Vzduchový kondenzátor

Úloha číslo: 1022

Vzduchový deskový kondenzátor má kapacitu 10 pF a vzdálenost desek je 1 cm. Mezi desky rovnoběžně s deskami vložíme plech o tloušťce 1 mm. Jaká bude nová kapacita celého zařízení?

  • Nápověda 1

    Jak spočítáte kapacitu deskového kondenzátoru?

  • Nápověda 2

    Po vložení do kondenzátoru se na plechu přemístí náboj, tak si výsledek můžeme představit jako dva kondenzátory za sebou. Nebo také můžeme uvažovat, že plech vložíme úplně těsně k jedné elektrodě.

  • Zápis

    C = 10 pF kapacita původního kondenzátoru
    d = 1 cm = 1·10-2 m vzdálenost desek původního kondenzátoru
    x = 1 mm = 1·10-3 m šířka plechu
    Cv = ? (F) kapacita nové vzniklého kondenzátoru
  • Rozbor

    Uvědomíme si, co znamená vložení plechu do kondenzátoru. Náboj se rozloží na povrchu plechu (viz obrázek) a my dostáváme dva sériově zapojené kondenzátory.

    Rozložení náboje na plechu vloženém do kondenzátoru

    Výsledná kapacita nezávisí na poloze plechu (podrobněji viz komentář níže), proto si ho představíme těsně u jedné z desek. Dostáváme tak vzduchový kondenzátor, který má vzdálenost mezi deskami zmenšenou o šířku plechu.

  • Řešení

    Představíme si, že plech vložíme těsně k jedné desce kondenzátoru. Náboj se rozloží na povrchu plechu. Nově vzniklé zařízení si tedy můžeme představit jako vzduchový kondenzátor, jehož vzdálenost desek je rovna původní vzdálenosti d zmenšené o tloušťku plechu x. S využitím vztahu pro kapacitu deskového kondenzátoru můžeme pro kapacitu nového kondenzátoru Cv psát \[ C_v = \frac{\epsilon_0 S}{d-x}, \] kde ε0 je permitivita vakua, permitivita vzduchu se téměř rovná permitivitě vakua, a S je obsah desek. Ten se vložením plechu samozřejmě nezmění, a proto jej můžeme vyjádřit ze vztahu pro velikost kapacity původního kondenzátoru C.

    \[ C = \frac{\epsilon_0 S}{d}\qquad \Rightarrow \qquad S=\frac{C d}{\epsilon_0} \]

    Po dosazení do vztahu pro kapacitu kondenzátoru s plechemCv získáváme

    \[ C_v = \frac{\epsilon_0 S}{d-x}= \frac{\epsilon_0}{d-x}\frac{C d}{\epsilon_0}=C\frac{d}{d-x}\] \[C_v=10{\cdot}10^{-12} \cdot \frac{1{\cdot}10^{-2}}{1{\cdot}10^{-2}-1{\cdot}10^{-3}} \mathrm F \,\dot{=}\, 11{\cdot}10^{-12}\,\mathrm F \,\dot{=}\, 11\,\mathrm {pF}. \]
  • Odpověď

    Kapacita nově vzniklého kondenzátoru je asi 11 pF.

  • Komentář – důkaz, že výsledek nezávisí na poloze plechu

    Nyní si výpočtem ověříme, že celková kapacita nového kondenzátoru Cv nezávisí na poloze plechu.

    Nakreslíme si obrázek.

    Kondenzátor

    Z obrázku vidíme, že se jedná o dva sériově zapojené kondenzátory, pro výslednou kapacitu Cv použijeme vztah

    \[\frac{1}{C_v}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2},\]

    kde C1 a C2 jsou kapacity jednotlivých kondenzátorů, jejichž kapacity spočteme podle vztahu uvedeného v nápovědě

    \[C=\frac{\epsilon_0S}{d}.\]

    Potřebujeme dokázat, že výsledná kapacita Cv nezávisí na poloze plechu. Což znamená, že dokážeme, že nezávisí na vzdálenosti y z obrázku.

    \[\frac{1}{C_v}=\frac{1}{\frac{\epsilon_0S}{y}}+\frac{1}{\frac{\epsilon_0S}{d-x-y}}=\frac{y}{\epsilon_0S}+\frac{d-x-y}{\epsilon_0S}\] \[C_v=\frac{\epsilon_0S}{d-x}.\]

    Odtud vidíme, že výsledná kapacita opravdu nezávisí na vzdálenosti y, tj. na poloze plechu.

    Výsledná kapacita nezávisí na poloze vloženého plechu. Můžeme to vidět i z grafu závislosti elektrického potenciálu φ na vzdálenosti l. Mezi deskami kondenzátoru je homogenní pole, proto zde elektrický potenciál roste rovnoměrně se vzdáleností od jedné desky. Zvolme si tedy na levé desce nulový potenciál a nakresleme závislost elektrického potenciálu na vzdálenosti od levé desky. Potenciál ve vodičích je konstantní, proto v prostoru, kde se nachází vložená vodivá deska potenciál neroste.

    Graf

    Červená čára odpovídá situaci, kdy není v kondenzátoru plech, žlutá, když je plech těsně u desky, na které si volíme nulovou hladinu a zelená, když je plech někde mezi deskami kondenzátoru.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze