Koule v magnetickém poli

Úloha číslo: 251

Určete magnetické pole v kouli vyrobené z lineárního materiálu, která je vložena do homogenního magnetického pole \(\vec B_0 \).
  • Nápověda 1

    V úloze Magnetické pole homogenně zmagnetované koule je spočteno, že rovnoměrně zmagnetovaná koule s magnetizací \(\vec M\) budí uvnitř sebe homogenní pole o magnetické indukci

    \[\vec B = \frac{2}{3}\mu_0\vec M.\]
  • Rozbor

    Vnější homogenní pole \(\vec B_0\) kouli zmagnetuje a vytvoří v ní magnetizaci \(\vec M_0\). Tato magnetizace, způsobená polem \(\vec B_0\), pole uvnitř koule změní. To si můžeme představit tak, že v kouli se vytvoří nové pole \(\vec B_1\), které k původnímu poli \(\vec B_0\) přičteme.

    Toto nové pole \(\vec B_1\) ale opět „vytvoří“ magnetizaci koule – konkrétně přidá k magnetizaci další

    příspěvek \(\vec M_1\). A tento příspěvek k magnetizaci vytvoří další pole \(\vec B_2\), které opět přidá další příspěvek k magnetizaci \(\vec M_2\) a tak dále.

     

    Můžeme zkusit použít následující strategii: postupně střídavě počítat nové příspěvky k magnetizaci a jimi vyvolané příspěvky k magnetickému poli. Dostaneme tak nekonečnou řadu, kterou se pokusíme sečíst – ačkoliv dopředu není vůbec jasné, zda se nám to podaří.

  • Nápověda 2

    Přečtěte si rozbor úlohy, je v něm popsána strategie řešení.

    Homogenní pole o indukci \(\vec B_0\) vyvolá magnetizaci materiálu \(\vec M_0\), přičemž vzhledem k linearitě materiálu platí

    \[\vec M_0 = \chi_m\vec H_0 = \chi_m\,\frac{\vec B_0}{\mu_0(1+\chi_m)},\]

    kde χm je magnetická susceptibilita dané látky.

    Uvažte dále, že tato magnetizace \(\vec M_0\) vyvolá nové pole o indukci \(\vec B_{1}\) a platí, podle první nápovědy

    \[\vec B_1 = \frac{2}{3}\mu_0\vec M_0 = \frac{2}{3}\ \frac{\chi_m}{1+\chi_m}\vec B_0.\]

    Toto pole \(\vec B_1\) ale vyvolá novou magnetizaci \(\vec M_1\) a ta opět nové pole \(\vec B_2\).

     

    Předchozí postup několikrát zopakujte a zkuste vyvodit obecný vztah pro \(\vec B_n\).

  • Řešení

    Původní homogenní pole \(\vec B_0\) kouli homogenně zmagnetuje na magnetizaci \(\vec M_0\). Tato magnetizace přidá příspěvek \(\vec B_1\) k původnímu poli, který přidá příspěvek \(\vec M_1\) k magnetizaci a tak dále.

     

    1. příspěvek: Vnější homogenní pole \(\vec B_0\) způsobí homogenní magnetizaci koule

    \[\vec M_0 = \chi_m\vec H_0 = \frac{\chi_m}{\mu_0(1+\chi_m)}\vec B_0.\]

    Tato magnetizace v kouli vyvolá nový příspěvek \(\vec B_1\) k původnímu poli; vypočetli jsme jej v úloze Magnetické pole homogenně zmagnetované koule

    \[\vec B_1 = \frac{2}{3}\mu_0\vec M_0 = \frac{2}{3}\ \frac{\chi_m}{1+\chi_m}\vec B_0.\]

    Ze vztahu ihned plyne, že také nový příspěvek k magnetické indukci má charakter homogenního pole se stejným směrem a stejnou orientací jako původní pole \(\vec B_0\).

     

    2. příspěvek: nové homogenní pole \(\vec B_1\) opět způsobí další příspěvek k magnetizaci koule

    \[\vec M_1 = \chi_m\vec H_1 = \frac{\chi_m}{\mu_0(1+\chi_m)}\vec B_1.\]

    Tento nový příspěvek k magnetizaci vyvolá v kouli další příspěvek k magnetickému poli

    \[\vec B_2 = \frac{2}{3}\mu_0\vec M_1 = \frac{2}{3}\ \frac{\chi_m}{1+\chi_m}\vec B_1 = \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_m}{1+\chi_m}\right)^2\vec B_0.\]

    Druhý příspěvek k poli \(\vec B_2\) přidá třetí příspěvek k magnetizaci \(\vec M_2\), ten přidá třetí příspěvek k poli \(\vec B_3\) a tak dále.

     

    Všechny příspěvky k poli, resp. k magnetizaci, jsou homogenní, neboť homogenní pole vyvolává homogenní magnetizaci a naopak homogenní magnetizace vyvolává nové homogenní pole.

    Z posledního vztahu navíc uhodneme (formálně bychom to také mohli dokázat např. matematickou indukcí), že n-tý příspěvek k poli bude určen vztahem

    \[\vec B_n = \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_m}{1+\chi_m}\right)^n\vec B_0.\]

    Také z tohoto vztahu je vidět, že všechny příspěvky mají charakter homogenního pole a mají stejný směr i stejnou orientaci jako původní pole \(\vec B_0\).

    Celkové pole v kouli je tedy určeno geometrickou řadou

    \[\vec B = \sum_{n=0}^\infty \vec B_n = \left[\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_m}{1+\chi_m}\right)^n\right]\,\vec B_0.\]

    Řada v závorce má první člen a1 = 1 a kvocient

    \[q = \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_m}{1+\chi_m}\right).\]

    Pro součet s geometrické řady platí obecný vztah

    \[s = \frac{a_1}{1-q},\]

    odkud po dosazení vyplývá, že

    \[\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_m}{1+\chi_m}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{2}{3}\ \frac{\chi_m}{1+\chi_m}} = \frac{3(1+\chi_m)}{3+3\chi_m - 2\chi_m } = \frac{3+3\chi_m}{3+\chi_m}.\]

    Pro magnetickou indukci \(\vec B\) jsme tedy získali vztah

    \[\vec B = \left[\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_m}{1+\chi_m}\right)^n\right]\,\vec B_0 = \frac{3+3\chi_m}{3+\chi_m}\,\vec B_0.\]
  • Odpověď

    Magnetické pole uvnitř koule je homogenní a pro magnetickou indukci platí

    \[\vec B = \frac{3+3\chi_m}{3+\chi_m}\,\vec B_0.\]
  • Jiný způsob řešení

    Úlohu lze řešit také jiným způsobem než postupným sčítáním příspěvků.

    Stejně jako výše označme \(\vec{B}\) magnetickou indukci celkového pole uvnitř koule, které získáme superpozicí vnějšího pole \(\vec{B}_0\) a vnitřního pole vzniklého magnetizací. Označme \(\vec{H}_0\) magnetickou intenzitu vnějšího pole a \(\vec M\) výslednou magnetizaci koule. Potom (podle úlohy Magnetické pole homogenně zmagnetované koule) platí, že tato magnetizace budí uvnitř koule pole s indukcí

    \[\vec B_{mag} = \frac{2}{3}\mu_0\vec M.\]

    Magnetická indukce celkového pole uvnitř koule je tedy

    \[\vec B = \vec B_0 + \vec B_{mag} = \vec B_0 + \frac{2}{3}\mu_0\vec M.\tag{*}\]

    Z obecného vztahu mezi magnetickou indukcí, magnetickou intenzitou a magnetizací vyplývá, že

    \[\vec B_{mag} = \mu_0(\vec H_{mag} + \vec M),\]

    kde \(\vec H_{mag}\) je intenzita pole uvnitř koule způsobená jejím zmagnetováním. Úpravou získáme vztah

    \[\vec H_{mag} = \frac{1}{\mu_0}\vec B_{mag} - \vec M\]

    a po dosazení ze vztahu výše

    \[\vec H_{mag} = -\frac{1}{3}\vec M.\]

    Celková magnetická intenzita pole uvnitř koule je tudíž

    \[\vec H = \vec H_0 - \frac{1}{3}\vec M.\]

    Odtud dostáváme, že

    \[\mu_0\vec H = \mu_0\vec H_0 - \frac{1}{3}\mu_0\vec M,\]

    a protože pro vnější pole (ve vakuu) platí, že \(\mu_0\vec H_0 = \vec B_0\), dostáváme

    \[\mu_0\vec H = \vec B_0 - \frac{1}{3}\mu_0\vec M.\tag{**}\]

    Pokud do vztahu (*) dosadíme vztah \(\vec B = \mu\vec H\) (kde díky linearitě prostředí můžeme předpokládat, že \(\mu = 1+\chi_m\) je konstanta), získáme vztah

    \[\mu\vec H = \vec B_0 + \frac{2}{3}\mu_0\vec M.\tag{***}\]

    Vztahy (**) a (***) tvoří soustavu rovnic o dvou neznámých \(\vec M\) a \(\vec H\). Vydělením permeabilitami získáme soustavu

    \[\vec H = \frac{1}{\mu_0}\vec B_0 - \frac{1}{3}\vec M,\] \[\vec H = \frac{1}{\mu}\vec B_0 + \frac{2}{3}\frac{\mu_0}{\mu}\vec M.\]

    Porovnáním pravých stran získáme rovnici

    \[\frac{1}{\mu_0}\vec B_0 - \frac{1}{3}\vec M = \frac{1}{\mu}\vec B_0 + \frac{2}{3}\frac{\mu_0}{\mu}\vec M,\]

    z níž lze vyjádřit vektor magnetizace jako

    \[\vec M = \frac{3}{\mu_0}\cdot \frac{\mu-\mu_0}{\mu+2\mu_0}\vec B_0.\]

    Magnetickou indukci výsledného pole pak určíme ze vztahu (*) dosazením za magnetizaci \(\vec M\). Po úpravě dostaneme

    \[\vec B = \vec B_0 + \frac{2}{3}\mu_0\vec M = \frac{3\mu}{\mu+2\mu_0}\vec B_0.\]

    Pokud navíc využijeme vztahu \(\mu = (1+\chi_m)\mu_0\), získáme po dosazení a jednoduchém zkrácení stejné řešení jako výše

    \[\vec B = \frac{3(1+\chi_m)}{3+\chi_m}\vec B_0.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Zaslat komentář k úloze