Propojení dvou kondenzátorů

Úloha číslo: 273

Kondenzátor o kapacitě 20 µF je nabit na napětí 1 000 V. Svorky kondenzátoru připojíme na nenabitý kondenzátor s kapacitou 5 µF. Vypočtěte:

a) počáteční náboj na soustavě,

b) konečné napětí na obou kondenzátorech,

c) konečnou energii soustavy,

d) úbytek energie po spojení kondenzátorů.

  • Nápověda: Náboj a energie kondenzátoru

    Náboj na kondenzátoru je přímo úměrný kapacitě kondenzátoru a napětí na kondenzátoru.

    Energie kondenzátoru závisí na jeho kapacitě a druhé mocnině napětí.

  • Nápověda: Připojení druhého kondenzátoru

    Po připojení druhého kondenzátoru se původní náboj rozdělí na oba kondenzátory tak, aby na obou kondenzátorech bylo stejné napětí.

  • Nápověda: Energie

    Celkovou energii soustavy získáme sečtením energií jednotlivých kondenzátorů.

  • Rozbor

    Před připojením druhého kondenzátoru je na prvním kondenzátoru náboj, který je přímo úměrný kapacitě kondenzátoru a napětí, na které byl kondenzátor nabit.

    Po připojení druhého kondenzátoru se část tohoto náboje začne přesouvat na druhý kondenzátor. Náboj se bude přesouvat až do doby, kdy napětí na obou kondenzátorech budou stejná. Toto napětí můžeme vyjádřit z toho, že původní náboj na prvním kondenzátoru je roven součtu nábojů, které jsou na kondenzátorech nyní. Náboje jsou opět přímo úměrné kapacitě a napětí na kondenzátorech.

    Celkovou energii soustavy získáme tak, že sečteme energie obou kondenzátorů. Energie kondenzátoru je přímo úměrná kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí na kondenzátoru.

    Pokud od počáteční energie prvního kondenzátoru odečteme celkovou energii, kterou má soustava nyní, získáme hledaný úbytek energie.

  • Řešení: Náboj a napětí

    Kondenzátor o kapacitě C1 je nabit na napětí U0. Na deskách tohoto kondenzátoru je tedy náboj:

    \[Q\,=\, C_1 U_0\,.\tag{*}\]

    Po připojení druhého kondenzátoru se náboj začne přesouvat na druhý kondenzátor dokud nebude na obou kondenzátorech stejné napětí U. Náboj, který byl původně na prvním kondenzátoru se tedy nyní rozdělí na oba dva kondenzátory:

    \[Q\,=\,Q_1+Q_2 \,.\]

    Náboje na kondenzátorech si můžeme vyjádřit pomocí kapacity a napětí. Na prvním kondenzátoru je náboj Q1 = C1U a na druhém Q2 = C2U. Za Q dosadíme ze vzorce (*).

    \[C_1U_0\,=\,C_1U +C_2U\]

    Postupně vyjádříme hledané napětí. Nejdříve vytkneme U.

    \[C_1U_0\,=\,U \left(C_1 +C_2 \right)\]

    Levou stranu vydělíme součtem kapacit a máme vyjádřené konečné napětí na kondenzátorech.

    \[U\,=\,U_0\,\frac{C_1}{C_1 +C_2 }\tag{**}\]
  • Řešení: Energie soustavy

    Celkovou energii soustavy získáme, sečteme-li energie obou kondenzátorů.

    \[E\,=\,E_1+E_2\]

    Energii obou kondenzátorů vyjádříme z obecného vztahu \(E\,=\,\frac{1}{2}CU^2\). (Na obou kondenzátorech je napětí stejné napětí U.)

    \[E\,=\,\frac{1}{2}C_1U^2+\frac{1}{2}C_2U^2\] \[E\,=\,\frac{1}{2} \left(C_1+C_2\right)U^2\]

    Za napětí U dosadíme ze vzorce (**), který jsme si vyjádřili v předchozím oddíle.

    \[E\,=\,\frac{1}{2} \left(C_1+C_2\right)\frac{C_1^2U_0^2 }{\left(C_1+C_2\right)^2}\]

    Zkrátíme závorky a máme vyjádřenou celkovou energii soustavy.

    \[E\,=\,\frac{C_1^2U_0^2 }{2\left(C_1+C_2\right)}\tag{***}\]
  • Řešení: Úbytek energie

    Nyní si spočítáme o kolik se energie změnila, když jsme připojili druhý kondenzátor.

    \[\Delta E\,=\, E_0-E\,,\]

    kde E0 je počáteční energie prvního kondenzátoru před připojením druhého a E je celková energie soustavy po připojení druhého kondenzátoru.

    Energie E0 je přímo úměrná kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí, na které byl nabit.

    \[E_0\,=\,\frac{1}{2}C_1U_0^2\]

    Energii E jsme si vyjádřili v předchozím oddíle (viz vzorec (***)).

    \[E\,=\,\frac{C_1^2U_0^2 }{2\left(C_1+C_2\right)}\]

    Oba vztahy pro energii odečteme.

    \[\Delta E\,=\, \frac{1}{2}C_1U_0^2- \frac{C_1^2U_0^2 }{2\left(C_1+C_2\right)}\]

    Nyní už jen vzorec zjednodušíme. Vytkneme \[\frac{1}{2}C_1U_0^2\] a upravíme výraz v závorce.

    \[\Delta E\,=\, \frac{1}{2}C_1U_0^2 \left(1- \frac{C_1}{C_1+C_2}\right)\,=\, \frac{1}{2}C_1U_0^2 \frac{C_1+C_2-C_1}{C_1+C_2}\] \[\Delta E\,=\, \frac{1}{2}C_1U_0^2 \frac{C_2}{C_1+C_2}\] Rozdíl energie je tedy roven: \[\Delta E\,=\, \frac{C_1C_2}{2\left(C_1+C_2\right)}U_0^2\,.\]
  • Zápis a číselný výpočet

    \[ \begin{eqnarray} C_1\,& =& \,20\,\mu\mathrm{F}\,=\,2 {\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{F}\\ U_0 \,& =& \, 1\,000\,\mathrm{V}\\ C_2\,& =& \,5\,\mu\mathrm{F}\,=\,5 {\cdot} 10^{-6}\,\mathrm{F}\\ Q \,& =& \,?\,\left(\mathrm{C}\right)\\ U \,& =& \,?\,\left(\mathrm{V}\right)\\ E \,& =& \,?\,\left(\mathrm{J}\right)\\ \Delta E \,& =& \,?\,\left(\mathrm{J}\right) \end{eqnarray}\]
    \[Q\,=\,C_1U_0\,=\,2 {\cdot} 10^{-5}\cdot 1\,000\,\mathrm{C}\,=\,2{\cdot} 10^{-2}\,\mathrm{C}\,=\,20 \,\mathrm{mC}\] \[U\,=\,U_0 \frac{C_1}{C_1+C_2}\,=\,1\,000 \cdot\, \frac{2 {\cdot} 10^{-5}}{2 {\cdot} 10^{-5}\,+\,5 {\cdot} 10^{-6}}\,\mathrm{V}\,=\,800\,\mathrm{V}\] \[E\,=\,\frac{C_1^2U_0^2}{2\left(C_1+C_2\right)}\,=\,\frac{\left(2 {\cdot} 10^{-5}\right)^2 \cdot \,1000^2}{2\,\left(2 {\cdot} 10^{-5}\,+\,5 {\cdot} 10^{-6}\right)}\,\mathrm{J}\,=\,8\,\mathrm{J}\,\] \[\Delta E\,=\, \frac{C_1C_2}{2\left(C_1+C_2\right)}\,U_0^2\,\,=\,\frac{2 {\cdot} 10^{-5}\,\cdot 5 {\cdot} 10^{-6} }{2\,\left(2 \,\cdot 10^{-5}\,+\,5 {\cdot} 10^{-6}\right)}\,\cdot \,1000^2 \, \mathrm{J}\,=\,2\,\mathrm{J}\]
  • Odpověď

    Na kondenzátoru je před připojením druhého kondenzátoru náboj

    \[Q\,=\,C_1U_0\,=\,20\,\mathrm{mC}\,.\]

    Po připojení druhého kondenzátoru je napětí na obou kondenzátorech stejné

    \[U\,=\,U_0 \frac{C_1}{C_1+C_2}\,=\,800\,\mathrm{V}\,.\]

    Soustava má energii

    \[U\,=\,U_0\, \frac{C_1^2U_0^2}{2\left(C_1+C_2\right)}\,=\,8\,\mathrm{J}\,.\]

    Úbytek energie je roven

    \[\Delta E\,=\, \frac{C_1C_2}{2\left(C_1+C_2\right)}\,U_0^2\,=\,2\,\mathrm{J}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Hubeňák, J. (1997). Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu –
Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky
v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové.
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Hubeňák, J. (1997). Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu – Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové.
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze