Úhlová frekvence sériového RLC obvodu

Úloha číslo: 772

Při jaké úhlové frekvenci ω protéká větví obvodu podle obrázku proud o efektivní hodnotě 1 A?

schéma zapojení
  • Nápověda – okamžitý průběh napětí

    Vyhledejte si rovnice, kterými popisujeme okamžité hodnoty střídavého napětí a proudu.

  • Nápověda – impedance sériového RLC obvodu

    Známe napětí a proud v obvodu. Co musí platit pro jeho impedanci?

    Odvoďte si nebo vyhledejte vztah pro výpočet celkové impedance sériového RLC obvodu.

  • Rozbor

    Hledanou úhlovou frekvenci sériového RLC obvodu vyjádříme z Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím. Efektivní hodnotu napětí určíme z rovnice pro okamžitý průběh napětí v obvodu.

  • Řešení

    Velikost úhlové frekvence ω odvodíme z celkové impedance sériového RLC obvodu Z, kterou vyjádříme pomocí induktance cívky XL, kapacitance kondenzátoru XL a odporu rezistoru R:

    \[Z = \sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2} .\]

    Dosadíme za induktanci cívky XL a kapacitanci kondenzátoru XC, tak abychom do výrazu dostali úhlovou frekvenci ω :

    \[ Z = \sqrt{R^2+(\omega L- \frac{1}{\omega C})^2}. \]

    Vyjádříme úhlovou frekvenci ω:

    \[Z^2 = R^2+(\omega L- \frac{1}{\omega C})^2 ,\] \[ Z^2-R^2= (\omega L- \frac{1}{\omega C})^2 ,\] \[ \sqrt{Z^2-R^2} = \omega L- \frac{1}{\omega C} ,\] \[ \omega C \sqrt{Z^2-R^2}= {\omega}^2 LC - 1. \]

    Získali jsme kvadratickou rovnici pro neznámou úhlovou frekvenci ω:

    \[ {\omega}^2 LC - \omega C \sqrt{Z^2-R^2} - 1 = 0,\]

    kterou řešíme pomocí diskriminantu:

    \[ \mathrm{D} = C^2(Z^2-R^2) + 4LC. \]

    Úhlová frekvence nabývá ω hodnot:

    \[ \omega_{1{,}2} = \frac{ C \sqrt{Z^2-R^2} \pm \sqrt{C^2(Z^2-R^2) + 4LC}}{2LC}. \]

    Velikost celkové impedance obvodu Z odvodíme pomocí Ohmova zákona pro obvod se střídavým proudem:

    \[ Z = \frac{U}{I},\]

    kde U je efektivní hodnota napětí a I efektivní hodnota proudu.

    Efektivní hodnotu napětí Uvypočteme z rovnice pro okamžitou hodnotu napětí u(t). Tato rovnice má obecný tvar:

    \[ u(t) = U_{max} \, \sin(\omega t + {\varphi}_0), \]

    kde Umax je maximální hodnota napětí a φ0 je fázové posunutí mezi napětím a proudem.

    Ze zadání víme, že

    \[ u(t) = 141\, \sin(\omega t)\,\mathrm{V}, \]

    odkud vyjádříme maximální Umax a poté i efektivní hodnotu napětí U:

    \[ U = \frac{U_{max}}{\sqrt 2} . \]

    Dosadíme za celkovou impedanci Z do výrazu pro výpočet úhlové frekvence ω:

    \[ \omega_{1{,}2} = \frac{ C \sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2} \pm \sqrt{C^2\left(\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2\right)+ 4LC}}{2LC}. \]
  • Zápis a číselné dosazení

    R = 100 Ω odpor rezistoru
    L = 2 H indukčnost cívky
    C = 50 μF = 50·10-6 F kapacita kondenzátoru
    I = 1 A efektivní hodnota proudu
    u(t) = 141 sin(ωt) V časový průběh okamžité hodnoty napětí
    ω = ? (s-1) úhlová frekvence

    \[ U = \frac{U_{max}}{\sqrt 2} = \frac{141}{\sqrt 2} \,\mathrm{V}\dot=100\,\mathrm V. \]

     

    \[ {\omega}_1 = \frac{ C \sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2} + \sqrt{C^2\left(\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2\right) + 4LC}}{2LC} \,\dot= \] \[\dot=\,\frac{ 50 {\cdot} 10^{-6}{\cdot}\sqrt{(\frac{100}{1})^2-100^2} + \sqrt{ 50 {\cdot} 10^{-6} {\cdot}\left((\frac{100}{1})^2-100^2\right) + 4{\cdot} 2 {\cdot} 50 {\cdot} 10^{-6} }}{2{\cdot} 2 \cdot 50 {\cdot} 10^{-6}} \,\mathrm{s^{-1}}\ \dot=100\,\mathrm{s^{-1}}.\] \[ {\omega}_2 = \frac{ C \sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2} - \sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-R^2 + 4LC}}{2LC}\,\dot=\] \[\dot=\frac{ 50 {\cdot} 10^{-6} {\cdot} \sqrt{(\frac{100}{1})^2{-}100^2} {-} \sqrt{ 50 {\cdot} 10^{-6} {\cdot}\left( (\frac{100}{1})^2-100^2\right) + 4{\cdot} 2 {\cdot} 50 {\cdot} 10^{-6} }}{2{\cdot} 2 \cdot 50 {\cdot} 10^{-6}}\,\mathrm{s^{-1}}\,\dot=\,-100\,\mathrm{s^{-1}}.\]

    Pozn.: Fyzikální význam má pouze hodnota úhlové frekvence ω1, protože hodnota úhlové frekvence ω2 vyšla po dosazení zadaných hodnot záporně.

  • Odpověď

    Aby obvodem protékal proud o efektivní hodnotě 1 A, musí být velikost úhlové frekvence asi 100 s-1.

  • Komentář – řešení pomocí triku

    Zadané hodnoty napětí, proudu a odpor rezistoru vyhovují Ohmovu zákonu

    \[\frac{U_{ef}}{I_{ef}} = R \qquad\Rightarrow\qquad\frac{100\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{A}}=100\,\mathrm{\Omega}.\tag{*}\]

    Při zadaném proudu se obvod tedy chová, jako kdyby byl v něm zapojen pouze rezistor, vliv cívky a kondenzátoru se navzájem ruší. To znamená, že daný obvod je v rezonanci. Pokud je obvod v rezonanci, lze úhlovou frekvenci odvodit přímo z Thomsonova vztahu:

    \[ \omega = \frac{1} {\sqrt {LC}} = \frac{1}{\sqrt{2 {\cdot} 50 \cdot 10^{-6}}} \,\mathrm {Hz}=100\,\mathrm {Hz}. \]

     

    Ještě můžeme zkusit, zda se nám za předpokladu (*) podaří upravit obecné řešení na Thomsonův vztah. Připoměňme obecné řešení:

    \[ \omega = \frac{ C \sqrt{\left(\frac{U_{ef}}{I_{ef}}\right)^2-R^2} + \sqrt{\left(\frac{U_{ef}}{I_{ef}}\right)^2-R^2 + 4LC}}{2LC}. \]

    Z předpokladu (*) plyne

    \[\frac{U_{ef}}{I_{ef}} = R \qquad\Rightarrow\qquad(\frac{U_{ef}}{I_{ef}})^2-R^2=0.\]

    Pro úhlovou frekvenci ω lze tedy psát:

    \[ \omega = \frac{ C \sqrt{0} + \sqrt{0 + 4LC}}{2LC}= \frac{ \sqrt{ 4LC}}{2LC}= \frac{1} {\sqrt {LC}}. \]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze