Magnetická indukce v bodech na rovině souměrnosti dvou přímých vodičů

Úloha číslo: 470

Dva tenké nekonečné rovnoběžné vodiče jsou umístněny ve vzdálenosti 2L. Oběma prochází proud I. Směry proudů ve vodičích jsou opačné. Určete velikost a směr magnetické indukce v bodech roviny souměrnosti (tj. na rovině uprostřed mezi vodiči).

2 rovnoběžné vodiče s proudem
  • Nápověda

    Nakreslete si magnetické pole, které ve svém okolí vytváří přímý vodič s proudem.

    Výsledný vektor magnetické indukce se rovná součtu vektorů magnetických indukcí od obou vodičů.

  • Rozbor

    Velikost výsledné magnetické indukce určíme v obecném bodě P na rovině souměrnosti o, která je kolmá k rovině vodičů. Velikost výsledné magnetické indukce v tomto bodě se rovná vektorovému součtu vektorů magnetických indukcí od obou vodičů. Protože vodiči prochází proudy o stejné velikosti a bod, v němž určujeme výslednou magnetickou indukci, je od obou vodičů stejně vzdálen, budou mít magnetické indukce od obou vodičů v tomto bodě stejnou velikost. Lišit se budou pouze směrem, který určíme pomocí Ampérova pravidla prvé ruky.

  • Řešení

    Vektor výsledné magnetické indukce v bodě P na rovině souměrnosti o mezi vodiči určíme jako součet vektorů magnetických indukcí od jednotlivých vodičů

    \[\vec{B}=\vec{B_1}+\vec{B_2}.\]

    Směry jednotlivých magnetických indukcí určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky (viz obrázek).

    2 rovnoběžné vodiče s proudem

    Protože vodiči prochází stejně veliké proudy, vytváří v bodě P na rovině souměrnosti o magnetická pole o stejných velikostech. Pro jejich velikosti platí vztah

    \[B_1=B_2=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I}{R},\]

    kde I je proud procházející každým z vodičů a R je vzdálenost bodu P od vodiče, kterou vyjádříme jako

    \[R=\sqrt{L^2+x^2}.\]

    Pro velikost magnetické indukce B1 tak platí

    \[B_1=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I}{\sqrt{L^2+x^2}}.\]

     

    Z obrázku vidíme, že výsledná magnetická indukce \(\vec{B}\) bude ležet v rovině souměrnosti o. Její velikost B získáme tedy sečtením velikostí průmětů obou vektorů \(\vec{B_1}\) a \(\vec{B_2}\) do roviny o, tzn.

    \[B=B_1\cos{\varphi}+B_2\cos{\varphi}=2B_1\cos{\varphi}.\tag{1}\]

    Úhel φ vyjádříme pomocí vlastností pravoúhlého trojúhelníku (viz obrázek) jako

    \[\cos{\varphi}=\frac{L}{R}=\frac{L}{\sqrt{L^2+x^2}}.\]

    Vztahy pro velikost vektoru B1 a cosφ dosadíme do rovnice (1) pro velikost celkové magnetické indukce B

    \[B=2\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I}{\sqrt{L^2+x^2}}\,\frac{L}{\sqrt{L^2+x^2}}.\] Výraz upravíme a získáváme vztah pro velikost magnetické indukce B v libovolném bodě P na rovině souměrnosti o mezi vodiči \[B=\frac{\mu_oIL}{\pi(L^2+x^2)}.\]
  • Odpověď

    Vektor celkové magnetické indukce v bodech roviny souměrnosti leží v této rovině. Pro jeho velikost jsme odvodili vztah

    \[B=\frac{\mu_oIL}{\pi(L^2+x^2)}.\]
  • Komentář – Magnetická indukce ve středu mezi vodiči

    Vztah pro velikost výsledné magnetické indukce v rovině souměrnosti obou vodičů ověříme tím, že určíme velikost magnetické indukce ve středu mezi vodiči. To znamenám, že do vztahu

    \[B=\frac{\mu_oIL}{\pi(L^2+x^2)},\]

    dosadíme x = 0.

    Pro magnetickou indukci ve středu mezi vodiči pak platí vztah

    \[B=\frac{\mu_oI}{\pi L},\]

    který odpovídá součtu magnetických indukcí od jednotlivých vodičů s proudy o stejné velikosti a směru.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze