Sbírka řešených úloh

Úhlová frekvence sériového RLC obvodu

Úloha číslo: 772

Při jaké úhlové frekvenci ω protéká větví obvodu podle obrázku proud o efektivní hodnotě 1 A?

• Nápověda – okamžitý průběh napětí

  Vyhledejte si rovnice, kterými popisujeme okamžité hodnoty střídavého napětí a proudu.

• Řešení nápovědy

  Průběh střídavého napětí popisujeme obecně pomocí rovnice:

  $u(t) = U_\mathrm{max}\, \sin( \omega t + \varphi_\mathrm{u} ),$

  kde U_max je maximální hodnota (tzv. amplituda) napětí, ω úhlová frekvence napětí zdroje a φ_u je počáteční fáze napětí.

  

   

  Jak souvisí maximální hodnota (tzv. amplituda) napětí U_max a efektivní hodnota napětí U?

• Nápověda – impedance sériového RLC obvodu

  Známe napětí a proud v obvodu. Co musí platit pro jeho impedanci?

  Odvoďte si nebo vyhledejte vztah pro výpočet celkové impedance sériového RLC obvodu.

• Řešení nápovědy

  Ohmův zákon pro obvod se střídavým napětím:

  $$\frac{U}{I}=Z.$$

  Odvození velikosti celkové impedance Z provedeme například pomocí diagramu:

  

  Z diagramu je vidět, že platí:

  $$Z^2 = R^2 + (X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C})^2,$$ $$Z =\sqrt{ R^2 + (X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C})^2}.$$

• Rozbor

  Hledanou úhlovou frekvenci sériového RLC obvodu vyjádříme z Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím. Efektivní hodnotu napětí určíme z rovnice pro okamžitý průběh napětí v obvodu.

• Řešení

  Velikost úhlové frekvence ω odvodíme z celkové impedance sériového RLC obvodu Z, kterou vyjádříme pomocí induktance cívky X_L, kapacitance kondenzátoru X_L a odporu rezistoru R:

  $$Z = \sqrt{R^2+(X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C})^2} .$$

  Dosadíme za induktanci cívky X_L a kapacitanci kondenzátoru X_C, abychom do výrazu dostali úhlovou frekvenci ω :

  $$Z = \sqrt{R^2+(\omega L- \frac{1}{\omega C})^2}.$$

  Vyjádříme úhlovou frekvenci ω:

  $$Z^2 = R^2+(\omega L- \frac{1}{\omega C})^2 ,$$ $$Z^2-R^2= (\omega L- \frac{1}{\omega C})^2 ,$$ $$\sqrt{Z^2-R^2} = \omega L- \frac{1}{\omega C} ,$$ $$\omega C \sqrt{Z^2-R^2}= {\omega}^2 LC - 1.$$

  Získali jsme kvadratickou rovnici pro neznámou úhlovou frekvenci ω:

  $${\omega}^2 LC - \omega C \sqrt{Z^2-R^2} - 1 = 0,$$

  kterou řešíme pomocí diskriminantu:

  $$\mathrm{D} = C^2(Z^2-R^2) + 4LC.$$

  Úhlová frekvence nabývá ω hodnot:

  $$\omega_{1{,}2} = \frac{ C \sqrt{Z^2-R^2} \pm \sqrt{C^2(Z^2-R^2) + 4LC}}{2LC}.$$

  ---

  Velikost celkové impedance obvodu Z odvodíme pomocí Ohmova zákona pro obvod se střídavým proudem:

  $$Z = \frac{U}{I},$$

  kde U je efektivní hodnota napětí a I efektivní hodnota proudu.

  Efektivní hodnotu napětí U vypočteme z rovnice pro okamžitou hodnotu napětí u(t). Tato rovnice má obecný tvar:

  $$u(t) = U_\mathrm{max} \, \sin(\omega t + {\varphi}_0),$$

  kde U_max je maximální hodnota napětí a φ₀ je fázové posunutí mezi napětím a proudem.

  Ze zadání víme, že

  $$u(t) = 141\, \sin(\omega t)\,\mathrm{V},$$

  odkud vyjádříme maximální U_max a poté i efektivní hodnotu napětí U:

  $$U = \frac{U_\mathrm{max}}{\sqrt 2} .$$

  ---

  Dosadíme za celkovou impedanci Z do výrazu pro výpočet úhlové frekvence ω:

  $$\omega_{1{,}2} = \frac{ C \sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2} \pm \sqrt{C^2\left(\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2\right)+ 4LC}}{2LC}.$$

• Zápis a číselné dosazení

  R = 100 Ω	odpor rezistoru
  L = 2 H	indukčnost cívky
  C = 50 μF = 50·10-6 F	kapacita kondenzátoru
  I = 1 A	efektivní hodnota proudu
  u(t) = 141 sin(ωt) V	časový průběh okamžité hodnoty napětí
  ω = ? (s-1)	úhlová frekvence

  ---

  $$U = \frac{U_\mathrm{max}}{\sqrt 2} = \frac{141}{\sqrt 2} \,\mathrm{V}\dot=100\,\mathrm V.$$

   

  $${\omega}_1 = \frac{ C \sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2} + \sqrt{C^2\left(\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2\right) + 4LC}}{2LC} \,\dot=$$ $$\dot=\,\frac{ 50 {\cdot} 10^{-6}{\cdot}\sqrt{(\frac{100}{1})^2-100^2} + \sqrt{ 50 {\cdot} 10^{-6} {\cdot}\left((\frac{100}{1})^2-100^2\right) + 4{\cdot} 2 {\cdot} 50 {\cdot} 10^{-6} }}{2{\cdot} 2 \cdot 50 {\cdot} 10^{-6}} \,\mathrm{s^{-1}}\ \dot=100\,\mathrm{s^{-1}}.$$ $${\omega}_2 = \frac{ C \sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2} - \sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2 + 4LC}}{2LC}\,\dot=$$ $$\dot=\frac{ 50 {\cdot} 10^{-6} {\cdot} \sqrt{(\frac{100}{1})^2{-}100^2} {-} \sqrt{ 50 {\cdot} 10^{-6} {\cdot}\left( (\frac{100}{1})^2-100^2\right) + 4{\cdot} 2 {\cdot} 50 {\cdot} 10^{-6} }}{2{\cdot} 2 \cdot 50 {\cdot} 10^{-6}}\,\mathrm{s^{-1}}\,\dot=\,-100\,\mathrm{s^{-1}}.$$

  Pozn.: Fyzikální význam má pouze hodnota úhlové frekvence ω₁, protože hodnota úhlové frekvence ω₂ vyšla po dosazení zadaných hodnot záporně.

• Odpověď

  Aby obvodem protékal proud o efektivní hodnotě 1 A, musí být velikost úhlové frekvence asi 100 s^-1.

• Komentář – řešení pomocí triku

  Zadané hodnoty napětí, proudu a odpor rezistoru vyhovují Ohmovu zákonu:

  $$\frac{U_\mathrm{ef}}{I_\mathrm{ef}} = R \qquad\Rightarrow\qquad\frac{100\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{A}}=100\,\mathrm{\Omega}.\tag{*}$$

  Při zadaném proudu se obvod tedy chová, jako kdyby v něm byl zapojen pouze rezistor. Vliv cívky a kondenzátoru se navzájem ruší, to znamená, že daný obvod je v rezonanci. Pokud je obvod v rezonanci, lze úhlovou frekvenci odvodit přímo z Thomsonova vztahu:

  $$\omega = \frac{1} {\sqrt {LC}} = \frac{1}{\sqrt{2 {\cdot} 50 \cdot 10^{-6}}} \,\mathrm {Hz}=100\,\mathrm {Hz}.$$

   

  Ještě můžeme zkusit, zda se nám za předpokladu (*) podaří upravit obecné řešení na Thomsonův vztah. Připoměňme obecné řešení:

  $$\omega = \frac{ C \sqrt{\left(\frac{U_\mathrm{ef}}{I_\mathrm{ef}}\right)^2-R^2} + \sqrt{\left(\frac{U_\mathrm{ef}}{I_\mathrm{ef}}\right)^2-R^2 + 4LC}}{2LC}.$$

  Z předpokladu (*) plyne

  $$\frac{U_\mathrm{ef}}{I_\mathrm{ef}} = R \qquad\Rightarrow\qquad(\frac{U_\mathrm{ef}}{I_\mathrm{ef}})^2-R^2=0.$$

  Pro úhlovou frekvenci ω lze tedy psát:

  $$\omega = \frac{ C \sqrt{0} + \sqrt{0 + 4LC}}{2LC}= \frac{ \sqrt{ 4LC}}{2LC}= \frac{1} {\sqrt {LC}}.$$