Sbírka řešených úloh

Parametry baterie

Úloha číslo: 305

Dává-li baterie proud 3 A, je její svorkové napětí 24 V. Při proudu 4 A klesne svorkové napětí na 20 V.

Jaký je zatěžovací odpor pro oba dva případy? Jaký je vnitřní odpor baterie a její elektromotorické napětí?

• Nápověda

  Uvědomte si nebo vyhledejte, co jsou a jak vzájemně souvisejí zatěžovací odpor, elektromotorické a svorkové napětí baterie a vnitřní odpor baterie.

• Řešení nápovědy

  Zatěžovací odpor neboli odpor zátěže je celkový odpor vnější části obvodu.

  Svorkové napětí lze určit na svorkách baterie – je to napětí na vnější části obvodu.

  Elektromotorické napětí baterie je napětí mezi póly zdroje, který není zatížen vnějším spotřebičem. Když baterii zapojíme do obvodu, pak je svorkové napětí vždy menší než elektromotorické napětí, a to o úbytek napětí na vnitřním odporu baterie.

  Zatěžovací odpor vypočítáme jako podíl svorkového napětí a proudu, který prochází obvodem:

  \[R\,=\,\frac{U}{I}\,.\]

  Z Ohmova zákona pro uzavřený obvod víme:

  \[I\,=\,\frac{U_\mathrm{e}}{R+R_\mathrm{i}}\,.\]

  kde I je proud procházející obvodem, U_e je elektromotorické napětí, R odpor zátěže a R_i vnitřní odpor baterie.

• Rozbor

  Výpočet zatěžovacího odporu

  Zatěžovací odpor, tedy odpor na vnější části obvodu, vypočítáme podle Ohmova zákona pro část obvodu jako podíl napětí na vnější části obvodu a proudu, který obvodem protéká. Napětí na vnější části obvodu je rovno napětí, které lze změřit na svorkách baterie (tzv. svorkové napětí). Oba údaje máme zadány.

  Výpočet elektromotorického napětí a vnitřního odporu baterie

  Z Ohmova zákona pro uzavřený obvod víme, že celkový proud procházející obvodem se rovná podílu elektromotorického napětí a součtu vnitřního odporu baterie a zatěžovacího odporu.

  Protože známe celkový proud procházející obvodem pro dva různé zatěžovací odpory (které jsme určili v předchozím kroku), získáme z Ohmova zákona pro uzavřený obvod dvě rovnice o dvou neznámých, kterými jsou elektromotorické napětí a vnitřní odpor baterie.

• Řešení

  Zatěžovací odpor R vypočítáme jako podíl svorkového napětí U a proudu I, který obvodem protéká. Tedy:

  \[R\,=\,\frac{U}{I}\,.\tag{1}\]

  Vnitřní odpor baterie a elektromotorické napětí vypočítáme pomocí Ohmova zákona pro uzavřený obvod:

  \[I\,=\,\frac{U_\mathrm{e}}{R+R_\mathrm{i}}\,.\tag{2}\]

  kde I je proud procházející obvodem, U_e je elektromotorické napětí, R odpor zátěže a R_i vnitřní odpor baterie.

  Z rovnice (2) vyjádříme elektromotorické napětí:

  \[U_\mathrm{e}\,=\,I\left(R\,+\,R_\mathrm{i}\right)\,.\]

  Protože známe celkový proud procházející obvodem pro dva různé zatěžovací odpory a tyto odpory vypočítáme ze vzorce (1), získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých U_e a R_i:

  \[U_\mathrm{e}\,=\,I_1\left(R_1\,+\,R_\mathrm{i}\right)\] \[U_\mathrm{e}\,=\,I_2\left(R_2\,+\,R_\mathrm{i}\right)\,.\]

  Řešením této soustavy získáme hledané elektromotorické napětí a vnitřní odpor baterie. Nejprve obě rovnice porovnáme:

  \[I_1\left(R_1\,+\,R_\mathrm{i}\right)\,=\,I_2\left(R_2\,+\,R_i\right)\,.\]

  A dalšími úpravami vyjádříme vnitřní odpor baterie R_i:

  \[R_1I_1\,-\,R_2I_2\,=\,\left(I_2\,-\,I_1\right)R_\mathrm{i}\] \[R_\mathrm{i}\,=\,\frac{R_1I_1-R_2I_2}{I_2-I_1}\,.\]

  Ze vzorce (1) víme, že zatěžovací odpor vypočítáme jako podíl svorkového napětí a proudu procházejícího obvodem. Tedy:

  \[R_\mathrm{i}\,=\,\frac{\frac{U_1}{I_1}I_1-\frac{U_2}{I_2}I_2}{I_2-I_1}\,.\]

  Konečný vztah pro výpočet vnitřního odporu baterie tedy je:

  \[R_\mathrm{i}\,=\,\frac{U_1-U_2}{I_2-I_1}\,.\tag{3}\]

  Elektromotorické napětí nyní vypočítáme např. z první rovnice soustavy:

  \[U_\mathrm{e}\,=\,I_1\left(R_1\,+\,R_\mathrm{i}\right)\,,\]

  kam za odpor R_i dosadíme vztah (3), který jsme získali v předchozím kroku, za odpor R₁ dosadíme rovnici (1):

  \[ U_\mathrm{e}\,=\,I_1\left(\frac{U_1}{I_1} + \frac{U_1-U_2}{I_2-I_1}\right)\,. \]

  Členy v závorce převedeme na společného jmenovatele:

  \[ U_\mathrm{e}\,=\,I_1\,\frac{U_1\left(I_2-I_1\right)+\left(U_1-U_2\right)I_1}{I_1\left(I_2-I_1\right)}\,. \]

  Člen I₁ ve jmenovateli zlomku se zkrátí se členem I₁, který je před zlomkem. Roznásobíme závorky v čitateli zlomku:

  \[ U_\mathrm{e}\,=\,\frac{U_1I_2-U_1I_1+U_1I_1-U_2I_1}{I_2-I_1}\, \]

  a úpravou čitatele získáme konečný vztah pro elektromotorické napětí baterie:

  \[U_\mathrm{e}\,=\,\frac{U_1I_2-U_2I_1}{I_2-I_1}\,.\]

• Číselné dosazení

  Ze zadání úlohy víme, že:

  Protéká-li obvodem proud I₁ = 3 A, je svorkové napětí baterie U₁ = 24 V.

  Pokud obvodem teče proud I₂ = 4 A, pak je svorkové napětí U₂ = 20 V.

  Nyní dosadíme číselné hodnoty ze zadání úlohy do vztahů, které jsme odvodili v předchozím oddíle:

  \[R_1\,=\,\frac{U_1}{I_1}\,=\,\frac{24}{3}\,\mathrm{\Omega}\,=\,8\,\mathrm{\Omega}\] \[R_2\,=\,\frac{U_2}{I_2}\,=\,\frac{20}{4}\,\mathrm{\Omega}\,=\,5\,\mathrm{\Omega}\] \[R_\mathrm{i}\,=\,\frac{U_1-U_2}{I_2-I_1}\,=\,\frac{24-20}{4-3}\,\mathrm{\Omega}\,=\,4\,\mathrm{\Omega}\] \[U_\mathrm{e}\,=\,\frac{U_1I_2-U_2I_1}{I_2-I_1}\,=\,\frac{24{\cdot} 4-20{\cdot} 3}{4-3}\,\mathrm{V}\,=\,36\,\mathrm{V}\,.\]

• Odpověď

  V prvním případě je zatěžovací odpor 8 Ω, ve druhém případě 5 Ω.

  Baterie má vnitřní odpor 4 Ω a elektromotorické napětí 36 V.