Využití Kirchhoffových zákonů pro výpočet celkového odporu zapojení

Úloha číslo: 10

Na obrázku je nakresleno schéma zapojení 5 rezistorů. Určete odpor tohoto zapojení mezi body A a B. Hodnoty odporů jsou označeny v obrázku.

Obrázek k zadání úlohy
  • Nápověda

    Vyhledejte si Kirchhoffovy zákony a zkuste je použít.

  • Rozbor

    Obrázek k řešení

    1. Představíme si, že jsme obvod v bodech A, B připojili ke zdroji napětí U (předpokládáme, že zdroj má nulový vnitřní odpor).

    2. U zdroje si vyznačíme šipkou směr elektromotorického napětí.

    3. Do obrázku si označíme proudy a zvolíme jejich směr.

    4. Zvolíme uzavřené smyčky a jejich směr.

    5. Napíšeme si rovnice podle I. a II. Kirchhoffova zákona.

    6. Řešíme rovnice.

    Podrobnější popis použití Kirchhoffových zákonů najdete u příkladu Použití Kirchhoffových zákonů pro řešení obvodu se dvěma zdroji.

  • 1. část řešení - sestavení rovnic

    Odpor mezi body A a B vypočítáme za pomoci Ohmova zákona:

    \[U\,=\, R_\mathrm{celk}I\,.\]

    Musíme tedy spočítat celkový proud, který by zapojením tekl, pokud ho připojíme ke zdroji napětí U.

    Z prvního Kirchhoffova zákona získáme rovnice pro 4 uzly:

    \[I\,=\, I_1 + I_2\,=\, I_4 + I_5\tag{uzly A, B}\] \[I_1 + I_3\,=\, I_4\tag{uzel C}\] \[I_2\,=\, I_3 + I_5\tag{uzel D}\]

    Z druhého Kirchhoffova zákona dostáváme:

    \[RI_1 - RI_3 - 2RI_2\,=\, 0\,\Rightarrow\,I_1-I_3-2I_2\,=\,0\tag{smyčka 1}\] \[RI_3 + 2RI_4 - RI_5\,=\, 0\,\Rightarrow\,I_3+2I_4-I_5\,=\,0\tag{smyčka 2}\] \[U\,=\, 2RI_2 + RI_5\tag{smyčka 3}\]

    Nyní jsme dostali 6 rovnic pro 6 neznámých (I, I1, I2, I3, I4, I5).

    Tím končí fyzikální část řešení. Abychom se dostali k výsledku, musíme v dalším postupu řešit uvedenou soustavu rovnic.

  • 2. část řešení - řešení soustavy rovnic

    Rovnice pro smyčku 1 a 2 sečteme a dostaneme:

    \[I_1 - 2I_2 - I_5 + 2I_4\,=\,0\,.\]

    Proudy I1I5 si vyjádříme z rovnice (uzly A, B) a dosadíme do předchozí rovnice:

    \[I_1\,=\, I - I_2\,,\hspace{20px}I_5\,=\, I - I_4\,,\]

    takže dostáváme vztah

    \[I - I_2 - 2I_2\,=\, I - I_4 - 2I_4\]

    a tedy rovnosti

    \[I_2\,=\, I_4\hspace{20px}\mathrm{a}\hspace {20px}I_1\,=\, I_5\,.\]

    Tím se nám soustava rovnic zjednoduší na:

    \[I\,=\,I_1+I_2\tag{1}\] \[I_1+I_3\,=\,I_2\tag{2}\] \[I_1-I_3-RI_2\,=\,0\tag{3}\] \[U\,=\,2RI_2+RI_1\tag{4}\]

    Do rovnice (3) dosadíme I3 z rovnice (2):

    \[ I_1 - (I_2-I_1) - 2I_2\,=\, 0 \] \[ 2I_1 - 3I_2\,=\, 0\,.\]

    tak dostaneme vztah pro I1:

    \[I_1\,=\, \frac{3}{2}I_2\,.\]

    K výpočtu celkového odporu ostatní neznámé nepotřebujeme, a proto soustavu rovnic nebudeme dále řešit.

  • 3. část řešení - výpočet celkového odporu

    Nyní se vrátíme k Ohmovu zákonu

    \[U\,=\, R_\mathrm{celk}I\, =\, R_\mathrm{celk}(I_1 + I_2)\]

    a z něj si vyjádříme Rcelk:

    \[R_\mathrm{celk}\,=\, \frac{U}{I_1+I_2}\,.\]

    Z druhého Kirchhoffova zákona již víme (rovnice (4) z minulého oddílu), že

    \[U\,=\,2RI_2+RI_1\,,\]

    a v minulém oddíle jsme si spočítali, že

    \[I_1\,=\,\frac{3}{2}I_2\,.\]

    Obojí dosadíme do vzorce pro celkový odpor

    \[R_\mathrm{celk}\,=\, \frac{2RI_2+RI_1}{I_1+I_2}\,=\,\frac{2RI_2+\frac{3}{2}RI_2}{\frac{3}{2}I_2+I_2}\] \[R_\mathrm{celk}\,=\, \frac{R(2+\frac{3}{2})I_2}{(\frac{3}{2}+1)I_2}\,=\, \frac{7}{5}R\,.\]
  • Zjednodušení

    Díky tomu, že obvod je „symetrický“, není důvod, aby proudy I1 a I5 byly různé. Totéž samozřejmě platí i pro proudy I2 a I4.

    Z Kirchhoffových zákonů tedy ihned dostaneme rovnice:

    \[I\, =\, I_1 + I_2\tag{1.KZ, uzel A}\] \[I_1+I_3 \,=\, I_2\tag{2.KZ, uzel C}\] \[RI_1 - RI_3 - 2RI_2 \,=\, 0\tag{smyčka 2}\] \[U\,=\,2RI_2+RI_1\tag{smyčka 3}\]

    Tím se rovnou dostáváme do poloviny 2. části řešení.

  • Odpověď

    Celkový odpor sítě Rcelk mezi body A, B je \(R_\mathrm{celk}\,=\, \frac{7}{5}R\).

  • Podobná úloha

  • Jiné metody řešení

    Tuto úlohu můžeme také řešit transformací „trojúhelníku“ na „hvězdu“ (viz Transformace trojúhelník - hvězda).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Bakalářská práce Marie Snětinové (2007).
×Původní zdroj: Bakalářská práce Marie Snětinové (2007).
Zaslat komentář k úloze