Sbírka řešených úloh

Jak spojit kondenzátory

Úloha číslo: 178

• Nápověda: Kapacita kondenzátorů

  Celková kapacita je menší než kapacita jednotlivých kondenzátorů, proto zkusíme kondenzátory zapojit sériově.

  Pro sériové zapojení kondenzátorů platí:

  \[\frac{1}{C}\,=\,\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\dots+\frac{1}{C_\mathrm{N}}\,.\]

  Při paralelním zapojení kondenzátorů se kapacity kondenzátorů sčítají:

  \[C\,=\,C_1+C_2+\dots +C_\mathrm{N}.\]

• Nápověda: Napětí na kondenzátorech

  Při sériovém napětí je celkové napětí rovno součtu napětí na jednotlivých kondenzátorech:

  \[U\,=\,U_1+U_2+\dots +U_\mathrm{N}.\]

  Při paralelním zapojení je napětí na všech větvích stejné:

  \[U\,=\,U_1\,=\,U_2\,=\,\dots\,=\,U_\mathrm{N}.\]

• Nápověda: Jak získat kapacitu 0,4 µF

  Celková kapacita je menší než kapacita jednotlivých kondenzátorů, proto zkuste kondenzátory zapojit sériově.

• Nápověda: Jak získat kapacitu 1,2 µF

  Při řešení zkuste využít výsledku z části a).

  Dala by se kapacita 1,2 µF získat pomocí kondenzátorů s kapacitou 0,4 µF?

• Rozbor

  U úloh tohoto typu bohužel není dán přesný postup, kterým bychom se mohli pokaždé řídit. Ale existuje několik poznatků, kterých můžeme využít.

  Zapojujeme-li jednotlivé kondenzátory paralelně, je celková kapacita vždy větší než kapacita jednotlivých kondenzátorů.

  Naopak zapojujeme-li kondenzátory sériově, je celková kapacita vždy menší než kapacita každého zapojeného kondenzátoru.

  V této úloze potřebujeme získat vždy celkovou kapacitu menší, než je kapacita jednoho kondenzátoru, proto musíme určitě aspoň některé kondenzátory zapojit sériově.

  Všimněte si, že kapacitu 1,2 µF můžeme získat pomocí kapacity 0,4 µF. V druhé části úlohy si tedy můžeme představit, že zapojujeme kondenzátory s kapacitou 0,4 µF a využít tak výsledku z části a).

• a) Řešení: Jak získat kapacitu 0,4 µF

  Protože chceme získat celkovou kapacitu menší, než je kapacita jednoho kondenzátoru, musíme zapojovat kondenzátory sériově. (Při paralelním zapojení se kapacita kondenzátorů sčítá, a tedy nemůžeme získat celkovou kapacitu menší, než je kapacita jednoho kondenzátoru.)

  Nejdříve vypočítáme, kolik kondenzátorů musíme zapojit, abychom získali kapacitu 0,4 µF. Až pak ověříme, zda tato soustava vydrží napětí 1000 V.

  Pro sériové zapojení kondenzátorů se stejnou kapacitou C platí:

  \[\frac{1}{C_\mathrm{c}}\,=\, \frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\dots+\frac{1}{C}\,.\]

  Na pravé straně je tolik členů, kolik kondenzátorů je zapojeno. Označíme-li tento počet x, můžeme zápis zjednodušit:

  \[\frac{1}{C_\mathrm{c}}\,=\, \frac{x}{C}.\]

  Odtud vyjádříme neznámý počet kondenzátorů x:

  \[x\,=\, \frac{C}{C_\mathrm{c}}.\]

  Číselně:

  \[x\,=\, \frac{2 \,\mathrm{\mu F}}{0{,}4\, \mathrm{\mu F}}\,=\,5\,.\]

  Abychom tedy získali kapacitu 0,4 µF, musíme zapojit sériově 5 kondenzátorů s kapacitou 2 µF.

  

  Nyní zjistíme, jaké napětí soustava vydrží.

  Každý kondenzátor vydrží napětí 200 V. Při sériovém zapojení získáme celkové napětí součtem napětí na všech kondenzátorech. Pokud tedy zapojíme 5 kondenzátorů, bude celkové napětí rovno \(U_\mathrm{c}\,=\,5U\,=\,5{\cdot}200\,\mathrm{V}\,=\,1\,000\,\mathrm{V}\).

  Soustava tedy požadované napětí vydrží.

  Poznámka: 5 kondenzátorů je nejmenší počet kondenzátorů, který musíme zapojit sériově, aby zapojení vydrželo napětí 1 000 V.

• b) Řešení: Jak získat kapacitu 1,2 µF

  Kapacita 1,2 µF je opět menší než kapacita jednotlivých kondenzátorů. Tentokrát ale nemůžeme kondenzátory zapojit pouze sériově, protože bychom museli zapojit méně kondenzátorů než v předchozí části (to je méně než 5) a v takovém případě by zapojení nevydrželo požadované napětí. Budeme tedy muset postupovat jinak.

  Všimněte si, že kapacita 1,2 µF je přesně třikrát větší než kapacita 0,4 µF. Abychom tedy zapojili správný počet kondenzátorů a získali kapacitu 1,2 µF, využijeme výsledku z první části úlohy. V první části jsme získali zapojení, které má celkovou kapacitu 0,4 µF. Můžeme si tedy představit, že máme další kondenzátor právě s touto kapacitou. Nyní tedy budeme zapojovat kondenzátory s kapacitou 0,4 µF.

  Zůstává tedy otázkou, kolik takových kondenzátorů je třeba zapojit, aby celková kapacita byla 1,2 µF. Tato kapacita je větší než kapacita jednoho kondenzátoru, budeme tedy kondenzátory zapojovat paralelně (při paralelním zapojení se kapacita kondenzátorů sčítá):

  \[C_\mathrm{c}\,=\,C+C+\dots+C.\]

  Abychom získali kapacitu 1,2 µF, musíme zapojit paralelně 3 kondenzátory s kapacitou 0,4 µF:

  \[C_\mathrm{c}\,=\,3C,\] \[1{,}2\,=\,3{\cdot} 0{,}4.\]

  Kondenzátory o kapacitě 0,4 µF nahradíme zpátky 5 sériově zapojenými kondenzátory s kapacitou 2 µF.

  Získali jsme tedy paralelní zapojení 3 skupin kondenzátorů, z nichž každá skupina se skládá z 5 sériově zapojených kondenzátorů.

  

  Otázkou ještě zůstává, zda tato soustava vydrží napětí 1 000 V. Při paralelním zapojení je celkové napětí stejné jako napětí na každé větvi. Z první části příkladu víme, že každá větev (5 sériově zapojených kondenzátorů) vydrží napětí 1 000 V. Tedy celé paralelní zapojení vydrží toto napětí také.

• Odpověď

  Abychom získali kapacitu 0,4 µF, musíme zapojit 5 kondenzátorů s kapacitou 2 µF sériově.

  

  Abychom získali kapacitu 1,2 µF, musíme zapojit paralelně tři skupiny kondenzátorů, z nichž každá skupina je složena z 5 sériově zapojených kondenzátorů s kapacitou 2 µF.

  

• Co dělat, pokud soustava nevydrží požadované napětí?

  Co můžeme udělat, pokud zapojíme kondenzátory sériově tak, aby zapojení mělo požadovanou kapacitu, ale bohužel toto zapojení nevydrží dané napětí?

  V takovém případě musíme připojit další kondenzátory tak, aby zapojení vydrželo požadované napětí. Ale tímto krokem jsme celkovou kapacitu opět zmenšili. Musíme tedy ještě připojit další kondenzátory paralelně, abychom kapacitu zvýšili na potřebnou hodnotu.

  Příklad: Co dělat, pokud bychom chtěli, aby naše zapojení vydrželo napětí 2 000 V?

  Máme zapojeno 5 kondenzátorů sériově. Toto zapojení má požadovanou kapacitu 0,4 µF a vydrží napětí 1 000 V. Co musíme udělat, aby zapojení vydrželo napětí 2 000 V?

  Aby soustava vydržela 2krát větší napětí, připojíme do obvodu 2krát tolik kondenzátorů (tedy 10). Jenže tím jsme celkovou kapacitu zmenšili na polovinu. Abychom tedy získali požadovanou kapacitu, připojíme paralelně další větev stejných 10 kondenzátorů zapojených sériově. Zapojení tedy bude mít kapacitu 0,4 µF a vydrží napětí 2 000 V.