Paralelní RLC obvod

Úloha číslo: 623

Rezistor, ideální kondenzátor a ideální cívka jsou paralelně připojeny ke zdroji střídavého napětí 160 V a frekvence 250 Hz. Rezistorem prochází proud 2 A, ideální cívkou 0,8 A a celkový proud je 2,5 A. Určete odpor rezistoru, kapacitu ideálního kondenzátoru a indukčnost ideální cívky (předpokládejte IC > IL).

Pozn.: Mluvíme-li o proudu či napětí, myslíme efektivní hodnoty proudu či napětí.

  • Nápověda – schéma zapojení

    schéma pro zadání
  • Nápověda – fázorový diagram

    Fázorový diagram pro paralelní zapojení prvků v obvodu se střídavým proudem kreslíme analogicky jako v obvodu sériovém. Musíme zohlednit to, že v sériovém zapojení je na všech prvcích stejný proud zatímco v obvodu zapojeném paralelně je na všech prvcích stejné napětí.

    Postup pro sestavení fázorového diagramu pro paralelní RLC obvod: V pomyslném směru osy x zakreslíme fázor napětí a fázor proudu protékajícího rezistorem, v kladném směru osy y zakreslujeme fázor proudu protékajícího kondenzátorem a v záporném směru osy y fázor proudu protékajícího cívkou.

  • Zápis

    U = 160 V napětí zdroje
    f = 250 Hz frekvence napětí zdroje
    IR = 2 A proud protékající rezistorem
    IL = 0,8 A proud protékající ideální cívkou
    I = 2,5 A celkový proud obvodu
    R = ? (Ω) odpor rezistoru
    C = ? (F) kapacita kondenzátoru
    L = ? (H) indukčnost cívky
  • Rozbor

    Hledané veličiny získáme pomocí Ohmova zákona pro střídavý proud, který budeme aplikovat vždy na příslušnou součástku. Protože se jedná o paralelní zapojení, je na všech větvích (tj. na všech součástkách) stejné napětí jako na zdroji.

    Neznámý proud kondenzátorem určíme ze zadaných proudů pomocí fázorového diagramu pro paralelní zapojení RLC obvodu.

  • Řešení a číselné dosazení

    Odpor rezistoru R:

    Protože se jedná o paralelní zapojení, je napětí na rezistoru UR stejné jako napětí zdroje U. Ohmův zákon pro obvod se střídavým proudem lze tedy psát ve tvaru:

    \[ U = I_R R, \]

    kde IR je efektivní hodnota proudu protékajícího rezistorem. Ze vztahu vyjádříme odpor rezistoru R:

    \[ R = \frac{U}{I_R}. \]

    Dosadíme číselné hodnoty:

    \[ R = \frac{160}{2}\,\mathrm \Omega = 80\,\mathrm \Omega. \]

    Indukčnost cívky L:

    Napětí na cívce UL je také stejné jako je napětí zdroje U a lze ho vyjádřit z Ohmova zákona pro obvod se střídavým proudem:

    \[ U= X_L I_L = 2 \pi f L\, I_L, \]

    kde XL je induktance cívky, f napětí zdroje, L indukčnost cívky a IL je efektivní hodnota proudu protékajícího cívkou.

    Vyjádříme indukčnost L:

    \[ L = \frac{U}{2 \pi f I_L}, \]

    a dosadíme číselné hodnoty:

    \[ L = \frac{160}{2 \cdot \pi \cdot 250 {\cdot} 0{,}8}\,\mathrm H \,\dot=\, 0{,}13 \,\mathrm H. \]

    Kapacita kondenzátoru C:

    Kapacitu kondenzátoru C odvodíme také z Ohmova zákona pro obvod se střídavým proudem:

    \[ U = X_C I_C =\frac{I_C}{2 \pi f C},\]

    kde XC je kapacitance kondenzátoru, f napětí zdroje, C kapacita kondenzátoru a IC je efektivní hodnota proudu protékajícího kondenzátorem. Napětí na kondenzátoru je opět stejné jako napětí zdroje U.

    Vyjádříme kapacitu kondenzátoru C:

    \[ C =\frac{I_C}{2 \pi f U}.\]

    Pro odvození velikosti efektivní hodnoty proudu protékajícího kondenzátorem IC nakreslíme fázorový diagram pro proudy, přičemž víme, že IC > IL:

    fázorový diagram

    Z fázorového diagramu vyjádříme vztah mezi proudy:

    \[ I^2 = (I_C - I_L)^2 + I_R^2. \]

    Upravíme:

    \[ I^2 = I_C^2 - 2I_L I_C +I_L^2 + I_R^2, \] \[ 0 = I_C^2 - 2I_L I_C +(I_L^2 + I_R^2 - I^2).\]

    Řešíme kvadratickou rovnici pro neznámou IC:

    \[(I_C)_{1{,}2} = \frac{ 2 I_L \pm \sqrt{ (2 I_L)^2 - 4 (I_L^2 + I_R^2 -I^2)}}{2}. \]

    Upravíme:

    \[(I_C)_{1{,}2} = I_L \pm \sqrt{ ( I_L)^2 - (I_L^2 + I_R^2 -I^2)}, \] \[(I_C)_{1{,}2} = I_L \pm \sqrt{ I^2 - I_R^2 }. \]

    Dosadíme zadané hodnoty:

    \[(I_C)_{1} = 0{,}8 + \sqrt{ 2{,}5^2 - 2^2 }\,\mathrm A= 2{,}3 \,\mathrm A ,\] \[(I_C)_{2} = 0{,}8 - \sqrt{ 2{,}5^2 - 2^2 }\,\mathrm A= -0{,}7\,\mathrm A .\]

    Fyzikální význam má pouze efektivní hodnota proudu IC = 2,3 A.

    Dosadíme do vztahu pro výpočet kapacity kondenzátoru C z Ohmova zákona, který jsme odvodili výše:

    \[ C =\frac{I_C}{2 \pi f U}= \frac{2{,}3}{2 \cdot \pi \cdot 250 {\cdot} 160}\,\mathrm F \,\dot=\, 9{,}2 {\cdot} 10^{-6} \,\mathrm F = 9{,}2 \,\mathrm{ \mu F}. \]
  • Odpověď

    Odpor rezistoru má hodnotu 80 Ω, indukčnost cívky je přibližně 0,13 H a kapacita kondenzátoru asi 9,2 μF.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze