Parametry baterie

Úloha číslo: 305

Baterie

Dává-li baterie proud 3 A, je její svorkové napětí 24 V. Při proudu 4 A klesne svorkové napětí na 20 V.

Jaký je zatěžovací odpor pro oba dva případy? Jaký je vnitřní odpor baterie a její elektromotorické napětí?

  • Nápověda

    Uvědomte si nebo vyhledejte, co jsou a jak vzájemně souvisejí zatěžovací odpor, elektromotorické a svorkové napětí baterie a vnitřní odpor baterie.

  • Rozbor

    Výpočet zatěžovacího odporu

    Zatěžovací odpor, tedy odpor na vnější části obvodu, vypočítáme podle Ohmova zákona pro část obvodu jako podíl napětí na vnější části obvodu a proudu, který obvodem protéká. Napětí na vnější části obvodu je rovno napětí, které lze změřit na svorkách baterie (tzv. svorkové napětí). Oba údaje máme zadány.

    Výpočet elektromotorického napětí a vnitřního odporu baterie

    Z Ohmova zákona pro uzavřený obvod víme, že celkový proud procházející obvodem se rovná podílu elektromotorického napětí a součtu vnitřního odporu baterie a zatěžovacího odporu.

    Protože známe celkový proud procházející obvodem pro dva různé zatěžovací odpory (které jsme určili v předchozím kroku), získáme z Ohmova zákona pro uzavřený obvod dvě rovnice o dvou neznámých, kterými jsou elektromotorické napětí a vnitřní odpor baterie.

  • Řešení

    Zatěžovací odpor R vypočítáme jako podíl svorkového napětí U a proudu I, který obvodem protéká. Tedy:

    \[R\,=\,\frac{U}{I}\,.\tag{1}\]

    Vnitřní odpor baterie a elektromotorické napětí vypočítáme pomocí Ohmova zákona pro uzavřený obvod:

    \[I\,=\,\frac{U_e}{R+R_i}\,.\tag{2}\]

    kde I je proud procházející obvodem, Ue je elektromotorické napětí, R odpor zátěže a Ri vnitřní odpor baterie.

    Z rovnice (2) vyjádříme elektromotorické napětí:

    \[U_e\,=\,I\left(R\,+\,R_i\right)\,.\]

    Protože známe celkový proud procházející obvodem pro dva různé zatěžovací odpory a tyto odpory vypočítáme ze vzorce (1), získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých Ue a Ri:

    \[U_e\,=\,I_1\left(R_1\,+\,R_i\right)\] \[U_e\,=\,I_2\left(R_2\,+\,R_i\right)\,.\]

    Řešením této soustavy získáme hledané elektromotorické napětí a vnitřní odpor baterie. Nejprve obě rovnice porovnáme:

    \[I_1\left(R_1\,+\,R_i\right)\,=\,I_2\left(R_2\,+\,R_i\right)\,.\]

    A dalšími úpravami vyjádříme vnitřní odpor baterie Ri:

    \[R_1I_1\,-\,R_2I_2\,=\,\left(I_2\,-\,I_1\right)R_i\] \[R_i\,=\,\frac{R_1I_1-R_2I_2}{I_2-I_1}\,.\]

    Ze vzorce (1) víme, že zatěžovací odpor vypočítáme jako podíl svorkového napětí a proudu procházejícího obvodem. Tedy:

    \[R_i\,=\,\frac{\frac{U_1}{I_1}I_1-\frac{U_2}{I_2}I_2}{I_2-I_1}\,.\]

    Konečný vztah pro výpočet vnitřního odporu baterie tedy je:

    \[R_i\,=\,\frac{U_1-U_2}{I_2-I_1}\,.\tag{3}\]

    Elektromotorické napětí nyní vypočítáme např. z první rovnice soustavy:

    \[U_e\,=\,I_1\left(R_1\,+\,R_i\right)\,,\]

    kam za odpor Ri dosadíme vztah (3), který jsme získali v předchozím kroku, za odpor R1 dosadíme rovnici (1):

    \[ U_e\,=\,I_1\left(\frac{U_1}{I_1} + \frac{U_1-U_2}{I_2-I_1}\right)\,. \]

    Členy v závorce převedeme na společného jmenovatele:

    \[ U_e\,=\,I_1\,\frac{U_1\left(I_2-I_1\right)+\left(U_1-U_2\right)I_1}{I_1\left(I_2-I_1\right)}\,. \]

    Člen I1 ve jmenovateli zlomku se zkrátí se členem I1, který je před zlomkem. Roznásobíme závorky v čitateli zlomku:

    \[ U_e\,=\,\frac{U_1I_2-U_1I_1+U_1I_1-U_2I_1}{I_2-I_1}\, \]

    a úpravou čitatele získáme konečný vztah pro elektromotorické napětí baterie:

    \[U_e\,=\,\frac{U_1I_2-U_2I_1}{I_2-I_1}\,.\]
  • Číselné dosazení

    Ze zadání úlohy víme, že:

    Protéká-li obvodem proud I1 = 3 A, je svorkové napětí baterie U1 = 24 V.

    Pokud obvodem teče proud I2 = 4 A, pak je svorkové napětí U2 = 20 V.

    Nyní dosadíme číselné hodnoty ze zadání úlohy do vztahů, které jsme odvodili v předchozím oddíle:

    \[R_1\,=\,\frac{U_1}{I_1}\,=\,\frac{24}{3}\,\mathrm{\Omega}\,=\,8\,\mathrm{\Omega}\] \[R_2\,=\,\frac{U_2}{I_2}\,=\,\frac{20}{4}\,\mathrm{\Omega}\,=\,5\,\mathrm{\Omega}\] \[R_i\,=\,\frac{U_1-U_2}{I_2-I_1}\,=\,\frac{24-20}{4-3}\,\mathrm{\Omega}\,=\,4\,\mathrm{\Omega}\] \[U_e\,=\,\frac{U_1I_2-U_2I_1}{I_2-I_1}\,=\,\frac{24{\cdot} 4-20{\cdot} 3}{4-3}\,\mathrm{V}\,=\,36\,\mathrm{V}\,.\]
  • Odpověď

    V prvním případě je zatěžovací odpor 8 Ω, ve druhém případě 5 Ω.

    Baterie má vnitřní odpor 4 Ω a elektromotorické napětí 36 V.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Hubeňák, J. (1997). Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu –
Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky
v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové.
Zpracováno v diplomové práci Marie Snětinové (2010).
×Původní zdroj: Hubeňák, J. (1997). Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu – Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové.
Zpracováno v diplomové práci Marie Snětinové (2010).
Zaslat komentář k úloze