Sbírka řešených úloh

Ampérova křivka

Úloha číslo: 168

Dvěma vodivými smyčkami čtvercového tvaru protékají proudy 5 A a 3 A. Určete hodnotu integrálu $\oint\vec{B}\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}$ pro obě uzavřené křivky vyznačené na obrázku.

• Nápověda

  Provést přímou integraci by vyžadovalo znát průběh magnetického pole v okolí dané křivky, což by bylo dost složité určit. Proto pro určení integrálu vyjděte z Ampérova zákona, kde za proud uvažujte celkový proud procházející zvolenou křivkou.

• Ampérův zákon

  Ampérův zákon zní:

  $$\oint \vec{B}\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_\mathrm{0} I_\mathrm{c}.$$

  Kroužek na integrálu značí, že integrujeme po uzavřené orientované křivce, kterou nazýváme Ampérova křivka. Proud I_c na pravé straně rovnice je součtem všech proudů, které procházejí plochou ohraničenou Ampérovou křivkou.

  Znaménko každého z proudů, které vytvářejí celkový proud, určuje pravidlo pravé ruky, které říká: Ohněte prsty pravé ruky kolem Ampérovy křivky tak, aby ukazovaly ve směru její orientace, potom proudu, který teče ve směru vztyčeného palce, přiřadíme kladné znaménko a proudu tekoucímu opačně znaménko záporné.

• Rozbor

  Nejdříve určíme integrál pro křivku 1. Tato křivka obepíná dva vodiče, jejichž směry proudů se liší. Pro určení integrálu vyjdeme z Ampérova zákona, kde proud na pravé straně rovnice představuje celkový proud, který plochou ohraničenou Ampérovou křivkou, prochází. Znaménko každého z proudů, které vytvářejí celkový proud, určuje pravidlo pravé ruky, které říká: Ohněte prsty pravé ruky kolem Ampérovy křivky tak, aby ukazovaly ve směru její orientace, potom proudu, který teče ve směru vztyčeného palce, přiřadíme kladné znaménko a proudu tekoucímu opačně znaménko záporné.

  Podobně budeme postupovat i u druhé křivky. Zde si musíme dát pozor při určení směru proudu na to, že smyčka je „překřížena“ a její orientaci vždy určovat pomocí té části, která obepíná daný vodič.

• Řešení

  Pro určení integrálu vyjdeme z Ampérova zákona, jehož tvar je:

  $$\oint \vec{B}\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_\mathrm{0} I_\mathrm{c},$$

  kde I_c značí celkový proud uzavřený Ampérovou smyčkou délky l. Vidíme, že levá strana Ampérova zákona přesně odpovídá hledanému integrálu.

  Celkový proud odpovídá součtu proudů obepnutých proudovou křivkou. V případě křivky 1 jsou to dva vodiče s různými směry proudů. Znaménko každého z proudů určíme pomocí pravidla pravé ruky. Při zvolené orientaci křivky platí pro celkový proud:

  $$I_\mathrm{c}=-I_1+I_2.$$

  

  Ampérův zákon pro křivku 1 můžeme přepsat do tvaru:

  $$\oint_1 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_\mathrm{0}(-I_1+I_2).$$

  Křivka 2 obepíná tři vodiče s proudy. Znaménko každého z proudů určíme také pomocí pravidla pravé ruky. Zde si musíme dávat pozor na orientaci křivky, která se různě přetáčí.

  Pro celkový proud obepnutý křivkou 2 dostáváme:

  $$I_\mathrm{c}=-I_1-I_1-I_2.$$

  

  Ampérův zákon pro křivku 2 má pak tvar:

  $$\oint_2 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_\mathrm{0}(-2I_1-I_2).$$

• Zápis a číselné dosazení

  $I_1=5\,\mathrm{A}$	proud tekoucí první smyčkou
  $I_2=3\,\mathrm{A}$	proud tekoucí druhou smyčkou
  $\oint_1 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=?\,\mathrm{Tm}$	hodnota, kterou máme určit pro první křivu
  $\oint_2 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=?\,\mathrm{Tm}$	hodnota, kterou máme určit pro druhou křivku
  Z tabulek:
  $\mu_\mathrm{0}=4\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{Hm^{-1}}$	permitivita vakua

  ---

  $$\oint_1 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_\mathrm{0}(-I_1+I_2)=4\pi\cdot 10^{-7}\cdot(-5+3)\,\mathrm{T\,m}=-8\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\,m}$$ $$\oint_2 \vec{B}\,\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=\mu_\mathrm{0}(-2I_1-I_2)=4\pi\cdot 10^{-7}\cdot(-10-3)\,\mathrm{T\,m}=-52\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\,m}$$

• Odpověď

  Pro křivku 1 je hodnota integrálu rovna: $$\oint_1 \vec{B}\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=-8\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\,m}.$$

  A pro křivku 2 platí: $$\oint_2 \vec{B}\cdot \,\mathrm{d}\vec{l}=-52\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\,m}.$$