Ampérova křivka

Úloha číslo: 168

Dvěma vodivými smyčkami čtvercového tvaru protékají proudy 5 A a 3 A. Určete hodnotu integrálu \(\oint\vec{B}\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}\) pro obě uzavřené křivky vyznačené na obrázku.

proudové smyčky
  • Nápověda

    Provést přímou integraci by vyžadovalo znát průběh magnetického pole v okolí dané křivky, což by bylo dost složité určit. Proto pro určení integrálu vyjděte z Ampérova zákona, kde za proud uvažujte celkový proud procházející zvolenou křivkou.

  • Rozbor

    Nejdříve určíme integrál pro křivku 1. Tato křivka obepíná dva vodiče, jejichž směry proudů se liší. Pro určení integrálu vyjdeme z Ampérova zákona, kde proud na pravé straně rovnice představuje celkový proud, který plochou ohraničenou Ampérovou křivkou, prochází. Znaménko každého z proudů, které vytvářejí celkový proud, určuje pravidlo pravé ruky, které říká: Ohněte prsty pravé ruky kolem Ampérovy křivky tak, aby ukazovaly ve směru její orientace, potom proudu, který teče ve směru vztyčeného palce, přiřadíme kladné znaménko a proudu tekoucímu opačně znaménko záporné.

    Podobně budeme postupovat i u druhé křivky. Zde si musíme dát pozor při určení směru proudu na to, že smyčka je „překřížena“ a její orientaci vždy určovat pomocí té části, která obepíná daný vodič.

  • Řešení

    Pro určení integrálu vyjdeme z Ampérova zákona, jehož tvar je

    \[\oint \vec{B}\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_o I_c,\]

    kde Ic značí celkový proud uzavřený Ampérovou smyčkou délky l. Vidíme, že levá strana Ampérova zákona přesně odpovídá hledanému integrálu.

    Celkový proud odpovídá součtu proudů obepnutých proudovou křivkou. V případě křivky 1 jsou to dva vodiče s různými směry proudů. Znaménko každého z proudů určíme pomocí pravidla pravé ruky. Při zvolené orientaci křivky platí pro celkový proud

    \[I_c=-I_1+I_2.\]
    vodiče v proudové smyčce

    Ampérův zákon pro křivku 1 můžeme přepsat do tvaru

    \[\oint_1 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_o(-I_1+I_2).\]

    Křivka 2 obepíná tři vodiče s proudy. Znaménko každého z proudů určíme také pomocí pravidla pravé ruky. Zde si musíme dávat pozor na orientaci křivky, která se různě přetáčí.

    Pro celkový proud obepnutý křivkou 2 dostáváme

    \[I_c=-I_1-I_1-I_2.\]
    vodiče v proudové smyčce

    Ampérův zákon pro křivku 2 má pak tvar

    \[\oint_2 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_o(-2I_1-I_2).\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(I_1=5\,\mathrm{A}\) proud tekoucí první smyčkou
    \(I_2=3\,\mathrm{A}\) proud tekoucí druhou smyčkou
    \(\oint_1 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=?\,\mathrm{Tm}\) hodnota, kterou máme určit pro první křivu
    \(\oint_2 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=?\,\mathrm{Tm}\) hodnota, kterou máme určit pro druhou křivku
    Z tabulek:
    \(\mu_o=4\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{Hm^{-1}}\) permitivita vakua

    \[\oint_1 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_o(-I_1+I_2)=4\pi\cdot 10^{-7}\cdot(-5+3)\,\mathrm{T\,m}=-8\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\,m}\] \[\oint_2 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_o(-2I_1-I_2)=4\pi\cdot 10^{-7}\cdot(-10-3)\,\mathrm{T\,m}=-52\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\,m}\]
  • Odpověď

    Pro křivku 1 je hodnota integrálu rovna \[\oint_1 \vec{B}\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=-8\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\,m}.\]

    A pro křivku 2 platí \[\oint_2 \vec{B}\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=-52\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\,m}.\]

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze