Pole rovnoměrně nabité koule

Úloha číslo: 269

V kouli o poloměru R je rovnoměrně rozmístěn náboj s objemovou hustotou ρ.

a) Najděte intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti z od středu koule.

b) Určete také elektrický potenciál koule ve vzdálenosti z.

Uvažujte pole uvnitř i vně koule tzn. najděte průběh elektrické intenzity a potenciálu pro z v intervalu „od nuly až do nekonečna“.

  • Nápověda: Intenzita elektrického pole

    Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch koule o poloměru z se středem ve středu nabité koule. V takovém případě je vektor elektrické intenzity ve všech místech kolmý na plochu a má stejnou velikost. (Viz oddíl Jak volit Gaussovu plochu?)

    Úlohu rozdělíme na dvě části:
    • Poloměr Gaussovy koule je větší než poloměr nabité koule.
    • Poloměr Gaussovy koule je menší než poloměr nabité koule.
  • Nápověda: Elektrický potenciál

    Potenciální energie je rovna záporně vzaté práci, kterou musí vykonat elektrická síla, aby přenesla náboj z místa s nulovou potenciální energií do daného místa.

    \[E_p(z)\,=\, - \int^z_{\infty} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\]

    Potenciál je potenciální energie vztažená na jednotkový náboj

    \[\varphi\,=\, \frac{E_p}{Q}\,.\]

    Dosadíme integrál.

    \[\varphi\,=\, - \int^z_{\infty} \frac{\vec{F}} {Q}\cdot \mathrm{d}\vec{z}\]

    Jestliže sílu vydělíme nábojem, získáme intenzitu elektrického pole.

    \[\varphi\,=\, - \int^z_{\infty} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{z}\]
  • Nápověda: Potenciál uvnitř koule

    Pozor! Počítáme práci, kterou vykoná elektrická síla, když přenáší náboj z nekonečna. Do integrálu dosazujeme intenzitu elektrického pole, ta nemá vždy stejné vyjádření, ale musíme pro ni použít odlišné vzorce vně a uvnitř koule. Proto bude třeba integrál ve výrazu pro potenciál rozdělit na dvě části.

  • Rozbor

    Úlohu si rozdělíme na dvě části. Budeme zkoumat zvlášť pole uvnitř nabité koule a zvlášť pole vně koule.

    Vzhledem k symetrickému rozložení náboje je nejjednodušším způsobem nalezení intenzity elektrického pole v tomto případě využití Gaussovy věty. Gaussova věta vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity uzavřenou plochou a celkovým nábojem, který se nachází uvnitř této plochy.

    Vektory elektrické intenzity míří ve všech místech od středu koule směrem ven a jejich velikost závisí pouze na vzdálenosti od středu koule. Důvodem je symetrické rozložení náboje uvnitř koule. Může nám pomoci následující představa. Náboj je uvnitř koule rozložen symetricky, a proto nepoznáme žádný rozdíl, pokud kouli otočíme kolem libovolné osy jdoucí středem koule. Pole kolem koule musí zůstat stále stejné, a proto i vektory intenzity musím mít v daném místě při různých otočeních stále stejný směr a velikost.

    Gaussovou plochou zvolíme kouli se středem ve středu nabité koule. V tomto případě má vektor elektrické intenzity na celé této ploše stejnou velikost a je na ni kolmý. Tím se nám zjednoduší výpočet skalárního součinu, a tím i výpočet integrálu.

    Počítáme-li intenzitu vně koule, bude mít Gaussova koule větší poloměr než nabitá koule. Uvnitř ní je tedy veškerý náboj rozložený v kouli, vyjádříme ho pomocí hustoty náboje a objemu nabité koule.

    Počítáme-li intenzitu uvnitř nabité koule, bude Gaussova koule mít menší poloměr než nabitá koule. Pomocí hustoty náboje a objemu Gaussovy koule vyjádříme náboj, který je uzavřen uvnitř Gaussovy koule.

    Potenciál elektrického pole vypočítáme z potenciální energie. Potenciální energie v daném bodě je rovna záporně vzaté práci, kterou vykonala elektrická síla, aby přenesla náboj z místa s nulovou potenciální energií do daného bodu. (Potenciální energii zvolíme nulovou v nekonečnu). Potenciál je potenciální energie vztažená na jednotkový náboj.

    Při výpočtu potenciálu uvnitř nabité koule musíme dát pozor, že intenzita elektrického pole nemá stejné vyjádření podél celé integrační cesty, ale je popsána jiným vztahem vně a uvnitř koule. Musíme tedy spočítat nejprve práci, která je třeba k přenesení na povrch nabité koule, a poté práci potřebnou k přesunu náboje uvnitř koule.

  • Řešení: Intenzita vně koule

    V tomto oddíle určíme intenzitu elektrického pole vně nabité koule, tzn. pro z>R.

    Využijeme Gaussovu větu:

    \[\oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\] \[\oint_S \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\tag{*}\]

    Náboj je v kouli rozložen symetricky, a proto je i elektrické pole v okolí koule symetrické. Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od středu koule (tj. je kolmý na povrch koule) a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od středu koule.

    Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch koule, která má poloměr z a střed má ve středu nabité koule. V tomto případě bude totiž vektor elektrické intenzity vždy kolmý ke Gaussově ploše, a proto platí \(\vec{E} \cdot \vec{n}\,=\,En\,=\,E\) (pozn. \(\vec{n}\) je jednotkový vektor).

    Zvolená Gaussova plocha

    S využitím těchto poznatků si upravíme integrál na levé straně Gaussovy věty:

    \[\oint_k \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,\oint_k E n\mathrm{d}S\,=\, \oint_k E\mathrm{d}S\,.\]

    Velikost vektoru elektrické intenzity E je ve všech místech zvolené plochy stejná, a proto ji můžeme vyjmout před integrál jako konstantu. Dostáváme tedy vztah

    \[\oint_k \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E \oint_k \mathrm{d}S\,.\]

    Nyní vypočítáme integrál. Integrujeme-li dS přes povrch koule, získáme obsah povrchu této koule.(Pozn: Můžeme si to představit tak, že dS jsou obsahy malých kousků povrchu koule. Jestliže všechny tyto kousky sečteme, získáme celý povrch koule.) Integrál je tedy roven

    \[\oint_k \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E S_k\,,\]

    kde Sk = 4πz2 je povrch Gaussovy koule.

    \[\oint_k \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E\, 4 \pi z^2\]

    Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*).

    \[E 4 \pi z^2\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\]

    Vyjádříme velikost intenzity.

    \[E \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{z^2}\tag{**}\]

    Vzorec je stejný jako pro intenzitu elektrického pole v okolí bodového náboje. Pole v okolí nabité koule je tedy stejné jako pole v okolí bodového náboje.

    Zbývá už jen vyjádřit náboj Q uvnitř zvolené Gaussovy plochy pomocí zadaných veličin.

    Uvnitř plochy je celá nabitá koule, náboj tedy můžeme vyjádřit pomocí jejího objemu V a objemové hustoty náboje ρ.

    \[Q\,=\,V \varrho\,=\,\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho\]

    Dosadíme do vzorce (**) a upravíme.

    \[E \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho}{z^2}\,=\, \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0\,z^2}\]

    Ve vzdálenosti z má elektrické pole nabité koule intenzitu:

    \[E \,=\, \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2} \,.\]
  • Řešení: Intenzita uvnitř nabité koule

    V tomto oddíle vyjádříme intenzitu elektrického pole uvnitř nabité koule. Postup je velice podobný jako v předchozím oddíle: Intenzita vně nabité koule, proto není komentován tak podrobně.

    Elektrickou intenzitu vypočítáme pomocí Gaussovy věty:

    \[\oint_k \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}\,,\tag{*}\]

    kde Q1 je náboj uvnitř zvolené Gaussovy plochy.

    Za Gaussovu plochu zvolíme povrch koule, která má střed ve středu nabité koule a poloměr z < R.

    Zvolení Gaussovy plochy

    Integrál na levé straně vypočítáme stejně jako v předchozím oddíle.

    \[\oint_k \vec{E} \cdot \vec{n} \mathrm{d}S\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}\,,\]

    Stejnými úvahami o symetrii jako v předchozím oddíle odvodíme, že vektor intenzity má na celé ploše stejnou velikost a je kolmý na Gaussovu plochu, proto platí:

    \[\oint_k \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\,\oint_k En \mathrm{d}S\,=\,\oint_k E \mathrm{d}S\,=\,E\oint_k \mathrm{d}S.\]

    Integrál je roven povrchu Gaussovy koule.

    \[\oint_k \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\,E S_k\] \[\oint_k \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\,E\, 4 \pi z^2\,\]

    Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*)

    \[E\, 4 \pi z^2\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}\tag{***}\]

    Nyní vyjádříme náboj Q1. Protože Gaussova koule je menší než nabitá koule, není uvnitř ní veškerý náboj, ale pouze jeho část. Náboj tedy vyjádříme pomocí zadané nábojové hustoty a objemu Gaussovy koule

    \[Q_1\,=\,V_k \varrho \,=\, \frac{4}{3} \pi z^3 \varrho \]

    Dosadíme do vzorce (***).

    \[E \,4\pi z^2 \,=\, \frac{\frac{4}{3} \pi z^3\varrho}{\varepsilon_0}\]

    Zkrátíme a získáme velikost intenzity elektrického pole uvnitř nabité koule.

    \[E \,=\, \frac{\varrho}{3 \varepsilon_0}\,z\] Pozn:Pokud bychom chtěli vyjádřit intenzitu pomocí celkového náboje koule Q, využijeme toho, že je náboj rozložen rovnoměrně a tedy část náboje v Gaussově kouli je úměrná jejímu objemu. \[\frac{Q_1}{Q}\,=\,\frac{4\pi z^3 \varrho }{4\pi R^3 \varrho }\,=\,\frac{z^3}{R^3} \hspace{20px} \Rightarrow \hspace{20px}Q_1\,=\,Q\,\frac{z^3}{R^3} \]

    Pro intenzitu pak platí:

    \[E \,=\,\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}\,z\,.\]

    Ze získaného vztahu je vidět, že velikost elektrické intenzity je ve středu koule nulová a dále roste se vzdáleností od středu koule.

  • Řešení: Potenciál vně nabité koule

    Potenciální energie v bodě A je rovna záporně vzaté práci, kterou vykonala elektrická síla, aby přenesla náboj z místa s nulovou potenciální energií do bodu A. Ve většině případů volíme nulovou potenciální energii v nekonečnu.

    \[E_{pA}\,=\, - \int_{\infty}^A \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r}\]

    Elektrickou sílu vyjádříme pomocí velikosti náboje a intenzity elektrického pole.

    \[E_{pA}\,=\, - Q \int_{\infty}^A \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{r}\]

    Potenciál elektrického pole je potenciální energie vztažená na jednotkový náboj. Pro výpočet potenciálu v bodě A tedy dostáváme:

    \[\varphi_A\,=\,\frac{E_{pA}}{Q}\,=\, - \int_{\infty}^A \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{r}\,.\]

    Protože intenzita elektrického pole závisí pouze na vzdálenosti od středu koule, závisí i potenciál elektrického pole pouze na vzdálenosti z od středu koule.

    \[\varphi (z)\,=\, - \int_{\infty}^z \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\]

    Potenciál nezávisí na volbě integrační cesty, proto ji můžeme volit libovolně. (Cestu si volíme co nejjednodušší.) V tomto případě jako integrační cestu zvolíme část přímky, která směřuje do středu koule.

    Vektor elektrické intenzity \(\vec{E}\) je rovnoběžný s vektorem \(\vec{z}\), proto můžeme integrál zjednodušit.

    \[ \varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{\infty} E \mathrm{d}z \]

    Nyní musíme úlohu opět rozdělit na dva případy a spočítat zvlášť potenciál vně a uvnitř koule.

    Nejprve vyjádříme potenciál ve vzdálenosti z vně koule.

    \[\varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{\infty} E \mathrm{d}z \]

    Do integrálu dosadíme velikost intenzity, kterou jsme si vyjádřili v oddíle: Intenzita pole vně koule

    \[E \,=\, \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z^2}\]

    a vytkneme před integrál všechny konstanty

    \[\varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{\infty} \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z^2} \,\mathrm{d}z \,=\, - \,\frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0} \int^{z}_{\infty} \frac{1}{z^2}\, \mathrm{d}z\]

    Vypočítáme určitý integrál

    \[\varphi (z)\,=\,- \,\frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\left[- \frac{1}{z}\right]^z_{\infty}\,.\]

    Dosadíme meze integrálu a získáme velikost potenciálu vně koule ve vzdálenosti z.

    \[\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\frac{1}{z}\]

    Pozn.: Pokud chceme potenciál vyjádřit pomocí celkového náboje Q, využijeme vztahu \(Q\,=\,\frac{4}{3}\pi R^3 \varrho\).

    Pro potenciál vně koule pak platí vztah:

    \[\varphi (z)\,=\, \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \, \frac{1}{z}\,.\]
  • Řešení: Potenciál uvnitř nabité koule

    Při výpočtu potenciálu uvnitř koule budeme postupovat podobně jako v předchozím oddíle. Potenciál vyjádříme ze vztahu:

    \[ \varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{\infty} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\,=\, - \int^{z}_{\infty} E \mathrm{d}z \]

    Při vyjadřování potenciálu si musíme dát pozor na velikost intenzity. Tentokrát není intenzita elektrického pole vyjádřena podél celé integrační cesty stejným vztahem. Hranicí, kdy se vyjádření intenzity mění, je povrch koule. Proto je třeba celý integrál rozdělit na dvě části. Nejdříve musíme náboj přenést z nekonečna na povrch koule (tj. do vzdálenosti R od středu koule) a po té z povrchu koule dále dovnitř koule.

    \[\varphi (z)\,=\, - \int^{R}_{\infty} E_v \mathrm{d}z - \int^{z}_{R} E_u \mathrm{d}z \]

    Dosadíme velikost intenzit, které jsme si vyjádřili v předchozích oddílech

    \[E_v \,=\, \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0\,z^2}\] \[E_u \,=\, \frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}z\]

    a dostaneme

    \[\varphi (z)\,=\, - \int^{R}_{\infty} \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0\,z^2} \mathrm{d}z - \int^{z}_{R} \frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}z \mathrm{d}z \,.\]

    Z integrálů vyjmeme konstanty

    \[\varphi (z)\,=\, - \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\int^{R}_{\infty} \frac{1}{z^2} \mathrm{d}z - \frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}\int^{z}_{R} z \mathrm{d}z \]

    a integrály vypočítáme.

    \[\varphi (z)\,=\,- \,\frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\left[- \frac{1}{z}\right]^R_{\infty}- \,\frac{\varrho }{3 \varepsilon_0}\left[\frac{z^2}{2}\right]^z_{R}\] \[\varphi (z)\,=\,- \,\frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\left(- \frac{1}{R}\right)- \,\frac{\varrho }{3 \varepsilon_0}\left(\frac{z^2}{2}-\frac{R^2}{2}\right)\]

    Pozn.:První integrál jsme počítat nemuseli, stačilo dosadit z = R do výsledku předchozího oddílu.

    Vytkneme \(\frac{\varrho}{3 \varepsilon_0}\) a vzorec ještě upravíme.

    \[\varphi (z)\,=\, \,\frac{\varrho}{3 \varepsilon_0}\left(R^2 - \,\frac{z^2}{2} + \frac{R^2}{2}\right)\] \[\varphi (z)\,=\, \,\frac{\varrho}{3 \varepsilon_0}\left(\frac{3R^2}{2} - \,\frac{z^2}{2} \right)\] \[\varphi (z)\,=\, \,\frac{\varrho R^2}{6 \varepsilon_0}\left(3 - \frac{z^2}{R^2} \right)\]

    Získali jsme vztah pro výpočet potenciálu uvnitř nabité koule.

    Pozn.: Pokud bychom chtěli vyjádřit potenciál pomocí celkového náboje Q, využijeme opět vztahu \(Q\,=\,\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho\) a dostaneme

    \[\varphi (z)\,=\, \,\frac{Q}{8 \pi \varepsilon_0 R}\,\left(3 - \frac{z^2}{R^2} \right)\,.\]
  • Odpověď

    Vně koule má intenzita elektrického pole velikost

    \[E \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{z^2} \,=\, \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\, \frac{1}{z^2} \,.\]

    Uvnitř koule má intenzita elektrického pole velikost

    \[E\,=\,\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}\,z \,=\, \frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}z\,.\]

    V obou případech míří vektor elektrické intenzity ze středu koule směrem ven.

    Elektrický potenciál vně nabité koule má velikost

    \[\varphi (z)\,=\, \,\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{1}{z}\,=\, \,\frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\frac{1}{z}\,.\]

    Elektrický potenciál uvnitř nabité koule má velikost

    \[\varphi (z)\,=\, \,\frac{Q}{8 \pi \varepsilon_0 R}\left( 3- \frac{z^2}{R^2}\right)\,=\, \,\frac{\varrho R^2}{6 \varepsilon_0}\left(3 - \frac{z^2}{R^2}\right)\,.\]
  • Grafy

    Graf závislosti velikosti el. intenzity na vzdálenosti od středu koule

    Uvnitř nabité koule má elektrická intenzita velikost \(E\,=\, \frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}z\,.\)

    Vně koule platí vztah \(E \,=\, \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\, \frac{1}{z^2} \,.\)

    První část grafu (pro hodnoty z od 0 do R) tvoří část přímky, která prochází počátkem. Pro vzdálenost z větší než R pak intenzita s druhou mocninou z klesá.

    Závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti od středu koule

    Graf funkce je spojitý. Přesvědčíme se o tom, pokud do obou vztahů pro výpočet intenzity dosadíme z = R. V obou případech má intenzita elektrického pole velikost \(E(R)\,=\,\frac{R \varrho}{3 \varepsilon_0}\,.\)

    Pozn.: Intenzita elektrického pole je spojitá s výjimkou bodů, kdy prochází nabitou plochou. Při průchodu plochou zůstavají spojité pouze tečné složky vektoru. Normálové složky se mění „skokem“, který je úměrný plošné hustotě náboje.

    Graf závislosti el. potenciálu na vzdálenosti od středu koule

    Elektrický potenciál uvnitř nabité koule má velikost \(\varphi (z)\,=\, \,\frac{\varrho R^2}{6 \varepsilon_0}\left(3 - \frac{z^2}{R^2}\right)\,.\)

    Vně nabité koule platí vztah \(\varphi (z)\,=\, \,\frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0}\frac{1}{z}\,.\)

    Závislost velikosti elektrického potenciálu na vzdálenosti od středu koule

    Funkce je opět v bodě z = R spojitá. Dosadíme-li do obou vyjádření potenciálu, získáme v obou případech hodnotu \(\varphi(R) \,=\,\frac{R^2 \varrho}{3 \varepsilon_0}\).

    Funkce má navíc v tomto bodě spojité i první derivace a je tedy navíc hladká.

    Elektrický potenciál je vždy spojitý, protože se jedná vlastně o práci při přenášení jednotkového náboje a ta se nemůže změnit „skokově“. Kromě nabitých ploch má potenciál spojité také první derivace, tj. je hladký.

  • Jak volit Gaussovu plochu?

    Nejjednodušší způsob nalezení intenzity elektrického pole (v případě symetrického rozložení náboje) je pomocí Gaussovy věty.

    \[\oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\]

    Gaussova věta vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity uzavřenou plochou (levá strana, uzavřené ploše se někdy říká Gaussova plocha) a celkovým nábojem Q, který se nachází uvnitř této plochy.

    Výraz na levé straně můžeme také psát ve tvaru:

    \[\oint \vec{E} \cdot \vec{n}\,\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\,,\]

    kde \(\vec{n}\) je jednotkový vnější normálový vektor plochy.

    Nejdůležitějším krokem při řešení úlohy pomocí Gaussovy věty je zvolit si vhodně Gaussovu plochu. Snažíme se ji zvolit tak, abychom mohli co nejjednodušeji vyjádřit skalární součin \(\vec{E} \cdot \vec{n}\). Můžeme rozlišit tři případy

    1. Vektor intenzity je rovnoběžný s plochou, tj. kolmý na normálový vektor potom skalární součin je roven nule.
      Tok plochou, když že intenzita rovnoběžná
    2. Vektor intenzity je kolmý na plochu, potom je velikost skalárního součinu rovna součinu velikostí vektorů \(| \vec{E} \cdot \vec{n}|\,=\,En\,=\,E\).

      Tok plochou - intenzita kolmá

      V nejjednodušším případě má vektor elektrické intenzity navíc ve všech místech plochy stejnou velikost. Velikost intenzity pak můžeme z integrálu vyjmout jako konstantu.

    3. Vektor intenzity svírá jiný úhel s normálou plochy, pak je skalární součin roven \(\vec{E} \cdot \vec{n}\,=\,En\cos\alpha\,=\,E\cos\alpha\).

      Tok plochou - intenzita svírá jiný úhel

      Tato obecná poloha není pro výpočty příliš výhodná.

    Při volbě Gaussovy plochy se snažíme co nejvíce využívat prvních dvou případů – tj. aby jednotlivé části zvolené plochy byly buď kolmé, nebo rovnoběžné s vektorem elektrické intenzity \(\vec{E}\), protože pak je počítání nejjednodušší. Nejčastěji je vhodnou plochou povrch válce nebo koule.

  • Odkaz na podobnou úlohu

    Jak se úloha změní, jestliže náboj není v kouli rozložen s konstantní hustotou, zjistíte v úloze Nerovnoměrně nabitá koule.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze