Měření vodivosti mořské vody

Úloha číslo: 306

Dva soustředné kovové sférické vodiče poloměrů a a b jsou odděleny mírně vodivým materiálem o vodivosti σ.

a) Jaký je odpor mezi vodiči? Jaký proud mezi nimi teče, jestliže potenciálový rozdíl mezi vodiči má konstantní hodnotu U?

b) Využijte předchozích výsledků a zjistěte, jaký proud protéká mezi dvěma kulovými elektrodami, každé o poloměru a, které jsou ponořené hluboko v moři a jsou od sebe značně vzdáleny. Napětí mezi elektrodami má stálou hodnotu U.

Poznámka: Část a) této úlohy řešíme třemi způsoby:

I. Přímou integrací odporů jednotlivých částí vodiče,
II. s využitím Ohmova zákona v diferenciálním tvaru,
III. pomocí formální podobnosti se zákony elektrostatiky.

  • I. Nápovědy

  • I. Rozbor

    Prostor mezi vodiči rozdělíme na tenké kulové plochy o poloměru r, kde a < r < b.

    Rozdělení vodiče na kulové sféry

    Celý vodič nyní můžeme brát jako sériové zapojení těchto sfér. Celkový odpor vodiče tedy získáme součtem (integrací) odporů jednotlivých sfér.

    Elektrický odpor kulové sféry je přímo úměrný její „délce“ a nepřímo úměrný ploše slupky a vodivosti materiálu.

    Proud procházející mezi elektrodami se rovná podílu napětí a elektrického odporu mezi elektrodami.

  • I. Řešení

    Prostor mezi elektrodami si rozdělíme na tenké slupky (kulové sféry) o poloměru r (a < r < b) a „tloušťce“ dr.

    Prostor mezi elektrodami rozdělený na kulové sféry

    Elektrický odpor slupky vypočítáme ze vztahu:

    \[ R\,=\,\frac{1}{\sigma}\,\frac{l}{S}\,, \]

    kde σ je vodivost materiálu, l délka vodiče a S plocha jeho průřezu.

    V tomto případě „plocha“ slupky odpovídá povrchu kulové sféry, tedy 4πr2. „Délku“ slupky označíme dr. Odpor dR kulové slupky o poloměru r pak vyjádříme vztahem:

    \[ \mathrm{d}R\,=\,\frac{1}{\sigma}\,\frac{\mathrm{d}r}{4\pi r^2}\,. \]

    Protože jsou slupky zapojeny sériově, bude celkový odpor mezi kulovými elektrodami roven součtu (integraci) všech slupek dR od poloměru a do poloměru b:

    \[ R\,=\,\int_a^b\,\frac{1}{\sigma}\,\frac{\mathrm{d}r}{4\pi r^2}\,=\, \frac{1}{4\pi \sigma}\int_a^b\frac{\mathrm{d}r}{r^2}\,=\,\frac{1}{4\pi \sigma}\,\left[-\frac{1}{r}\right]_a^b \,. \]

    Celkový elektrický odpor mezi kulovými elektrodami tedy vypočítáme:

    \[ R\,=\,\frac{1}{4\pi\sigma}\,\left(\frac{1}{a}\,-\,\frac{1}{b}\right) \] \[ R\,=\,\frac{1}{4\pi\sigma}\,\frac{b-a}{ab} \] \[ R\,=\,\frac{b-a}{4\pi\sigma ab}\,. \]

    Proud I procházející mezi elektrodami se rovná podílu napětí U a elektrického odporu R mezi elektrodami:

    \[ I\,=\,\frac{U}{R}\,=\,\frac{4\pi\sigma ab}{b-a}\,U\,. \]
  • II. Nápovědy

  • II. Rozbor

    Prostor mezi kulovými vodiči rozdělíme na tenké kulové sféry o poloměru r, kde a < r < b.

    Prostor mezi elektrodami rozdělený na kulové sféry

    Z kulové symetrie situace vyplývá, že ve všech místech takto vytvořené sféry je stejná hustota proudu. Tu můžeme vyjádřit pomocí celkového proudu a plochy sféry. Celkový proud mezi elektrodami je stálý, nezávislý na poloměru r.

    Ohmův zákon v diferenciálním tvaru pro homogenní vodiče říká, že hustota proud procházejícího vodičem se rovná součinu měrné elektrické vodivosti a intenzity elektrického pole vodiče. Z tohoto zákona si vyjádříme intenzitu elektrického pole.

    Integrací intenzity elektrického pole získáme napětí mezi elektrodami. Celkový odpor materiálu pak určíme jako podíl napětí mezi elektrodami a proudu, který mezi elektrodami prochází.

  • II. Řešení

    Prostor mezi kulovými elektrodami si rozdělíme na tenké kulové slupky o poloměru r, přičemž a < r < b. Z kulové symetrie situace vyplývá, že ve všech místech takové slupky, je stejná hustota proudu j. Pro  celkový proud procházející slupkou tedy platí:

    \[ I=S\,j\left(r\right)=4\pi r^2\,j\left(r\right)\,. \]

    Celkový proud mezi elektrodami je stálý a není tedy závislý na poloměru r.

    Z diferenciálního tvaru Ohmova zákona pro homogenní vodič

    \[ \vec{j\,}=\,\sigma\vec{E}, \]

    kde \(\sigma\) je měrná elektrická vodivost a \(\vec{E}\) intenzita elektrického pole, určíme velikost intenzity elektrického pole v kulové slupce o poloměru r:

    \[ E\left(r\right)\,=\,\frac{j\left(r\right)}{\sigma}\,. \]

    Stejně jako hustota proudu j(r), tak i velikost intenzity elektrického pole E(r) závisí pouze na poloměru slupky r. Hustotu proudu j(r) v kulovém vodiči o poloměru r získáme ze vztahu pro celkový proud a dosadíme do vzorce pro výpočet intenzity elektrického pole:

    \[ E\left(r\right)\,=\,\frac{I}{4\pi r^2\sigma}\,. \]

    Napětí U mezi elektrodami získáme integrací intenzity elektrického pole:

    \[ U\,=\,\int_a^b \vec{E}\left(r\right)\cdot \mathrm{d}\vec{r\,}. \]

    Díky kulové symetrii situace bude intenzita elektrického pole mířit v každém bodě vodiče radiálním směrem. Vektory \(\vec{E}\) a \(\mathrm{d}\vec{r\,}\) jsou tedy rovnoběžné a jejich skalární součin je proto roven součinu jejich velikostí:

    \[ U\,=\,\int_a^b E\left(r\right)\,\mathrm{d}r\,=\,\frac{I}{4\pi \sigma}\int_a^b \frac{\mathrm{d}r}{r^2}\,=\,\frac{I}{4\pi \sigma}\,\left[\frac{-1}{r}\right]_a^b\,=\,\frac{I}{4\pi \sigma}\,\left(\frac{1}{a}\,-\,\frac{1}{b}\right)\,. \]

    Odpor materiálu získáme jako podíl napětí U mezi elektrodami a proudu I, který mezi elektrodami prochází:

    \[ R\,=\,\frac{U}{I}\,=\,\frac{\frac{I}{4\pi \sigma}\,\left(\frac{1}{a}\,-\,\frac{1}{b}\right)}{I}\,. \]

    Celkový elektrický odpor mezi kulovými elektrodami tedy vypočítáme podle vztahu:

    \[ R\,=\,\frac{1}{4\pi\sigma}\left(\frac{1}{a}\,-\,\frac{1}{b}\right) \] \[ R\,=\,\frac{1}{4\pi\sigma}\,\frac{b-a}{ab} \] \[ R\,=\,\frac{b-a}{4\pi\sigma ab} \]

    Proud I procházející mezi elektrodami se rovná podílu napětí U a elektrického odporu R mezi elektrodami:

    \[ I\,=\,\frac{U}{R}\,=\,\frac{4\pi\sigma ab}{b-a}\,U\,. \]
  • III. Nápovědy

  • III. Rozbor

    Odpor a proud mezi kulovými elektrodami vypočítáme za pomoci formální analogie s elektrostatickým polem.

    Budeme uvažovat, že elektrody jsou vnořeny do dielektrika o určité permitivitě. Na elektrody jsou přivedeny náboje stejné velikosti, ale opačného znamení tak, že udržují původní hodnoty potenciálů. Mezi elektrodami bude tedy stejný průběh elektrické intenzity. Pro vyjádření intenzity použijeme Gaussovu větu v integrálním tvaru.

    Do vyjádření intenzity dosadíme Ohmův zákon pro homogenní vodiče v diferenciálním tvaru. Tím získáme proud procházející mezi elektrodami v závislosti na velikosti náboje kulových elektrod. Elektrický náboj pak vyjádříme za pomoci kapacity kulového kondenzátoru.

    Odpor mezi kulovými elektrodami je podle Ohmova zákona roven podílu napětí mezi elektrodami a proudu, který mezi nimi protéká.

  • III. Řešení

    Představme si, že mezi elektrodami je místo vodiče dielektrikum o permitivitě ε a je na ně přiveden náboj stejné velikosti Q, ale opačného znamení tak, že udržuje původní hodnoty potenciálů. V řešení využijeme toho, že průběh elektrické intenzity je stejný jak v tomto statickém případě, tak ve stacionárním případě, kdy mezi elektrodami protéká ustálený proud.

    Nejprve si napišme dva vztahy popisující kulový kondenzátor, které použijeme později. Mezi velikostí náboje Q, rozdílem potenciálů (tj. napětím U) a kapacitou C platí vztah:

    \[ Q\,=\,UC. \]

    Kapacita kulového kondenzátoru C je dána vztahem:

    \[ C\,=\,\frac{4\pi\epsilon}{\frac{1}{a}\,-\,\frac{1}{b}}\,=\,\frac{4\pi\epsilon ab}{b-a}\,, \tag{*}\]

    kde ε je permitivita prostředí a a, b jsou poloměry kulových elektrod, které tvoří kondenzátor, přičemž a < b.

    Pusťme se teď to vlastního řešení. Použijeme Gaussovu větu v integrálním tvaru:

    \[ \oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\,=\,\frac{Q}{\epsilon}\,, \]

    kde \(\vec{E}\) je intenzita elektrického pole, Q náboj přivedený na kulové elektrody povrchu S a ε je permitivita dané látky.

    Ohmův zákon pro homogenní vodiče v diferenciálním tvaru říká:

    \[ \vec{j}\,=\,\sigma \vec{E}, \]

    kde \(\vec{j}\) je hustota elektrického proudu a σ měrná elektrická vodivost.

    Celkový proud I procházející mezi elektrodami si vyjádříme pomocí hustoty proudu \(\vec{j\,}\):

    \[ I\,=\,\oint \vec{j\,}\cdot\mathrm{d}\vec{S}, \]

    kam za hustotu proudu \(\vec{j\,}\) dosadíme z Ohmova zákona a dále použijeme pro úpravu Gaussovu větu:

    \[ I\,=\,\oint \sigma \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\,=\,\sigma\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\,=\,\sigma\frac{Q}{\epsilon}\,. \]

    Za velikost náboje Q na jedné elektrodě dosadíme vyjádření náboje pomocí kapacity \(Q\,=\,CU\):

    \[ I\,=\,\sigma\frac{CU}{\epsilon}\,. \]

    Dosazením kapacity kulového kondenzátoru C, tj. vztahu (*) získáme vzorec pro výpočet celkového proudu, který prochází mezi elektrodami:

    \[ I\,=\,\sigma\frac{\frac{4\pi\epsilon ab U}{b-a}}{\epsilon} \] \[ I\,=\,\frac{4\pi\sigma ab}{b-a}\,U \]

    Odpor mezi kulovými elektrodami vypočítáme jako podíl napětí U mezi elektrodami a proudu I, který mezi elektrodami prochází:

    \[ R\,=\,\frac{U}{I}\,=\,\frac{U}{\frac{4\pi\sigma ab}{b-a}\,U} \] \[ R\,=\,\frac{b-a}{4\pi\sigma ab} \]
  • b) Nápovědy

  • b) Rozbor

    Předpokládejme, že máme dva soustředné kovové sférické vodiče poloměrů a a b, přičemž a << b. Díky této podmínce získáme z předchozích výsledků vzorec pro odpor okolí kulové elektrody o poloměru a.

    Proud tekoucí mezi dvěma kulovými elektrodami, které jsou ponořené hluboko v moři a jsou od sebe značně vzdálené, bude potom stejný jako proud, který protéká dvěma sériově spojenými rezistory, jejichž odpory odpovídají odporům okolí obou elektrod.

  • b) Řešení

    V předchozích částech řešení této úlohy jsme vypočítali odpor mezi dvěma kulovými vodiči o poloměrech a a b (a < b):

    \[ R\,=\,\frac{b-a}{4\pi\sigma ab}\,=\,\frac{1}{4\pi\sigma}\left(\frac{1}{a}\,-\,\frac{1}{b}\right), \tag{**}\]

    kde σ je vodivost prostředí, v našem případě mořské vody.

    Pokud je b >> a, pak \(\frac{1}{b}\,<<\,\frac{1}{a}\). Člen \(\frac{1}{b}\) ve vztahu (**) můžeme tedy zanedbat. Pro odpor prostředí tím získáme vzorec:

    \[ R\,\approx\,\frac{1}{4\pi\sigma a}\,. \]

    Odpor prostředí je nejvíce soustředěn k povrchu sféry. Tento vztah tedy můžeme v prvním přiblížení považovat za odpor okolí kulové elektrody o poloměru a.

    Proud tekoucí mezi dvěma kulovými elektrodami, které jsou ponořené hluboko v moři a jsou od sebe značně vzdálené, bude stejný jako proud protékající dvěma sériově spojenými rezistory, jejichž odpory odpovídají odporům okolí daných elektrod. Celkový odpor tohoto sériového zapojení se tedy bude rovnat součtu těchto odporů:

    \[ R_{celk}\,=\,2R\,\approx\,2\,\frac{1}{4\pi\sigma a}\,=\,\frac{1}{2\pi\sigma a}\,. \]

    Proud tekoucí mezi kulovými elektrodami jako podíl napětí U mezi elektrodami a celkového odporu elektrod Rcelk. Tedy:

    \[ I\,\approx\,\frac{U}{R_{celk}}\,=\,\frac{U}{\frac{1}{2\pi\sigma a}} \] \[ I\,\approx\,2\pi\sigma aU \]
  • Odpověď

    a) Elektrický odpor mezi soustřednými kulovými elektrodami o poloměrech a a b vypočítáme ze vztahu:

    \[ R\,=\,\frac{b-a}{4\pi\sigma ab}\,, \]

    pro proud procházející mezi těmito elektrodami platí:

    \[ I\,=\,\frac{4\pi\sigma ab}{b-a}\,U \,, \]

    kde σ je vodivost materiálu mezi elektrodami a U značí napětí mezi elektrodami.

    Poznámka: Všemi třemi způsoby řešení jsme získali stejný výsledek.

    b) Proud protékající mezi dvěma elektrodami o poloměrech a, které jsou ponořené hluboko v moři a jsou od sebe značně vzdáleny, určíme ze vztahu:

    \[ I\,=\,2\pi\sigma aU. \]
  • Odkaz na podobné úlohy

    Zkuste si vyřešit úlohy Elektrický proud mezi válcovými elektrodami a Nehomogenní prostředí mezi válcovými elektrodami, ve kterých je také úkolem určit proud a odpor mezi dvěma elektrodami.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010).
Zaslat komentář k úloze