Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Využití Kirchhoffových zákonů pro výpočet celkového odporu zapojení

Úloha číslo: 10

Na obrázku je nakresleno schéma zapojení 5 rezistorů. Určete odpor tohoto zapojení mezi body A a B. Hodnoty odporů jsou označeny v obrázku.

Obrázek k zadání úlohy
  • Nápověda

    Vyhledejte si Kirchhoffovy zákony a zkuste je použít.

  • Rozbor

    Obrázek k řešení

    1. Představíme si, že jsme obvod v bodech A, B připojili ke zdroji napětí U (předpokládáme, že zdroj má nulový vnitřní odpor).

    2. U zdroje si vyznačíme šipkou směr elektromotorického napětí.

    3. V obrázku si označíme proudy a zvolíme jejich směr.

    4. Zvolíme uzavřené smyčky a jejich směr.

    5. Napíšeme si rovnice podle I. a II. Kirchhoffova zákona.

    6. Řešíme rovnice.

    Podrobnější popis použití Kirchhoffových zákonů najdete u příkladu Použití Kirchhoffových zákonů pro řešení obvodu se dvěma zdroji.

  • 1. část řešení - sestavení rovnic

    Odpor mezi body A a B vypočítáme za pomoci Ohmova zákona:

    U=RcelkI.

    Musíme tedy spočítat celkový proud, který by zapojením tekl, pokud bychom ho připojili ke zdroji napětí U.

    Z prvního Kirchhoffova zákona získáme rovnice pro 4 uzly:

    I=I1+I2=I4+I5, I1+I3=I4, I2=I3+I5.

    Z druhého Kirchhoffova zákona dostáváme:

    RI1RI32RI2=0I1I32I2=0, RI3+2RI4RI5=0I3+2I4I5=0, U=2RI2+RI5.

    Nyní jsme dostali 6 rovnic pro 6 neznámých (I, I1, I2, I3, I4, I5).

    Tím končí fyzikální část řešení. Abychom se dostali k výsledku, musíme v dalším postupu řešit uvedenou soustavu rovnic.

  • 2. část řešení - řešení soustavy rovnic

    Rovnice pro smyčku 1 a 2 sečteme a dostaneme:

    I12I2I5+2I4=0.

    Proudy I1I5 si vyjádříme z rovnice (uzly A, B) a dosadíme do předchozí rovnice:

    I1=II2,I5=II4,

    takže dostáváme vztah

    II22I2=II42I4

    a tedy rovnosti

    I2=I4aI1=I5.

    Tím se nám soustava rovnic zjednoduší na:

    I=I1+I2, I1+I3=I2, I1I3RI2=0, U=2RI2+RI1.

    Do rovnice (3) dosadíme I3 z rovnice (2):

    I1(I2I1)2I2=0, 2I13I2=0.

    Tím dostaneme vztah pro I1:

    I1=32I2.

    K výpočtu celkového odporu ostatní neznámé nepotřebujeme, a proto soustavu rovnic nebudeme dále řešit.

  • 3. část řešení - výpočet celkového odporu

    Nyní se vrátíme k Ohmovu zákonu

    U=RcelkI=Rcelk(I1+I2)

    a z něj si vyjádříme Rcelk:

    Rcelk=UI1+I2.

    Z druhého Kirchhoffova zákona již víme (rovnice (4) z minulého oddílu), že

    U=2RI2+RI1,

    a v minulém oddíle jsme si spočítali, že

    I1=32I2.

    Obojí dosadíme do vzorce pro celkový odpor

    Rcelk=2RI2+RI1I1+I2=2RI2+32RI232I2+I2 Rcelk=R(2+32)I2(32+1)I2=75R.
  • Zjednodušení

    Díky tomu, že obvod je „symetrický“, není důvod, aby proudy I1 a I5 byly různé. Totéž samozřejmě platí i pro proudy I2 a I4.

    Z Kirchhoffových zákonů tedy ihned dostaneme rovnice:

    I=I1+I2 I1+I3=I2 RI1RI32RI2=0 U=2RI2+RI1

    Tím se rovnou dostáváme do poloviny 2. části řešení.

  • Odpověď

    Celkový odpor sítě Rcelk mezi body A, B je Rcelk=75R.

  • Podobná úloha

  • Jiné metody řešení

    Tuto úlohu můžeme také řešit transformací „trojúhelníku“ na „hvězdu“ (viz Transformace trojúhelník - hvězda).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Bakalářská práce Marie Snětinové (2007).
×Původní zdroj: Bakalářská práce Marie Snětinové (2007).
En translation
Zaslat komentář k úloze