Nabité částice v magnetickém poli
Úloha číslo: 2333
Dvě nabité částice (označíme si je jako A a B) jsme z klidu urychlili stejným rozdílem potenciálů. Částice poté vlétly do homogenního magnetického pole, které zakřivilo jejich trajektorie do polokružnic. Víme, že částice B je nabita dvojnásobným nábojem v porovnání s částicí A a částice B se pohybuje po polokružnici s \(\sqrt{2}\) krát větším poloměrem než částice A. Určete poměr hmotností obou částic.
Nápověda — částice v magnetickém poli
Jakou velikost a směr má síla působící na nabitou částici v magnetickém poli?
Nápověda — pohyb po kružnici
Pohybuje-li se hmotný bod po kružnici, pak zde musí být dostředivá síla (síla, která donutí hmotný bod nepohybovat se rovnoměrně přímočaře, jak říká zákon setrvačnosti). Dostředivá síla působí směrem do středu otáčení a má velikost
\[F_\mathrm{d}=m\frac{v^2}{r}.\]Rozbor
Částice byly urychleny rozdílem potenciálů z klidu. Veškerá urychlující energie se přeměnila na kinetickou energii. Z toho můžeme vyjádřit, jakou rychlost jednotlivé částice získaly.
Na nabité částice v magnetickém poli působí magnetická síla a způsobuje zakřivení jejich drah. Protože magnetická síla je kolmá na směr pohybu částice, pohybují se částice po kruhových drahách. Magnetická síla zde funguje jako potřebná síla dostředivá. Srovnáme vztahy pro obě tyto síly a vyjádříme hmotnosti jednotlivých částic.
Řešení
Je-li částice o náboji \(Q\) urychlena rozdílem potenciálů \(\Delta \varphi\), pak při urychlování získá energii
\[\Delta E=Q\Delta \varphi.\]Jelikož obě částice byly urychlovány z klidu (a odporové síly neuvažujeme), veškerá energie, kterou získaly, odpovídá jejich výsledné kinetické energii:
\[E_\mathrm{k}=Q\Delta \varphi,\] \[\frac{1}{2}mv^2=Q\Delta \varphi.\]Z rovnice vyjádřeme rychlost, kterou využijeme v další části výpočtu:
\[v=\sqrt{\frac{2Q\Delta \varphi}{m}}.\]Jak bylo řečeno v nápovědě, na částice v magnetickém poli působí síla o velikosti
\[F=QvB\sin\alpha.\]Jelikož v našem případě je magnetické pole kolmé k rychlostem částic, můžeme vztah zjednodušit
(\(\sin 90°=1)\)
\[F=QvB.\]Nabité částice se v magnetickém poli pohybují po kružnicích, tudíž magnetická síla je síla dostředivá (magnetická síla je důvodem nesetrvání v rovnoměrném přímočarém pohybu):
\[m\frac{v^2}{r}=QvB.\tag{1}\]Do rovnosti dosadíme vyjádřenou rychlost (1):
\[ m\frac{{\frac{2Q\Delta \varphi}{m}}}{r}=Q\sqrt{\frac{2Q\Delta \varphi}{m}}B,\] \[ \frac{2\Delta \varphi}{r}=\sqrt{\frac{2Q\Delta \varphi}{m}}B\]a osamostatníme hmotnost:
\[m=\frac{QB^2r^2}{2\Delta \varphi}.\]Do posledního vztahu dosadíme nejdříve obecně \(q_\mathrm{A}, r_\mathrm{A}\), resp. \(q_\mathrm{B}, r_\mathrm{B}\):
\[m_\mathrm{A}=\frac{q_\mathrm{A} B^2r_\mathrm{A}^2}{2\Delta \varphi},\] \[m_\mathrm{B}=\frac{q_\mathrm{B} B^2r_\mathrm{B}^2}{\Delta \varphi}.\]Určíme poměr hmotností:
\[\frac{m_\mathrm{A}}{m_\mathrm{B}}=\frac{\frac{q_\mathrm{A} B^2r_\mathrm{A}^2}{2\Delta \varphi}}{\frac{q_\mathrm{B} B^2r_B^2}{\Delta \varphi}}=\frac{q_\mathrm{A} r_\mathrm{A}^2}{q_\mathrm{B} r_\mathrm{B}^2}.\]Nyní do posledního vztahu dosadíme údaje ze zadání:
\[\frac{m_\mathrm{A}}{m_\mathrm{B}}=\frac{q R^2}{2q\, 2R^2}=\frac{1}{4}.\]Vyjádřeme si ještě poměr nábojů (údaje ze zadání) a pokusme se určit, o jaké dvě částice by se mohlo jednat:
\[\frac{q_\mathrm{A}}{q_\mathrm{B}}=\frac{1}{2}.\]Výsledný poměr hmotností a poměr nábojů odpovídá tomu, že by se mohlo jednat o dvojici α-částice a proton.
Odpověď
Částice B je čtyřikrát těžší než částice A a zároveň má částice B dvojnásobný náboj oproti částici A. Tento poměr hmotností a nábojů by mohl odpovídat dvojici α částice a proton.
