Sbírka řešených úloh

Válcový kondenzátor

Úloha číslo: 449

Válcový kondenzátor tvoří dva dlouhé soustředné válce o poloměrech a a b, kde a < b. Vypočítejte kapacitu kondenzátoru.

Pozn.: Zanedbejte okrajové efekty na koncích kondenzátoru.

• Nápověda: Kapacita

  Představme si, že kondenzátor nabijeme nábojem Q. Mezi nábojem, napětím na kondenzátoru a kapacitou kondenzátoru platí vztah:

  $$C\,=\,\frac{Q}{U}\,.$$

  Abychom mohli vyjádřit kapacitu kondenzátoru, musíme tedy určit, jaké je napětí mezi deskami.

  Uvědomte si, jak souvisí napětí mezi elektrodami, tj. válci kondenzátoru, s potenciálem a intenzitou elektrického pole mezi nimi.

• Řešení nápovědy

  Napětí na kondenzátoru je dáno rozdílem potenciálů na obou válcích. Je tedy rovno práci, kterou je třeba vykonat při přenosu jednotkového náboje z jednoho válce na druhý:

  $$U\,=\,\frac{W}{Q}\,=\, \int_\mathrm{a}^\mathrm{b} \frac{F}{Q} \mathrm{d}z.$$

  Protože intenzita elektrického pole je vlastně síla působící na jednotkový náboj, můžeme sílu v integrálu nahradit intenzitou:

  $$U\,=\, \int_\mathrm{a}^\mathrm{b} E \mathrm{d}z.$$

• Nápověda: Intenzita pole mezi válci

  Využijte výsledku úlohy Pole nabité válcové plochy, kde je vypočítaná intenzita v okolí válcové plochy.

• Řešení nápovědy: Intenzita pole mezi válci

  V okolí nabité válcové plochy je intenzita elektrického pole dána vztahem:

  $$E\,=\,\frac{R \sigma}{\varepsilon_0} \frac{1}{z}\,,$$

  kde R je poloměr válcové plochy.

  Uvnitř válcové plochy je intenzita rovna nule.

  Vnější válec tedy k intenzitě elektrického pole mezi deskami nepřispívá a intenzita elektrického pole mezi nimi je dána elektrickým polem vnitřního válce.

• Rozbor

  Válcový kondenzátor tvoří dvě soustředné válcové plochy, které jsou nabity stejně velkým nábojem opačného znaménka.

  Kapacita kondenzátoru je přímo úměrná náboji a nepřímo úměrná napětí mezi válci kondenzátoru.

  Napětí mezi válci, tedy rozdíl potenciálů na deskách, bude rovno integrálu intenzity podél spojnice obou elektrod. (Podrobnější vysvětlení naleznete v první nápovědě.)

  Intenzita vně válcové plochy nepřímo úměrně klesá se vzdáleností od osy válcové plochy a uvnitř plochy je rovna nule (viz úloha Pole nabité válcové plochy). Mezi válci je tedy intenzita nepřímo úměrná vzdálenosti od osy válcových ploch. Vnější válec k intenzitě elektrického pole nepřispívá, protože uvnitř válcové plochy je intenzita nulová.

• Řešení

  Kapacitu C válcového kondenzátoru určíme jako podíl náboje Q na deskách a napětí U mezi nimi:

  $$C\,=\,\frac{Q}{U}.$$

  Velikost napětí mezi válci je rovna práci, kterou je třeba vykonat při přenesení jednotkového náboje z jednoho válce na druhý:

  $$U\,=\,\frac{W}{Q}\,=\, \int_\mathrm{a}^\mathrm{b} \frac{F}{Q} \,\mathrm{d}z.$$

  Podíl elektrické síly F a náboje Q je roven intenzitě E elektrického pole:

  $$U\,=\, \int_\mathrm{a}^\mathrm{b} E \,\mathrm{d}z\,,$$

  kde z je vzdálenost od osy obou válcových ploch.

  Intenzita elektrického pole mezi válci je dána intenzitou elektrického pole vnitřního válce. Vnější válec k intenzitě elektrického pole mezi elektrodami nepřispívá. Intenzitu elektrického pole v okolí nabitého válce jsme vyjádřili v úloze Pole nabitého válce. Poloměr válce je roven a:

  $$U\,=\, \int_\mathrm{a}^\mathrm{b} \frac{a \sigma}{\epsilon_0} \,\frac{1}{z}\,\mathrm{d}z.$$

  Vytkneme konstanty před integrál a integrál vypočítáme:

  $$U\,=\, \frac{a \sigma}{\epsilon_0} \int_\mathrm{a}^\mathrm{b} \frac{1}{z}\,\mathrm{d}z \,=\, \frac{a \sigma}{\epsilon_0} \,\left[\ln z\right]_a^b \,=\, \frac{a \sigma}{\epsilon_0} \,\left(\ln b \,-\,\ln a \right),$$ $$U\,=\, \frac{a \sigma}{\epsilon_0} \,\ln \frac{b}{a}.\tag{*}$$

  Protože neznáme nábojovou hustotu σ, ale celkový náboj Q, vyjádříme ji pomocí povrchu válce:

  $$Q\,=\, \sigma S\,=\, \sigma 2 \pi a L \hspace{40px} \Rightarrow \hspace{40px}\sigma\,=\,\frac{Q}{2 \pi a L}.$$

  Nábojovou hustotu σ dosadíme zpět do vzorce (*) a výraz upravíme:

  $$U\,=\, \frac{a}{\epsilon_0}\,\frac{Q}{2 \pi a L} \,\ln \frac{b}{a}\,=\,\frac{Q}{2 \pi \epsilon_0 L} \,\ln \frac{b}{a}.$$

  Protože kapacita kondenzátoru je dána vztahem $C\,=\,\frac{Q}{U}$, můžeme ji z posledního vzorce vyjádřit:

  $$C\,=\,\frac{2 \pi \epsilon_0 L}{\ln \frac{b}{a}}.$$

• Odpověď

  Válcový kondenzátor má kapacitu

  $$C\,=\,\frac{2 \pi \epsilon_0 L}{\ln \frac{b}{a}} \,.$$

• Jaká je intenzita vně kondenzátoru?

  Mluvíme-li o kondenzátoru, mělo by být elektrické pole pouze mezi jeho elektrodami. Uvnitř malého válce a vně velkého by měla být intenzita elektrického pole rovna nule. V tomto oddíle se přesvědčíme, že to tak opravdu je.

  Z úlohy Pole nabité válcové plochy víme, že uvnitř válcové plochy o poloměru R je intenzita elektrického pole rovna nule a vně válcové plochy je intenzita dána vztahem $E\,=\,\frac{R \sigma}{\varepsilon_0}\frac{1}{z}.$

  Do obrázku si nakreslíme vektory intenzit elektrického pole pro oba válce.

  

  Uvnitř vnitřního válce jsou obě intenzity rovny nule, proto má i výsledné pole nulovou intenzitu.

  Mezi válci je nenulová intenzita el. pole malého válce. Celková intenzita je tedy stejná:

  $$E\,=\,\frac{a \sigma}{\varepsilon_0}\frac{1}{z}\,,$$

  kde z nabývá hodnot od a do b.

  Tento vztah přepíšeme pomocí celkového náboje Q, kterým je kondenzátor nabit:

  $$Q\,=\,\sigma S\,=\,\sigma 2 \pi a L,$$ $$E\,=\, \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 L}\, \frac{1}{z}.$$

  Vně většího válce mají vektory intenzity stejnou velikost (protože jsou desky nabity stejně velkým nábojem), ale opačný směr (náboje mají opačná znaménka). Výsledná intenzita vně kondenzátoru je tedy rovna nule.

  

• Jak jinak zjistit intenzitu mezi deskami

  Intenzitu elektrického pole mezi deskami můžeme získat přímo z Gaussovy věty: $$\int_\mathrm{S} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}.$$

  Jako Gaussovu plochu S volíme povrch válce, jehož osa je stejná s osami obou válcových ploch kondenzátoru. Ze symetrie úlohy je patrné, že je vektor intenzity ve všech místech Gaussovy plochy stejně velký a na plochu kolmý, a proto můžeme integrál na levé straně zjednodušit:

  $$\int_\mathrm{S} E \mathrm{d}S\,=\,E \int_\mathrm{S} \mathrm{d}S\,=\, E 2\pi z L.$$

  Intenzita mezi deskami je tedy dána vztahem:

  $$E\,=\, \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 L}\, \frac{1}{z}\,,$$

  kde z nabývá hodnot od a do b.

  Podrobnější postup řešení naleznete v úloze Pole nabité válcové plochy.

  Uvnitř vnitřního válce není v Gaussově ploše uzavřen žádný náboj a intenzita je zde tedy rovna nule.

  Vně obou válců je v Gaussově ploše uzavřen náboj +Q a -Q. Dohromady je tedy uvnitř Gaussovy plochy náboj nulový a intenzita je tedy opět rovna nule.