li intenzitu vně válcové plochy, bude mít Gaussův válec větší poloměr než nabitá válcová plocha. Uvnitř ní je tedy veškerý náboj rozložený na válcové ploše, vyjádříme ho pomocí hustoty náboje a obsahu nabité válcové plochy.
Počítáme-li intenzitu uvnitř nabité válcové plochy, bude Gaussův válec mít menší poloměr než nabitá válcová plocha. Uvnitř plochy není uzavřený žádný náboj, a proto je zde intenzita rovna nule.
Potenciál vypočítáme z elektrické intenzity. Potenciál v daném místě se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do tohoto místa. Nulový potenciál zvolíme na povrchu válcové plochy. (Podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě.)
Řešení: Intenzita vně válcové plochy
V tomto oddíle určíme intenzitu elektrického pole vně nabité válcové plochy tzn. pro z > R.
Využijeme Gaussovu větu:
\[\oint_\mathrm{S} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\,,\] \[\oint_\mathrm{S} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}.\tag{*}\]Náboj je na válcové ploše rozložen symetricky, proto je i elektrické pole vytvořené válcovou plochou symetrické. Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od osy válce (tj. je kolmý na povrch válce) a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od osy válce.
Jako Gaussovu plochu volíme povrch válce, jehož osa splývá s osou nabitého válce (na obrázcích vyznačen zeleně). Celkový tok intenzity plochou získáme sečtením toku podstavami a pláštěm válce.
Tok podstavami:Vektor elektrické intenzity je rovnoběžný s podstavami Gaussova válce a tok elektrické intenzity podstavami je tedy nulový. Celkový tok Gaussovou plochou je tedy roven pouze toku pláštěm válce.
Tok pláštěm:Vektor elektrické intenzity je vždy kolmý k povrchu pláště válce, a proto platí \(\vec{E} \cdot \vec{n}\,=\,En\,=\,E\) (pozn. \(\vec{n}\) je jednotkový vektor).
S využitím těchto poznatků si upravíme integrál na levé straně Gaussovy věty:
\[\oint_\mathrm{pl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,\oint_\mathrm{pl} E n\mathrm{d}S\,=\, \oint_\mathrm{pl} E\mathrm{d}S\,.\]Velikost vektoru elektrické intenzity E je ve všech místech zvolené plochy stejná, a proto ji můžeme vyjmout před integrál jako konstantu. Dostáváme tedy vztah
\[\oint_\mathrm{pl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E \oint_\mathrm{pl} \mathrm{d}S\,=\,E S_\mathrm{pl}\,,\]kde Spl = 2πzh je obsah pláště Gaussova válce (h je délka válce):
\[\oint_\mathrm{pl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E\, 2 \pi z h.\]Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*):
\[E 2 \pi z h\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}.\]Vyjádříme velikost intenzity:
\[E \,=\, \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 z h}.\tag{**}\]Zbývá vyjádřit náboj Q uvnitř zvolené Gaussovy plochy pomocí zadaných veličin.
Uvnitř plochy je nabitá válcová plocha o výšce h, náboj tedy můžeme vyjádřit pomocí jejího obsahu S a plošné hustoty náboje σ:
\[Q\,=\,S \sigma\,=\, 2 \pi R h \sigma.\]Dosadíme do vzorce (**) a upravíme:
\[E \,=\, \frac{2 \pi R h \sigma}{2 \pi \varepsilon_0 z h}.\]Ve vzdálenosti z má elektrické pole nabitého válce intenzitu:
\[E \,=\, \frac{ R \sigma}{ \varepsilon_0}\,\frac{1}{ z }\,.\]Vidíme, že velikost intenzity E klesá nepřímo úměrně se vzdáleností z od středu válcové plochy.
Řešení: Intenzita uvnitř válcové plochy
Intenzitu elektrického pole uvnitř nabité válcové plochy určíme opět pomocí Gaussovy věty:
\[\oint_\mathrm{S} E \cdot \mathrm{d}S \,=\, \frac{Q}{\epsilon_0}\,,\]
kde Q je náboj uzavřený uvnitř Gaussovy plochy.
Jako Gaussovu plochu zvolíme opět plášť válce, jehož osa splývá s osou válcové plochy o poloměru z. Tok intenzity touto plochou (tj. levou stranu Gaussovy věty) spočítáme úplně stejně jako v předchozím případě:
\[\oint_\mathrm{S} \vec{E}\cdot \vec{n} \mathrm{d}S\,=\,E S_\mathrm{pl}.\]
Protože zvolená plocha je uvnitř nabité válcové plochy, není v ní uzavřen žádný náboj, tj. Q = 0:
\[ E S_\mathrm{pl}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\,=\,0 \hspace{40px} \Rightarrow \hspace{40px} E\,=\,0.\]Intenzita elektrického pole uvnitř válcové plochy je tedy rovna nule.
Řešení: Potenciál vně válcové plochy
Potenciál v bodě A se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do bodu A. Nulový potenciál zvolíme na povrchu válcové plochy (podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě):
\[\varphi (z)\,=\, - \int_\mathrm{R}^\mathrm{z} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Pozn.: Pokud bychom volili nulový potenciál v nekonečnu jako u většiny úloh, nemohli bychom integrál dopočítat. Podobně jako v úloze Pole rovnoměrně nabité roviny v oddíle Potenciál.
Potenciál nezávisí na volbě integrační cesty, proto ji můžeme volit libovolně. V této úloze jako integrační cestu zvolíme část přímky, která směřuje kolmo na osu válcové plochy.
Vektor elektrické intenzity \(\vec{E}\) je rovnoběžný s vektorem \(\vec{z}\), proto můžeme integrál zjednodušit:
\[ \varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_\mathrm{R} E \mathrm{d}z. \]Nyní musíme úlohu opět rozdělit na dva případy a spočítat zvlášť potenciál vně a uvnitř válcové plochy.
Nejprve vyjádříme potenciál ve vzdálenosti z vně válcové plochy, tj. pro z > R:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_\mathrm{R} E \mathrm{d}z. \]Do integrálu dosadíme velikost intenzity, kterou jsme si vyjádřili v oddíle Intenzita pole vně válcové plohy:
\[E \,=\, \frac{ R \sigma}{ \varepsilon_0}\,\frac{1}{ z }\]a vytkneme před integrál všechny konstanty:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_\mathrm{R} \frac{ R \sigma}{ \varepsilon_0}\,\frac{1}{ z }\, \mathrm{d}z \,=\, - \frac{ R \sigma}{ \varepsilon_0} \int^\mathrm{z}_\mathrm{R}\frac{1}{z}\, \mathrm{d}z.\]Vypočítáme určitý integrál:
\[\varphi (z)\,=\,- \,\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\left[ \ln z\right]^\mathrm{z}_\mathrm{R}\,.\]Dosadíme meze integrálu a upravíme:
\[\varphi (z)\,=\,-\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\, \ln z\,+\,\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\, \ln R,\] \[\varphi (z)\,=\,\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\, \ln\frac{R}{ z}.\]Získali jsme velikost potenciálu vně válcové plochy ve vzdálenosti z.
Řešení: Potenciál uvnitř válcové plochy
Protože uvnitř válcové plochy je intenzita rovna nule, nebudeme při posouvání náboje uvnitř válce konat práci. Z toho plyně, že potenciální energie, a tedy i potenciál jsou uvnitř válcové plochy konstantní a zároveň stejné jako na povrchu válcové plochy.
Mohli bychom tedy do výsledku předchozího oddílu dosadit z = R. Nebo si stačí uvědomit, že na povrchu válce jsme zvolili potenciál roven nule.
Uvnitř válcové plochy bude tedy nulový potenciál.
Odpověď
Vně válcové plochy míří vektor intenzity elektrického pole od osy válcové plochy směrem ven a má velikost
\[E \,=\, \frac{ R \sigma}{ \varepsilon_0}\,\frac{1}{ z }\,.\]Uvnitř válcové plochy je intenzita elektrického pole nulová.
Elektrický potenciál vně válcové plochy má velikost
\[\varphi (z)\,=\,\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\, \ln\frac{R}{z}.\]Elektrický potenciál uvnitř nabité válcové plochy je nulový.
Grafy
Při kreslení grafů uvažujeme, že je válcová plocha nabita kladným nábojem.
Graf závislosti velikosti el. intenzity na vzdálenosti od osy válce
Uvnitř válcové plochy je intenzita elektrického pole nulová.
Vně válcové plochy míří vektor intenzity elektrického pole od osy válcové plochy směrem ven a má velikost
\[E \,=\, \frac{ R \sigma}{ \varepsilon_0}\,\frac{1}{ z }\,.\]
Graf funkce není spojitý. První část grafu (pro hodnoty z od 0 do R) tvoří konstantní funkce, která prochází počátkem. Ve vzdálenosti z = R se intenzita mění skokem na hodnotu \(E(R)\,=\,\frac{ \sigma}{ \varepsilon_0}\,.\) Pro vzdálenost z větší než R pak intenzita klesá.
Pozn.: Intenzita elektrického pole je spojitá s výjimkou bodů, kdy prochází nabitou plochou. Při průchodu nabitou plochou zůstávají spojité pouze tečné složky vektoru. Normálové složky se mění „skokem“, který je úměrný plošné hustotě náboje, což v našem případě platí.
Graf závislosti el. potenciálu na vzdálenosti od osy válce
Elektrický potenciál uvnitř nabité válcové plochy je nulový.
Elektrický potenciál vně válcové plochy má velikost
\[\varphi (z)\,=\,\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\, \ln \frac{R}{z}\,.\]První část grafu (pro hodnoty z od 0 do R) tvoří konstantní funkce, která prochází počátkem. Pro vzdálenost z větší než R pak potenciál klesá. Funkce je spojitá, můžeme se o tom přesvědčit, pokud do vztahu dosadíme z = R.
Pozn.: Elektrický potenciál je vždy spojitý, protože se jedná vlastně o práci při přenášení jednotkového náboje a ta se nemůže změnit „skokově“. Kromě bodů na nabitých plochách má potenciál spojité také první derivace, tj. je hladký.
Odkaz na podobnou úlohu
