Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Úhlová frekvence sériového RLC obvodu
Úloha číslo: 772
Při jaké úhlové frekvenci ω protéká větví obvodu podle obrázku proud o efektivní hodnotě 1 A?

Nápověda – okamžitý průběh napětí
Vyhledejte si rovnice, kterými popisujeme okamžité hodnoty střídavého napětí a proudu.
Nápověda – impedance sériového RLC obvodu
Známe napětí a proud v obvodu. Co musí platit pro jeho impedanci?
Odvoďte si nebo vyhledejte vztah pro výpočet celkové impedance sériového RLC obvodu.
Rozbor
Hledanou úhlovou frekvenci sériového RLC obvodu vyjádříme z Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím. Efektivní hodnotu napětí určíme z rovnice pro okamžitý průběh napětí v obvodu.
Řešení
Velikost úhlové frekvence ω odvodíme z celkové impedance sériového RLC obvodu Z, kterou vyjádříme pomocí induktance cívky XL, kapacitance kondenzátoru XL a odporu rezistoru R:
Z=√R2+(XL−XC)2.Dosadíme za induktanci cívky XL a kapacitanci kondenzátoru XC, abychom do výrazu dostali úhlovou frekvenci ω :
Z=√R2+(ωL−1ωC)2.Vyjádříme úhlovou frekvenci ω:
Z2=R2+(ωL−1ωC)2, Z2−R2=(ωL−1ωC)2, √Z2−R2=ωL−1ωC, ωC√Z2−R2=ω2LC−1.Získali jsme kvadratickou rovnici pro neznámou úhlovou frekvenci ω:
ω2LC−ωC√Z2−R2−1=0,kterou řešíme pomocí diskriminantu:
D=C2(Z2−R2)+4LC.Úhlová frekvence nabývá ω hodnot:
ω1,2=C√Z2−R2±√C2(Z2−R2)+4LC2LC.
Velikost celkové impedance obvodu Z odvodíme pomocí Ohmova zákona pro obvod se střídavým proudem:
Z=UI,kde U je efektivní hodnota napětí a I efektivní hodnota proudu.
Efektivní hodnotu napětí U vypočteme z rovnice pro okamžitou hodnotu napětí u(t). Tato rovnice má obecný tvar:
u(t)=Umaxsin(ωt+φ0),kde Umax je maximální hodnota napětí a φ0 je fázové posunutí mezi napětím a proudem.
Ze zadání víme, že
u(t)=141sin(ωt)V,odkud vyjádříme maximální Umax a poté i efektivní hodnotu napětí U:
U=Umax√2.
Dosadíme za celkovou impedanci Z do výrazu pro výpočet úhlové frekvence ω:
ω1,2=C√(UI)2−R2±√C2((UI)2−R2)+4LC2LC.Zápis a číselné dosazení
R = 100 Ω odpor rezistoru L = 2 H indukčnost cívky C = 50 μF = 50·10-6 F kapacita kondenzátoru I = 1 A efektivní hodnota proudu u(t) = 141 sin(ωt) V časový průběh okamžité hodnoty napětí ω = ? (s-1) úhlová frekvence
U=Umax√2=141√2V˙=100V.Pozn.: Fyzikální význam má pouze hodnota úhlové frekvence ω1, protože hodnota úhlové frekvence ω2 vyšla po dosazení zadaných hodnot záporně.
Odpověď
Aby obvodem protékal proud o efektivní hodnotě 1 A, musí být velikost úhlové frekvence asi 100 s-1.
Komentář – řešení pomocí triku
Zadané hodnoty napětí, proudu a odpor rezistoru vyhovují Ohmovu zákonu:
UefIef=R⇒100V1A=100Ω.Při zadaném proudu se obvod tedy chová, jako kdyby v něm byl zapojen pouze rezistor. Vliv cívky a kondenzátoru se navzájem ruší, to znamená, že daný obvod je v rezonanci. Pokud je obvod v rezonanci, lze úhlovou frekvenci odvodit přímo z Thomsonova vztahu:
ω=1√LC=1√2⋅50⋅10−6Hz=100Hz.Ještě můžeme zkusit, zda se nám za předpokladu (*) podaří upravit obecné řešení na Thomsonův vztah. Připoměňme obecné řešení:
ω=C√(UefIef)2−R2+√(UefIef)2−R2+4LC2LC.Z předpokladu (*) plyne
UefIef=R⇒(UefIef)2−R2=0.Pro úhlovou frekvenci ω lze tedy psát:
ω=C√0+√0+4LC2LC=√4LC2LC=1√LC.