Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Úhlová frekvence sériového RLC obvodu

Úloha číslo: 772

Při jaké úhlové frekvenci ω protéká větví obvodu podle obrázku proud o efektivní hodnotě 1 A?

schéma zapojení
  • Nápověda – okamžitý průběh napětí

    Vyhledejte si rovnice, kterými popisujeme okamžité hodnoty střídavého napětí a proudu.

  • Nápověda – impedance sériového RLC obvodu

    Známe napětí a proud v obvodu. Co musí platit pro jeho impedanci?

    Odvoďte si nebo vyhledejte vztah pro výpočet celkové impedance sériového RLC obvodu.

  • Rozbor

    Hledanou úhlovou frekvenci sériového RLC obvodu vyjádříme z Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím. Efektivní hodnotu napětí určíme z rovnice pro okamžitý průběh napětí v obvodu.

  • Řešení

    Velikost úhlové frekvence ω odvodíme z celkové impedance sériového RLC obvodu Z, kterou vyjádříme pomocí induktance cívky XL, kapacitance kondenzátoru XL a odporu rezistoru R:

    Z=R2+(XLXC)2.

    Dosadíme za induktanci cívky XL a kapacitanci kondenzátoru XC, abychom do výrazu dostali úhlovou frekvenci ω :

    Z=R2+(ωL1ωC)2.

    Vyjádříme úhlovou frekvenci ω:

    Z2=R2+(ωL1ωC)2, Z2R2=(ωL1ωC)2, Z2R2=ωL1ωC, ωCZ2R2=ω2LC1.

    Získali jsme kvadratickou rovnici pro neznámou úhlovou frekvenci ω:

    ω2LCωCZ2R21=0,

    kterou řešíme pomocí diskriminantu:

    D=C2(Z2R2)+4LC.

    Úhlová frekvence nabývá ω hodnot:

    ω1,2=CZ2R2±C2(Z2R2)+4LC2LC.

    Velikost celkové impedance obvodu Z odvodíme pomocí Ohmova zákona pro obvod se střídavým proudem:

    Z=UI,

    kde U je efektivní hodnota napětí a I efektivní hodnota proudu.

    Efektivní hodnotu napětí U vypočteme z rovnice pro okamžitou hodnotu napětí u(t). Tato rovnice má obecný tvar:

    u(t)=Umaxsin(ωt+φ0),

    kde Umax je maximální hodnota napětí a φ0 je fázové posunutí mezi napětím a proudem.

    Ze zadání víme, že

    u(t)=141sin(ωt)V,

    odkud vyjádříme maximální Umax a poté i efektivní hodnotu napětí U:

    U=Umax2.

    Dosadíme za celkovou impedanci Z do výrazu pro výpočet úhlové frekvence ω:

    ω1,2=C(UI)2R2±C2((UI)2R2)+4LC2LC.
  • Zápis a číselné dosazení

    R = 100 Ω odpor rezistoru
    L = 2 H indukčnost cívky
    C = 50 μF = 50·10-6 F kapacita kondenzátoru
    I = 1 A efektivní hodnota proudu
    u(t) = 141 sin(ωt) V časový průběh okamžité hodnoty napětí
    ω = ? (s-1) úhlová frekvence

    U=Umax2=1412V˙=100V.

     

    ω1=C(UI)2R2+C2((UI)2R2)+4LC2LC˙= ˙=50106(1001)21002+50106((1001)21002)+42501062250106s1 ˙=100s1. ω2=C(UI)2R2(UI)2R2+4LC2LC˙= ˙=50106(1001)2100250106((1001)21002)+42501062250106s1˙=100s1.

    Pozn.: Fyzikální význam má pouze hodnota úhlové frekvence ω1, protože hodnota úhlové frekvence ω2 vyšla po dosazení zadaných hodnot záporně.

  • Odpověď

    Aby obvodem protékal proud o efektivní hodnotě 1 A, musí být velikost úhlové frekvence asi 100 s-1.

  • Komentář – řešení pomocí triku

    Zadané hodnoty napětí, proudu a odpor rezistoru vyhovují Ohmovu zákonu:

    UefIef=R100V1A=100Ω.

    Při zadaném proudu se obvod tedy chová, jako kdyby v něm byl zapojen pouze rezistor. Vliv cívky a kondenzátoru se navzájem ruší, to znamená, že daný obvod je v rezonanci. Pokud je obvod v rezonanci, lze úhlovou frekvenci odvodit přímo z Thomsonova vztahu:

    ω=1LC=1250106Hz=100Hz.

     

    Ještě můžeme zkusit, zda se nám za předpokladu (*) podaří upravit obecné řešení na Thomsonův vztah. Připoměňme obecné řešení:

    ω=C(UefIef)2R2+(UefIef)2R2+4LC2LC.

    Z předpokladu (*) plyne

    UefIef=R(UefIef)2R2=0.

    Pro úhlovou frekvenci ω lze tedy psát:

    ω=C0+0+4LC2LC=4LC2LC=1LC.
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze