Práce vykonaná při přenesení náboje

Úloha číslo: 180

Obdélník na obrázku má strany dlouhé a = 15 cm a b = 5 cm. V protilehlých vrcholech jsou umístěny náboje Q1 = −5 µC a Q2 = +2 µC. Jakou práci vykoná elektrická síla při přenesení třetího náboje Q3 = +3 µC z vrcholu A po úhlopříčce obdélníka do vrcholu B?

Přenášení náboje
  • Nápověda: Výpočet práce

    Práce vykonaná elektrickou silou při přenesení náboje v elektrickém poli závisí na velikosti přeneseného náboje a rozdílu potenciálu v počátečním a koncovém bodě.

  • Nápověda: Potenciál bodového náboje

    Potenciál pole bodového náboje závisí na velikosti a vzdálenosti náboje.

  • Rozbor

    Práce vykonaná elektrickou silou při přenesení náboje v elektrickém poli je rovna rozdílu elektrické potenciální energie v počátečním a koncovém bodě. (Je to stejné jako s prací tíhové síly v tíhovém poli. Práce vykonaná tíhovou silou je rovna tomu, o kolik se zmenší tíhová potenciální energie.)

    Potenciál v daném bodě je roven elektrické potenciální energii v tomto bodě vztažené na jednotkový náboj. Elektrická potenciální energie je tedy přímo úměrná elektrickému potenciálu v daném bodě a velikosti náboje umístěného v tomto bodě.

    Naše pole vytváří dva bodové náboje. V takovém případě je celkový potenciál roven součtu potenciálů pole jednoho a druhého náboje.

    Potenciál elektrického pole bodového náboje je přímo úměrný velikosti náboje a nepřímo úměrný vzdálenosti náboje od místa, kde potenciál zjišťujeme. Má stejné znaménko jako samotný náboj.

    Abychom tedy úlohu vyřešili, určíme nejprve potenciály v bodě A a B. Z nich určíme elektrickou potenciální energii třetího náboje v těchto místech. Práce, kterou vykonají elektrické síly, je pak rovná rozdílu těchto potenciálních energii.

  • Výpočet potenciálu v bodě A a B

    Práce vykonaná elektrickou silou na přenesení náboje v elektrickém poli je rovna rozdílu elektrické potenciální energie v počátečním bodě A a v koncovém bodě B.

    \[W\,=\,E_{pA} - E_{pB}\]

    Potenciál elektrického pole je potenciální energie vztažená na jednotkový náboj. Potenciální energii si tedy vyjádříme pomocí potenciálu Ep = Q3φ. Práci pak vypočítáme:

    \[W\,=\,Q_3\left( \varphi_A-\varphi_B\right)\,.\]

    V této části řešení spočítáme potenciály pole v bodech A a B a v následující části řešení pak dopočítáme práci.

    Potenciál pole vyvolaného prvním a druhým nábojem v bodě A je roven součtu potenciálů polí jednotlivých nábojů.

    \[\varphi_A \,=\,\varphi_{1A} + \varphi_{2A}\, ,\tag{1}\]

    kde φ1A je potenciál pole prvního náboje a φ2A potenciál pole druhého náboje v bodě A.

    Analogický vztah platí pro potenciál v bodě B.

    \[\varphi_B\,=\,\varphi_{1B}+\varphi_{2B}\tag{2}\]

    Pro elektrický potenciál pole bodového náboje Q ve vzdálenosti r od něj platí obecný vztah:

    \[\varphi\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r}\,.\]

    Náboj Q1 má od bodu A vzdálenost a. Potenciál pole vyvolaného prvním nábojem v bodě A je tedy:

    \[\varphi_{1A}\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q_1}{a}\,.\]

    Od bodu B má náboj Q1 vzdálenost b. Potenciál v bodě B je tedy:

    \[\varphi_{1B}\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q_1}{b}\,.\]

    Analogicky si vyjádříme potenciál pole vyvolaného druhým nábojem v bodě A:

    \[\varphi_{2A}\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q_2}{b}\,,\] \[\varphi_{2B}\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q_2}{a}\,.\]

    Vztahy dosadíme do vzorce (1) pro výpočet celkového potenciálu v bodě A

    \[\varphi_A \,=\,\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{Q_1}{a} + \frac{Q_2}{b}\right)\tag{*}\]

    a do vzorce (2) pro výpočet celkového potenciálu v bodě B.

    \[\varphi_B\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{Q_1}{b} + \frac{Q_2}{a}\right)\tag{**}\]

    Získali jsme celkové potenciály elektrického pole v bodech A a B.

  • Výpočet práce

    V předchozí části řešení jsme již řekli, že práce vykonaná elektrickou silou je přímo úměrná velikosti přeneseného náboje a rozdílu potenciálu pole v počátečním a koncovém bodě.

    \[W\,=\,Q_3\left( \varphi_A-\varphi_B\right)\tag{***}\]

    Potenciály v bodě A a B jsme spočítali v předchozím oddíle (Výpočet potenciálu v bodě A a B).

    \[\varphi_A \,=\,\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{Q_1}{a} + \frac{Q_2}{b}\right)\] \[\varphi_B\,=\,\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{Q_1}{b} + \frac{Q_2}{a}\right)\]

    Nyní oba vztahy pro potenciály dosadíme do vzorce pro výpočet práce (***).

    \[W\,=\,\frac{Q_3}{4 \pi \epsilon_0}\left[ \left(\frac{Q_1}{a} + \frac{Q_2}{b}\right)- \left(\frac{Q_1}{b} + \frac{Q_2}{a}\right)\right]\]

    Výraz budeme upravovat, abychom ho zjednodušili. Nejdříve dáme zlomky se stejným jmenovatelem k sobě.

    \[W\,=\,\frac{Q_3}{4 \pi \epsilon_0}\left( \frac{Q_1}{a} + \frac{Q_2}{b}- \frac{Q_1}{b} - \frac{Q_2}{a}\right)\,=\,\frac{Q_3}{4 \pi \epsilon_0}\left( \frac{Q_1-Q_2}{a} + \frac{Q_2-Q_1}{b} \right)\]

    Čitatele druhého zlomku v závorce upravíme tak, aby byl stejný jako čitatel prvního zlomku a mohli jsme ho vytknout.

    \[W\,=\,\frac{Q_3}{4 \pi \epsilon_0}\left( \frac{Q_1-Q_2}{a} - \frac{Q_1-Q_2}{b} \right)\]

    Čitatele zlomků vytkneme a tím získáme výsledný vztah pro výpočet vykonané práce.

    \[W\,=\,\frac{Q_3\left(Q_1-Q_2\right)}{4 \pi \epsilon_0}\left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(a\,=\,15\,\mathrm{cm}\,=\,1{,}5{\cdot}10^{-1}\,\mathrm{m}\)

    \(b\,=\,5\,\mathrm{cm}\,=\,5{\cdot}10^{-2}\,\mathrm{m}\)

    \(Q_1\,=\,-5\,\mathrm{\mu C}\,=\,-5{\cdot}10^{-6}\,\mathrm{ C}\)

    \(Q_2\,=\,+2\,\mathrm{\mu C}\,=\,+2{\cdot}10^{-6}\,\mathrm{ C}\)

    \(Q_3\,=\,+3\,\mathrm{\mu C}\,=\,+3{\cdot}10^{-6}\,\mathrm{ C}\)

    \(W\,=\,?\,\left(\mathrm{J}\right)\)

    Z tabulek:

    \(\varepsilon_0\,=\,8{,}85{\cdot} 10^{-12}\,\mathrm{ C^2\,N^{-1}\,m^{-2}}\)


    \[\begin{eqnarray} W\,&=&\,\frac{Q_3\left(Q_1-Q_2\right)}{4 \pi \epsilon_0} \,\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)\\ W\,&=&\,\frac{3{\cdot}10^{-6}\left(-5{\cdot}10^{-6}-2{\cdot}10^{-6}\right)}{4 \pi\cdot 8{,}85{\cdot} 10^{-12}} \,\cdot\left(\frac{1}{1{,}5{\cdot}10^{-1}} - \frac{1}{5{\cdot}10^{-2}} \right)\,\mathrm{J}\\ W\,&=&\,2{,}5 \, \mathrm{J}\end{eqnarray}\]
  • Odpověď

    Při přenesení náboje z vrcholu A do vrcholu B obdélníka vykoná elektrická síla práci

    \[W\,=\,\frac{Q_3\left(Q_1-Q_2\right)}{4 \pi \epsilon_0} \,\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)\,=\,2{,}5\,\mathrm{J}.\]
  • Co když vyjde práce záporná?

    Pokud je práce vykonaná elektrickou silou záporná, znamená to, že se náboj přesunul z místa s menší elektrickou potenciální energií do místa s větší elektrickou potenciální energií. V takovém případě nevykonala práci elektrická síla, ale práci vykonala vnější síla.

    Je to stejné jako v tíhovém poli. Pokud těleso padá (pohybuje se z místa z vyšší potenciální energií do místa s nižší potenciální energií) koná práci tíhová síla. Naopak pokud chceme, aby se těleso dostalo z místa s nižší potenciální energií do místa z vyšší potenciální energií, musí vykonat práci vnější síla.

    Práce vykonaná elektrickou silou a vnější silou je stejně velká, ale podle používané konvence se liší znaménkem.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2006). Fyzika, Část 3,
Elektřina a magnetismus (2. dotisk 1. českého vydání). Brno: VUTIUM. 
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2006). Fyzika, Část 3, Elektřina a magnetismus (2. dotisk 1. českého vydání). Brno: VUTIUM.
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze