Tlumivka

Úloha číslo: 159

Do obvodu střídavého proudu o frekvenci 50 Hz je zapojena tlumivka o indukčnosti 1,5 H a odporu 150 Ω.

a) Určete napětí na tlumivce a fázový rozdíl mezi napětím a proudem, jestliže tlumivkou prochází proud 450 mA.

schéma

b) Jakou kapacitu musí mít kondenzátor připojený sériově k tlumivce, aby fázový rozdíl napětí a proudu byl nulový? Jaký proud bude procházet v tomto případě obvodem při napětí 120 V?

schéma
  • Zápis

    Ze zadání známe (pro oba úkoly stejné):

    Frekvenci na zdroji:f = 50 Hz
    Indukčnost tlumivky:L = 1,5 H 
    Odpor tlumivky:R = 150 Ω

     

    a) Dále známe:

    Proud tlumivkou:I = 450 mA

      Chceme určit:

    Napětí na tlumivce:U = ? (V)
    Fázový rozdíl mezi napětím a proudem:  φ = ? (°)

     

    b) Dále známe:

    Napětí na zdroji:U = 120 V
    Fázový rozdíl mezi napětím a proudem:  φ = 0°

      Chceme určit:

    Kapacitu kondenzátoru připojeného k tlumivce sériově:  C = ? (F)
    Proud tlumivkou:I = ? (A)

  • Nápověda

    Pomocí Ohmova zákona pro střídavý proud vyjádříme napětí a proud.

    Pro vyjádření fázového posunu budeme potřebovat vzorec, který vyjadřuje jeho tangens v závislosti na impedancích. Odvození tohoto vztahu je uvedeno v úloze Sériový RLC obvod.

  • Nápověda - kdy nastává nulový fázový posun

    schéma

    Fázový diagram ukazuje, že je-li hodnota kapacitance s induktancí stejně velká, potom fázový posun je nulový.

  • Rozbor

    a) Máme-li v obvodu zařazenou cívku a rezistor, proud a napětí budou vzájemně fázově posunuté. Fázový posun vyjádříme z fázorového diagramu na obrázku nebo využijeme vzorce, který jsou odvozeny v úloze Sériový RLC obvod.

    fázorový diagram

    Napětí na tlumivce potom získáme z Ohmova zákona, kde impedanci máme tvořenou z rezistance a induktance.

     

    b) Nejdříve máme vyjádřit velikost kapacity kondenzátoru, který je připojen k tlumivce sériově. Velikost kapacity kondenzátoru má být taková, aby fázový rozdíl mezi napětím a proudem byl nulový. Je-li napětí a proud ve fázi, musí být kapacitance a induktance stejně velké. To lze odvodit z fázorového diagramu nebo k tomu dojdeme výpočtem.

    schéma
  • a) Řešení

    Napětí na tlumivce:

    Ohmův zákon pro střídavé napětí:

    \[U=IZ=I \sqrt{R^2+X_L^2}=I \sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}=I \sqrt{R^2+\left(2 \pi f L\right)^2}\]

    Po dosazení:

    \[U=450{\cdot} 10^{-3}\cdot \sqrt{150^2+\left(2\cdot \pi \cdot 50 {\cdot} 1{,}5\right)^2}\, \mathrm V \dot{=}\,223\, \mathrm V\]

    Fázový posun mezi napětím a proudem:

    Fázový posun vyjádříme pomocí vztahu:

    \[\mathrm{tg}\, \varphi = \frac{X_L}{R}=\frac{\omega L}{R}=\frac{2 \pi fL}{R}\]

    Dosadíme a vyjádříme φ:

    \[ \mathrm{tg}\, \varphi = \left(\frac{2 \pi fL}{R}\right)=\left(\frac{2 \pi \cdot 50 {\cdot} 1{,}5}{150}\right)\,\dot{=}\,3{,}14 \] \[ \varphi\,\dot{=}\,72 ^{ \circ} \]
  • b) Řešení

    Kapacita kondenzátoru:

    Aby fázový posun byl nulový, musí platit: φ = 0 => tg φ = 0.

    Pro fázový posun v sériovém RLC obvodu platí vztah:

    \[\textrm{tg} \varphi = \frac{X_L - X_C}{R}\]

    Řešíme rovnici, za tangens dosadíme nulu a vyjádříme kapacitu kondenzátoru.

    \[ 0 = X_L - X_C\] \[ X_C=X_L\]

    K tomuto vztahu se můžeme také dostat přímo pomocí fázorového diagramu (je uveden v části rozbor).

    \[ \frac{1}{\omega C} = \omega L\] \[ \omega C = \frac{1}{\omega L}\] \[ C = \frac{1}{\omega^2 L}=\frac{1}{(2 \pi f)^2 L}\]

    Po dosazení:

    \[ C = \frac{1}{(2 \pi \cdot 50)^2 1{,}5}\,\mathrm F\] \[ C \,\dot{=}\,6{,}8 {\cdot} 10^{-6} \,\mathrm F=6{,}8\,\mathrm {\mu F} \]

     

    Proud v obvodu při napětí 120 V:

    Z Ohmova zákona:

    \[I=\frac{U}{Z}=\frac{U}{\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}}=\frac{U}{\sqrt{R^2-0}}=\frac{U}{R} \]

    Po dosazení:

    \[I=\frac{120}{150}\,\mathrm A \] \[I = 0{,}8\,\mathrm A\]
  • Odpověď

    Bude-li tlumivkou procházet proud 450 mA, pak na ní naměříme napětí přibližně 223 V. Velikost fázového posunu mezi napětím a proudem φ bude pro tento případ asi 72°.

    Připojíme-li kondenzátor k tlumivce sériově tak, aby fázový posun mezi napětím a proudem byl nulový, pak musí být velikost kapacity kondenzátoru rovna přibližně 6,8 μF. Proud protékající tímto obvodem při napětí 120 V, bude roven 0,8 A.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze