Sbírka řešených úloh

Využití Kirchhoffových zákonů pro výpočet celkového odporu zapojení

Úloha číslo: 10

Na obrázku je nakresleno schéma zapojení 5 rezistorů. Určete odpor tohoto zapojení mezi body A a B. Hodnoty odporů jsou označeny v obrázku.

• Nápověda

  Vyhledejte si Kirchhoffovy zákony a zkuste je použít.

• Řešení nápovědy

  První Kirchhoffův zákon je vlastně zákon zachování elektrického náboje a říká: V každém bodě (uzlu) elektrického obvodu platí, že součet proudů vstupujících do uzlu se rovná součtu proudů z uzlu vystupujících.

  Druhý Kirchhoffův zákon formuluje pro elektrický obvod zákon zachování energie a říká: Součet úbytků napětí na spotřebičích se v uzavřené části obvodu (smyčce) rovná součtu elektromotorických napětí zdrojů v této části obvodu (smyčce).

• Rozbor

  

  1. Představíme si, že jsme obvod v bodech A, B připojili ke zdroji napětí U (předpokládáme, že zdroj má nulový vnitřní odpor).

  2. U zdroje si vyznačíme šipkou směr elektromotorického napětí.

  3. V obrázku si označíme proudy a zvolíme jejich směr.

  4. Zvolíme uzavřené smyčky a jejich směr.

  5. Napíšeme si rovnice podle I. a II. Kirchhoffova zákona.

  6. Řešíme rovnice.

  Podrobnější popis použití Kirchhoffových zákonů najdete u příkladu Použití Kirchhoffových zákonů pro řešení obvodu se dvěma zdroji.

• 1. část řešení - sestavení rovnic

  Odpor mezi body A a B vypočítáme za pomoci Ohmova zákona:

  $$U\,=\, R_\mathrm{celk}I\,.$$

  Musíme tedy spočítat celkový proud, který by zapojením tekl, pokud bychom ho připojili ke zdroji napětí U.

  Z prvního Kirchhoffova zákona získáme rovnice pro 4 uzly:

  $$I\,=\, I_1 + I_2\,=\, I_4 + I_5, \tag{uzly A, B}$$ $$I_1 + I_3\,=\, I_4,\tag{uzel C}$$ $$I_2\,=\, I_3 + I_5.\tag{uzel D}$$

  Z druhého Kirchhoffova zákona dostáváme:

  $$RI_1 - RI_3 - 2RI_2\,=\, 0\,\Rightarrow\,I_1-I_3-2I_2\,=\,0,\tag{smyčka 1}$$ $$RI_3 + 2RI_4 - RI_5\,=\, 0\,\Rightarrow\,I_3+2I_4-I_5\,=\,0,\tag{smyčka 2}$$ $$U\,=\, 2RI_2 + RI_5.\tag{smyčka 3}$$

  Nyní jsme dostali 6 rovnic pro 6 neznámých (I, I₁, I₂, I₃, I₄, I₅).

  Tím končí fyzikální část řešení. Abychom se dostali k výsledku, musíme v dalším postupu řešit uvedenou soustavu rovnic.

• 2. část řešení - řešení soustavy rovnic

  Rovnice pro smyčku 1 a 2 sečteme a dostaneme:

  $$I_1 - 2I_2 - I_5 + 2I_4\,=\,0\,.$$

  Proudy I₁ a I₅ si vyjádříme z rovnice (uzly A, B) a dosadíme do předchozí rovnice:

  $$I_1\,=\, I - I_2\,,\hspace{20px}I_5\,=\, I - I_4\,,$$

  takže dostáváme vztah

  $$I - I_2 - 2I_2\,=\, I - I_4 - 2I_4$$

  a tedy rovnosti

  $$I_2\,=\, I_4\hspace{20px}\mathrm{a}\hspace {20px}I_1\,=\, I_5\,.$$

  Tím se nám soustava rovnic zjednoduší na:

  $$I\,=\,I_1+I_2,\tag{1}$$ $$I_1+I_3\,=\,I_2,\tag{2}$$ $$I_1-I_3-RI_2\,=\,0,\tag{3}$$ $$U\,=\,2RI_2+RI_1.\tag{4}$$

  Do rovnice (3) dosadíme I₃ z rovnice (2):

  $$I_1 - (I_2-I_1) - 2I_2\,=\, 0,$$ $$2I_1 - 3I_2\,=\, 0\,.$$

  Tím dostaneme vztah pro I₁:

  $$I_1\,=\, \frac{3}{2}I_2\,.$$

  K výpočtu celkového odporu ostatní neznámé nepotřebujeme, a proto soustavu rovnic nebudeme dále řešit.

• 3. část řešení - výpočet celkového odporu

  Nyní se vrátíme k Ohmovu zákonu

  $$U\,=\, R_\mathrm{celk}I\, =\, R_\mathrm{celk}(I_1 + I_2)$$

  a z něj si vyjádříme R_celk:

  $$R_\mathrm{celk}\,=\, \frac{U}{I_1+I_2}\,.$$

  Z druhého Kirchhoffova zákona již víme (rovnice (4) z minulého oddílu), že

  $$U\,=\,2RI_2+RI_1\,,$$

  a v minulém oddíle jsme si spočítali, že

  $$I_1\,=\,\frac{3}{2}I_2\,.$$

  Obojí dosadíme do vzorce pro celkový odpor

  $$R_\mathrm{celk}\,=\, \frac{2RI_2+RI_1}{I_1+I_2}\,=\,\frac{2RI_2+\frac{3}{2}RI_2}{\frac{3}{2}I_2+I_2}$$ $$R_\mathrm{celk}\,=\, \frac{R(2+\frac{3}{2})I_2}{(\frac{3}{2}+1)I_2}\,=\, \frac{7}{5}R\,.$$

• Zjednodušení

  Díky tomu, že obvod je „symetrický“, není důvod, aby proudy I₁ a I₅ byly různé. Totéž samozřejmě platí i pro proudy I₂ a I₄.

  Z Kirchhoffových zákonů tedy ihned dostaneme rovnice:

  $$I\, =\, I_1 + I_2\tag{1.KZ, uzel A}$$ $$I_1+I_3 \,=\, I_2\tag{2.KZ, uzel C}$$ $$RI_1 - RI_3 - 2RI_2 \,=\, 0\tag{smyčka 2}$$ $$U\,=\,2RI_2+RI_1\tag{smyčka 3}$$

  Tím se rovnou dostáváme do poloviny 2. části řešení.

• Odpověď

  Celkový odpor sítě R_celk mezi body A, B je $R_\mathrm{celk}\,=\, \frac{7}{5}R$.

• Podobná úloha

  Použití Kirchhoffových zákonů pro řešení obvodu se dvěma zdroji je jednodušší obdobou této úlohy.

• Jiné metody řešení

  Tuto úlohu můžeme také řešit transformací „trojúhelníku“ na „hvězdu“ (viz Transformace trojúhelník - hvězda).